ЗВІДНОСТІ Проблема зводиться до проблеми : з розв’язності випливає розв’язність . Нерозв’язна зводиться до нерозв’язна. Метод нумерацій дозволяє масові проблеми подавати за допомогою числових множин, тому далі – звідність множин. Уточнення поняття звідності A до B відрізняються способом застосування та обсягом інформації про B, яку використовуємо для розв’язання питання про A. Сильні звідності: m-звідність та її окремий випадок – 1 -звідність. Неформально m-звідність множини A до множини B: для розв'язання питання "x A" треба поставити єдине питання до множини B, причому заздалегідь указаним ефективним способом, який можна уточнити як певну РФ g, тобто питання "g(x) B". 1
m-звідність, 1 -звідність A m B, якщо існує РФ g: x N x A g(x) B. Записуємо також g : A m B. A 1 B, якщо існує ін’єктивна РФ g: x N x A g(x) B. Властивості m-звідності та 1 -звідності . r 1) Якщо A 1 B, то A m B. r 2) Відношення 1 та m рефлексивні й транзитивні. r 3) A m B; те саме вірно для 1. r 4) Якщо A m B та B є РМ, то A є РМ; те саме для 1. g : A m B A(x) = B(g(x)) – РФ, адже B та g є РФ. r 5) Якщо A m B та B є РПМ, то A є РПМ; те саме для 1. РФ g: A m B ч. A(x) = ч. B(g(x)) – ЧРФ, адже ч. B є ЧРФ. r 6) A – нерекурсивна РПМ невірно A m A та невірно A m A; те саме для 1. Справді, A не є РПМ (теорема Поста). За r 5) невірно A m A; за r 3) невірно A m A. 2
r 7) A m N A = N; те саме для 1. Нехай g : A m N, тоді x A g(x) N. Але g(x) N вірно завжди. r 8) A m A = ; те саме для 1. r 9) N m A A . Якщо РФ g : N m А, то A Еg . Якщо A , то зафіксуємо a A і задамо g(x) = a x N; тоді g : N m A. r 10) m A A N. r 11) N 1 A A містить нескінченну РПМ. Нехай g : N 1 A. Тоді x N g(x) A, звідки Eg A. Однак Eg є нескінченною РПМ як область значень ін’єктивної РФ g. Якщо L –нескінченна РПМ та L A, то L = Eg для деякої ін’єктивної РФ g. Тоді g(x) A для всіх x N, звідки g : N 1 A. 3
r 12) Якщо A рекурсивна і B та B N, то A m B. Виберемо b B, a B. РФ g(x) = b A(x)+a nsg( A(x)) m-зводить A до B. r 13) Для довільної B маємо A m A B та A m B A. 2 x : A m A B та 2 x+1 : A m B A. r 14) Для довільної B маємо A m A B та A m B A. Візьмемо довільний b B. Тоді C(x, b) : A m A B та C(b, x) : A m B A. r 15) Якщо A є РПМ, то A m D. 4
m-еквівалентність A m B та B m A. Bведемо класи еквівалентності відносно m – m-степені. dm(A) = {B | A m B}. Пишемо A <m B, якщо A m B та невірно B m A. Пишемо A |m B, якщо невірно A m B та невірно B m A. Відношення m індукує на множині m-степенів відношення m : a m b, якщо A m B для деяких A a, B b. a m b A m B для всіх A a, B b. m – відношення часткового порядку на множині m-степенів – рефлексивність і транзитивність маємо за r 1) – антисиметричність: a m b та b m a A m B та B m. A для деяких A a та B b A m B для деяких A a та B b a = b. 5
Пишемо a <m b, якщо a m b та a b. Пишемо a |m b, якщо невірно a m b та невірно b m a. Аналогічно – відношення 1, 1 -степені, відношення 1 Кожний m-степінь складається із 1 -степенів. m-степінь рекурсивний, якщо він містить РМ. m-степінь рекурсивно-перелічний, якщо він містить РПМ. Аналогічно – рекурсивні та РП 1 -степені. – кожний РП m-степінь складається тільки з РПМ – кожний рекурсивний m-степінь складається тільки з РМ. Те саме вірно для 1 -степенів. Існують 2 специфічні сингулярні m-степені з єдиної множини: 0 = dm( ) = { } та n = dm(N) = {N}. Усі інші РМ утворюють рекурсивний m-степінь 0 т. Визначимо РП m-степінь 0'm = dm(D). 6
Властивості m-степенів Згідно r 4), r 5), r 7), r 8), r 12), r 15) маємо d 1) 0 m m a для всіх m-степенів a 0, n. d 2) n m a для всіх m-степенів a 0. d 3) 0 m a для всіх m-степенів a n. d 4) Якщо a m b і m-степінь b – РП, то a – РП m-степінь. d 5) Існує найбільший РП m-степінь 0'm : b m 0'm РП m-степеня b. Точна верхня грань (супремум) m-степенів a та b – m-степінь a b: – a m a b та b m a b; – a b m d m-степеня d такого, що a m d та b m d. 7
Теорема (про супремум). Для кожної пари m-степенів a та b існує єдина точна верхня грань. Покладемо a b = dm(A B), де A a, B b. Тоді 2 x : A m A B та 2 x+1 : B m A B. Отже, a m a b, b m a b. Якщо a та b – РП m-степені, то a b – РП m-степінь Нехай d – довільний m-степінь такий, що a m d та b m d. Нехай M d, f та g – такі РФ, що f : A m M та g : B m M. m-зводить A B до M. Тому a b = dm(A B) m d. Звідси a b – точна верхня грань m-степенів a та b. 8
Продуктивні та креативні множини Нехай A – не РПМ. Тоді не існує такого n, що A = Dn. Тому для кожної Dx A існує y A Dx (множина таких y нескінченна). Якщо таке y ефективно обчислюється за x, то A – продуктивна. A продуктивна, якщо існує РФ g така, що Dx A g(x) A Dx. Така g – продуктивна функція множини A. Множина креативна, якщо вона є РПМ і має продуктивне доповнення. Приклад 1. Множина D продуктивна з продуктивною функцією g(x) = x. Нехай Dx D. Якщо x Dx, то x(x) , тому x D, що суперечить Dx D. Отже, x Dx, тому x D. Звідси x DDx. Приклад 2. Множина D креативна, тому що D є РПМ і D продуктивна. 9
Теорема 1. Нехай A – продуктивна та A m B. Тоді множина B продуктивна. Нехай РФ f : A m B, g – продуктивна функція для A. Візьмемо довільну Dx B. Маємо x A f(x) B, тому f– 1(Dx) = {y | f(y) Dx} A. x(f(y)) є ЧРФ, тому за s-m-n існує РФ k така: x y маємо x(f(y)) = k(x)(y). Звідси y f– 1(Dx) f(y) Dx y Dk(x), тому f– 1(Dx) = Dk(x). Однак f– 1(Dx) A і g продуктивна для A, тому g(k(x)) Af– 1(Dx) = ADk(x). Звідси f(g(k(x))) BDx. Отже, B продуктивна з продуктивною f(g(k(x))). Наслідок. Нехай A креативна, B – РПМ та A m B. Тоді B креативна. Якщо A m. B, то A m B за r 3); але A креативна, тому A продуктивна, звідки B продуктивна, тому РПМ B креативна. 10
Приклад 3. Для кожного a N множина Ca = {x | x(x) = a} креативна. За s-m-n існує РФ s така: f(z, x) = s(z)(x) для всіх z, x. Звідси z D s(z)(s(z)) = а s(z) Ca, тому РФ s : D m Ca. Однак "x Ca" є ЧРП: x Ca Px(x) a. Отже, Ca є РПМ, за наслідком теореми 1 множина Ca креативна. 11
Достатні умови продуктивності для індексних множин Такі умови базуються на теоремі Райса – Шапіро. Теорема 2. Для продуктивності N( ) достатньою є одна з умов: Пр1) ЧРФn та f ; Пр2) існує f ЧРФn така, що для кожної скінченної f; Пр3) існують f ЧРФn та g ЧРФn такі, що g та f g. Для доведення Пр1 та Пр2 повторимо доведення теореми Райса дуальної та теореми Райса–Шапіро. Для побудованих там РФ s маємо z D s(z) N( ). Для доведення Пр3 задамо Повторимо доведення теореми Райса–Шапіро та знайдемо РФ s таку: z D s(z) N( ) 12
Пр1 випливає з Пр3. Візьмемо f = f , тоді f g для довільної g . За Пр3 N( ) продуктивна. Приклад 4. Множина A = {x | х є заданою ЧРФ g} продуктивна. Якщо g – нескінченна функція, то А продуктивна за Пр2. Якщо g – скінченна, то А продуктивна за Пр3. Приклад 5. A = {x | х не є заданою ЧРФ g} продуктивна при g f та креативна при g = f. Якщо g f , то f { х | х не є заданою ЧРФ g}, тому множина А продуктивна за Пр1. Якщо g = f , то A = {x | х f } = {x | Dх } є РПМ, тому вона креативна. 13
Теорема 3. 1) Нехай ЧРФn. Тоді N( ) рекурсивна = або = ЧРФn. 2) Нехай ЧРФn та . Тоді N( ) є РПМ N( ) креативна. Твердження 1) випливає з теореми Райса. Неможливо f , так як тоді N( ) продуктивна за Пр1, тому не є РПМ. Отже, f , звідси N( ’) = N N( ) за Пр1 продуктивна, і якщо N( ) є РПМ, то вона креативна. Теорема 4. Клас продуктивних множин незамкнений відносно , , . A = {x | x не є РФ} продуктивна за Пр1: f { x | x не є РФ}. B ={x | x є РФ} продуктивна за Пр2, тому що для кожної РФ g кожна скінченна g не є РФ. Звідси: A B = N та A B = – не продуктивні. Якщо L креативна, то M = L продуктивна, але РПМ L = M не продуктивна. 14
Теорема 5. 1) Якщо A продуктивна, то A B та B A продуктивні. 2) Якщо A креативна та B є РПМ, то A B та B A креативні. 3) Якщо A продуктивна та B , то A B та B A продуктивні. 4) Якщо A креативна, B та В є РПМ, то A B та B A креативні. Якщо A креативна та B є РПМ, то A B, B A, A B та B A є РПМ Твердження теореми випливає з теореми 1, її наслідку, r 13, r 14. Теорема 6. Клас креативних множин незамкнений відносно , , . Якщо A креативна, то A N та N A креативні за теоремою 5. Однак (A N) (N A) = N не креативна, тому що рекурсивна. За прикладом 3 C 0 = {x | x(x) = 0} та C 1 = {x | x(x) = 1} креативні. Однак C 0 C 1 = – рекурсивна, тому не креативна. Якщо A креативна, то A продуктивна, тому не креативна 15
Теорема 7. Кожна продуктивна множина містить нескінченну РПМ. Нехай A – продуктивна множина з продуктивною функцією g. За s-m-n виначимо РФ k таку: Dk(x) = Dx {g(x)} для кожного x. Побудуємо послідовності x 0, x 1, . . . , xn, . . . та y 0, y 1, . . . , yn, . . . Нехай x 0 – один з індексів функції f. Тоді y 0 = g(x 0). Але Dx 0 = A, тому за продуктивністю A y 0 = g(x 0) A Dx 0 = A. Після n-го кроку: Dxn = {y 0, y 1, . . . , yn– 1} A, де всі yk попарно різні. На (n+1)-му кроці: хn+1 = k(xn), yn+1 = g(xn+1). Маємо Dxn+1 = Dk(xn) = Dxn {g(xn)} = Dxn {yn} = {y 0, y 1, . . . , yn}. За продуктивністю A тоді yn+1 = g(xn+1) ADxn+1 = A{y 0, y 1, . . . , yn}. Таким чином, yn+1 A та yn+1 {y 0, y 1, . . . , yn}. Отже, B = {y 0, y 1, . . . , yn} нескінченна та B A. Множина B алгоритмічно перелічна, тому за ТЧ B є РПМ. 16
Імунні та прості множини Нескінченна множина імунна, якщо вона не містить нескінченних РПМ. Іімунна не може бути РПМ. За теоремою 7 імунна не може бути продуктивною. Множина проста, якщо вона є РПМ і має імунне доповнення. A проста A є РПМ, A нескінченна та A R нескінченної РПМ R. Проста множина не може бути ні рекурсивною, ні креативною. 17
Теорема 1. Існує ЧРФ f така, що Еf імунна та Еf проста. Побудуємо ЧРФ f таку, що Еf містить хоч би по одному елементу кожної нескінченної РПМ та Еf нескінченна. Жодна нескінченна РПМ повністю в таку Еf не вміщається, тому Еf імунна, а Ef – проста. Визначимо f(x) = x( z( x(z)>4 x)). Тоді f(x)>4 x для всіх x Df. Для довільного n N множина {0, . . . , 4 n} містить n елементів Ef , так як f(n)>4 n і елементи Ef можуть братися тільки з f(0), . . . , f(n– 1). Тому n N {0, . . . , 4 n} містить > 3 n елементів множини Еf. Отже, Еf нескінченна. Нехай B – довільна нескінченна РПМ. Тоді B = Eg для деякої РФ g. Нехай k – індекс функції g, тобто g суть k. Значення f(x) = x( z( x(z)>4 x)) визначене, тому що k є РФ із нескінченною множиною значень. Отже, f(k) Ek Ef = Eg Ef = B Ef, тому B Ef неможливо B Ef 18
Теорема 2. Множина A проста A нескінченна та A R є нескінченною РПМ для кожної нескінченної РПМ R. Доводимо . Припустимо супротивне: існує така нескінченна РПМ R, що A R скінченна. Тоді R(A R) = R A теж нескінченна РПМ, але A (R A) = . Це суперечить простоті множини A. Доводимо . N є нескінченною РПМ, тому за умовою множина A N = A є нескінченною РПМ. Якщо для кожної нескінченної РПМ R множина A R нескінченна, то A R . Отже, A проста. Теорема 3. Якщо множини A та B прості, то A B проста. Нехай R – нескінченна РПМ. Якщо A проста, то за теоремою 2 A R є нескінченною РПМ. Звідси (A B) R = B (A R) за простотою B. A та B нескінченні, звідки N(A B) A нескінченна. Тому A B проста. 19
Теорема 4. Існують прості множини A та B такі: A B = N. Задамо f(x) = x( z( x(z) > 4 x)). За доведенням теореми 1 Еf проста. Розглянемо A = Ef N 2 x та B = Ef N 2 x+1. Зрозуміло, що A B = N. Покажемо, що A та B прості. n N множина {0, . . . , 4 n} містить n елементів Ef. Крім того, {0, . . . , 4 n} містить 2 n+1 парних і 2 n непарних чисел. Отже, {0, . . . , 4 n} містить 3 n+1 елементів A та 3 n елементів B. Тому для n N множина {0, . . . , 4 n} містить n елементів A та >n елементів B, звідки A та B нескінченні. Нехай R – довільна нескінченна РПМ. Тоді R = Ek, де k – індекс деякої РФ k. Значення f(x) = x( z( x(z)>4 x)) визначене, тому що k є РФ та Ek нескінченна. Отже, f(k) Ek Ef = R Ef, тому R Ef . Звідси R (Ef N 2 x) = R A та R (Ef N 2 x+1) = R B . Таким чином, A та B – прості множини, для яких A B = N. Наслідок. Клас простих множин незамкнений відносно та доповнення. 20
Теорема 5. Якщо множини A та B прості, то A B проста. Теорема 6. Якщо A проста, то A B та B A не є простими. Візьмемо довільний d A. Тоді L = {d} N та M = N {d} – нескінченні РПМ. Однак L (A B) = та M (B A) = , тому A B та B A не прості. Наслідок. Якщо множини A та B прості, то A B не проста. 21
Посилення властивостей імунності й простоти веде до понять гіперімунної та гіперпростої множин. Нехай A = {z 0<z 1<. . . <zn<. . . }. Функція f мажорує A, якщо f(n)>zn для всіх n. Множина A гіперімунна, якщо A нескінченна та не існує РФ, яка мажорує A. Множина A гіперпроста, якщо A є РПМ та A гіперімунна. Теорема 7. Гіперімунні множини існують. Нехай f 0, f 1, . . . , fn, . . . – деяка послідовність тотальних функцій на N, яка включає всі РФ 1. Задамо функцію g: g(0) = f 0(0); g(n+1) = z(z>g(n) та z>fn+1(n+1)). Звідси Еg не мажорується жодною РФ, тому Еg гіперімунна. 22
Теорема 8. Якщо A гіперімунна, то A імунна. Нехай нескінченна множина A не імунна. Тоді A не гіперімунна. Якщо A не імунна, то A нескінченну РПМ, звідки існує нескінченна РМ R A. Нехай f – строго монотонна РФ така, що R = Ef. Тоді R = {f(0)<f(1)<. . . <f(n)<. . . }. Нехай A = {z 0<z 1<. . . <zn<. . . }. Тоді R = {zi 0< zi 1<. . . < zin<. . . } згідно з R A. n N маємо zin zn та f(n) = zin. Задамо РФ g(x) = f(x)+1. Тоді n N g(n) = f(n)+1 = zin+1 > zin zn. Отже, РФ g мажорує A, тому A не гіперімунна. Наслідок. Якщо A гіперпроста, то A проста. 23
Рекурсивна та ефективна нероздільність. m-повнота Множини A і B ефективно нероздільні якщо A B = та існує РФ f(x, y) така: Da A, Db B та Da Db = f(а, b) Da Db Така f – продуктивна функція пари нероздільних множин A та B. Множини A і B рекурсивно нероздільні, якщо A B = і не існує РМ R такої, що R A та R B = . Теорема 1. Якщо A і B ефективно нероздільні, то A і B рекурсивно -нероздільні. Нехай A і B – ефективно нероздільні з продуктивною функцією f. Припустимо, що A і B не є рекурсивно-нероздільними, тобто існує РМ R: R A та R B = . Нехай R = Da та R = Db. Тоді R = Da A, R = Db B, Da Db = R R = . Однак Da Db = R R = N, що суперечить ефективній нероздільності A і B. 24
Теорема 2. C 0 = {x | x(x)=0} та C 1 = {x | x(x)=1} – ефективно нероздільні РПМ. Задамо функцію h, яка за тезою Чорча є ЧРФ. За s-m-n існує РФ u така: h(x, y, z) = u(x, y)(z) x, y, z. Покажемо, що u – продуктивна функція для пари нероздільних C 0 та C 1. Нехай a і b такі, що Da C 0, Db C 1 та Da Db = . u(a, b) Da u(a, b)(u(a, b)) = h(a, b, u(a, b)) = 1 u(a, b) C 1 Db – суп-ть. u(a, b) Db u(a, b)(u(a, b)) = h(a, b, u(a, b)) = 0 u(a, b) C 0 Da – суп-ть. Отже, u(a, b) Da Db u – продуктивна для пари ефективно нероздільних C 0 і C 1 25
Теорема 3. Нехай A і B – ефективно нероздільні РПМ. Тоді A і B креативні. Нехай A = Da та B = Db. Нехай f – продуктивна функція для пари множин A та B. Візьмемо РФ u: Du(x, y) = Dx Dy для всіх x, y. Візьмемо довільну Dх A. Тоді Dx B = Dx Db = Du(x, b). Маємо Du(x, b) B, Da = A. Звідси f(а, u(x, b)) Da Du(x, b) = A B Dx. Тому f(а, u(x, b)) ADx. Отже, g(x) = f(а, u(x, b)) є продуктивною функцією для A, звідки A креативна. Аналогічно p(x) = f(u(x, а)), b) – продуктивна для B, звідки B креативна. 26
РПМ L m-повна, якщо A m L для кожної РПМ A. РПМ L 1 -повна, якщо A 1 L для кожної РПМ A. Теорема 4. A є РПМ A m D. D є РПМ, тому A m D A є РПМ. Якщо A є РПМ, то f(x, y) = ч. А(x) + 0 y є ЧРФ. За s-m-n існує РФ s(x): f(x, y) = s(x)(y) x, y. Маємо x A s(x)(y) = 1 y s(x)(s(x)) s(x) D. Тому s : A m D Наслідок 1. Множина D m-повна. Наслідок 2. Множина L m-повна L m D. Наслідок 3. m-степінь 0'm складається з m-повних множин. Наслідок 4. Кожна m-повна множина креативна. РПМ L m-повна D m L (D креативна) L креативна. 27
Теорема (Майхілла). Якщо L креативна, то L m-повна. Нехай B – довільна РПМ, p – продуктивна функція L. Покажемо B m L. За s-m-n РФ s(x, y): f(x, y, z) s(x, y)(z) За теоремою Cl. FP для s(x, y) існує РФ n(y): y s(n(y), y) = n(y) Звідси y Ds(n(y), y) = Dn(y) Покажемо y B p(n(y)) L. Це означає p(n(y)) : B m L. Нехай y B, тоді Dn(y) ={p(n(y))}. Нехай p(n(y)) L {p(n(y))} = Dn(y) L ( L продуктивна) p(n(y)) L Dn(y) – суп-ть. Тому p(n(y)) L. Нехай y B Dn(y) = ( L продуктивна) p(n(y)) L = L p(n(y)) L Наслідок 1. L креативна L m-повна. Наслідок 2. b – m-степінь простої множини 0 m <m b <m 0'm. 28
ВІДНОСНА ОБЧИСЛЮВАНІСТЬ. Т-ЗВІДНІСТЬ Розглядаємо обчислюваність n-арних функцій на N відносно тотальних функцій. Неформально: f обчислювана відносно тотальної функції (оракула), якщо існує алгоритм для обчислення f, який може брати потрібні значення функції . Формалізація відносної обчислюваності. Релятивізація теорем МНРО додатково використовують команди O(n) – звернення до оракула Виконання команди O(n) означає: 'Rn : = ('Rn). Смисл МНРО-програми залежить від конкретного оракула. МНРО-програму P, яка виконується МНРО з оракулом , позначаємо P. МНРО-програма P обчислює f : Nn N відносно оракула , або -обчислює f, якщо f(a 1, a 2, . . . , an) = b P (a 1, a 2, . . . , an) b. Функція f МНРО-обчислювана відносно , або -обчислювана, якщо існує МНРО-програма P, яка обчислює f відносно . 29
Функція частково рекурсивна відносно , або -ЧРФ, якщо вона отримується з о, s, Іmn та за допомогою операцій Sn+1, R, M. -РФ – це тотальна -ЧРФ Теорема 1. f є -ЧРФ f МНРО-обчислювана відносно . Клас усіх -ЧРФ позначимо ЧРФ. Елементарні властивості -ЧРФ: о 1) ЧРФ. о 2) Для довільного оракула маємо ЧРФ. о 3) Якщо тотальна функція є -ЧРФ, то ЧРФ. о 4) Якщо рекурсивна, то ЧРФ = ЧРФ. Релятивний аналог тези Чорча: Теза Тьюрінга. Клас -ЧРФ збігається з класом n-арних функцій на N, алгоритмічно обчислюваних відносно . 30
Ефективна нумерація n-арних -ЧРФ – на основі кодування МНРО-програм. Кодування команд МНРО: (Z(n)) = 5 n; (S(n)) = 5 n+1; (T(m, n)) = 5 С(m, n)+2; (J(m, n, q+1)) = 5 С(С(m, n), q)+3; (O(n)) = 5 n+4. Позначення: m , n Dm , n Em , n Якщо n=1, то позначення m Dm Em L назвемо -РМ, якщо L є -РФ. L назвемо -РПМ, якщо L = або L = Ef для деякої -РФ f. Предикат P назвемо -РП, якщо P є -РФ. Предикат P назвемо -ЧРП, якщо ч. Р є -ЧРФ. 31
Релятивні варіанти теорем R 1) Релятивна s-m-n-теорема. m, n>1 РФm+1 smn(z, x 1, . . . , xm): z, x 1, . . . , xm, y 1, . . . , yn Релятивна s-m-n (спрощена). -ЧРФ f(x, y) РФ s(x): x, y f(x, y) = s(x) (y). R 2) Функція, універсальна для класу n-арних -РФ, не є -ЧРФ. R 3) Існує -ЧРФ, універсальна для класу n-арних -ЧРФ. R 4) Релятивна теорема Кліні про НТ. R 5) Релятивна теорема Поста. Якщо L та L є -РПМ, то L та L є -РМ. R 6) Такі визначення -РПМ еквівалентні: df 1) L = або L є областю значень деякої -РФ; df 2) L є областю значень деякої -ЧРФ; df 3) L є областю визначення деякої -ЧРФ; df 4) часткова характеристична функція множини L є -ЧРФ. 32
R 7) Q(x 1, . . . , xn) є -ЧРП тоді й тільки тоді, коли існує -РП R(x 1, . . . , xn, y): Q(x 1, . . . , xn) y. R(x 1, . . . , xn, y). R 8) Якщо Q(x 1, . . . , xn, y) є -ЧРП, то y 1. . . yk. Q(x 1, . . . , xn, y 1, . . . , yk) теж є -ЧРП. R 9) D = {x | х (x) визначене} є -РПМ і не є -РМ. R 10) D = {x | х (x) невизначене} не є -РПМ. Обчислюваність відносно множини B – це обчислюваність відносно B. Функцію називають B-РФ / B-ЧРФ, якщо вона B-РФ / B-ЧРФ. Множину A називають B-рекурсивною, якщо A є B -РФ. Множину A називають B-РПМ, якщо ч. A є B-ЧРФ. Предикат P називають B-рекурсивним, якщо P є B-РФ. Предикат P називають B-ЧРП, якщо ч. P є B-ЧРФ. Позначення: m. B, n Dm. B, , n Em. B, n m. B Dm. B Em. B ЧРФB 33
Теорема 3. 1) Множина A є A-РМ. 2) Якщо A є B-РМ і B є C-РМ, то A є C-РМ. 3) Якщо A є B-РПМ і B є C-РМ, то A є C-РПМ. 4) Якщо A є B-РМ і B є C-РПМ, то не завжди A є C-РПМ. Доводимо 1). Маємо A(x) = nsg( A(x)), тому A є A-РМ. Доводимо 2). B є C-РМ B є C-РФ ЧРФB ЧРФC. Але A є B-РМ, тобто A ЧРФB, звідки A ЧРФC. Доводимо 3). B є C-РМ ЧРФB ЧРФC. Але A є B-РПМ ч. A ЧРФB ЧРФC. Доводимо 4). Візьмемо A = DC і B = DC. Тоді DC є DC-РМ згідно 1) та DC є C-РПМ, але DC не є C-РПМ. 34
T-звідність Патологічні властивості m-звідності: – специфічна поведінка та N, – не завжди A m A. Така неприємна ситуація – внаслідок обмеженості природи m-звідності: g : A m B, якщо для розв'язання питання "x A" треба задати єдине питання до B, причому заздалегідь указаним способом "g(x) B". Загальніші: таблична та обмежено-таблична звідності tt та btt, q-звідність q Найадекватніше інтуїтивне поняття звідності – Тьюрінгова звідність Неформально A T B, якщо для розв'язання "x A" необхідно відповісти на скінченну кількість питань про B, але їх кількість і природа заздалегідь невідомі. A T-зводиться до B, якщо A є B-рекурсивною. A T B, якщо A T B та B T A. A<T B: A T B та невірно B T A. A |T B: невірно A T B та невірно B T A. 35
Властивості T-звідності t 1) A T A. t 2) Якщо A T B та B T C, то A T C. Випливає з п. 2 теореми 3. t 3) Для кожної A маємо A T A та A T A. Випл. з п. 1 теор. 3. t 4) A T A для кожної множини A. Випливає з t 3). t 5) Якщо A m B, то A T B. Нехай РФ g : A m B. Тоді A(x) = В(g(x)), звідки A є B-РФ. t 6) Якщо B є РМ і A T B, то A є РМ. B є РФ, тому ЧРФB = ЧРФ та РФB = РФ. Якщо A T B, то A РФB = РФ. t 7) Якщо A є РМ, то A T B для кожної множини B. A РФ ЧРФB, звідки A є B-рекурсивною. t 8) Якщо A є РПМ, то A T D. За r 15) A m D для кожної РПМ A, звідки за t 5) A T D. 36
Теорема 1. B є A-РПМ B m DA. B є A-РПМ ч. B є A-ЧРФ f(x, y) = ч. B(x)+o(y) є A-ЧРФ. За релятивною s-m-n-теоремою існує РФ s така: f(x, y) = Аs(x)(у) для всіх x, y. При x B маємо Аs(x)(у) = 1 для всіх y, звідки Аs(x)(s(x)) , тому s(x) DA. При x B маємо Аs(x)(у) для всіх y, тому Аs(x)(s(x)) , звідки s(x) DA. Отже, x B s(x) DA, тому B m DA. Нехай РФ f : B m DA. Тоді x B s(x) DA. Але DA є A-РПМ, f є РФ "x B" є A-ЧРП B є A-РПМ. Наслідок 1. Якщо B є A-РПМ, то B T DA. Наслідок 2. A<T DА для кожної множини A. A є A-РПМ A T DA. За R 10 DA не є A-РМ, тому невірно DA T A. 37
Приклад 1. Існують множини А та В такі: А <T А В та В т А В. Наприклад, візьмемо А = N та B = D. Приклад 2. А В T А В. х А В l(х) А & r(х) В 2 l(х) А В & 2 r(х)+1 А В. Отже, А В (х) = А В(2 l(х)) А В(2 r(х)+1). Тому А В є А В-РФ. Приклад 3. D T D D За t 4 D T D. За r 13 та r 14 D m D D та D m D D, тому D T D D та D T D D. Згідно з t 2 достатньо D D T D та D D T D. х D D (х парне & х/2 D) (х непарне & (х– 1)/2 D) "х D D" є D-РП D D є D-РФ. х D D l(х) D & r(х) D "х D D" є D-РП D D є D-РФ. 38
Вводимо класи еквівалентності відносно T d. T(A) = {B | A TB} Такі класи назвемо T-степенями, або степенями нерозв'язності. T-степінь рекурсивний, якщо він містить РМ. T-степінь рекурсивно-перелічний, якщо він містить РПМ. На множині T-степенів введемо відношення часткового порядку: a b, якщо A T B для деяких A a, B b. Зрозуміло, що a b A T B для всіх A a, B b. Будемо писати a < b, якщо a b та a b. a | b, якщо невірно a < b та невірно b a. 39
Властивості T-степенів s 1) Існує єдиний рекурсивний T-степінь 0, який складається з усіх РМ. 0 є найменшим T-степенем: 0 < b для кожного T-степеня b 0. s 2) Існує найбільший рекурсивно-перелічний T-степінь 0' = d. T(D): b 0' для кожного рекурсивно-перелічного T-степеня b. s 3) Кожний нерекурсивний РП Т-степінь містить множини, які не є РПМ. s 4) Якщо dm(A) m dm(В), то d. Т(A) Т d. Т(В). s 5) dm(A) d. Т(A) для довільної множини A. Теорема 2. пари T-степенів a та b існує єдина точна верхня грань a b = d. T(A B), де A a, B b. A m A B та B m A B A T A B та B T A B a a b та b a b. Нехай d – довільний T-степінь такий, що a d та b d. A a, B b та L d маємо, що A та B є L-РМ. Однак x A B x парне та x/2 A або x непарне та (x– 1)/2 B, тому функція A B є L-РФ. Звідси a b d. 40
Т-повні множини A-РПМ B T-повнa, якщо L T B для кожної A-РПМ L. DА = {x | x. А(x) } – T-повна A-РПМ для кожної A N. Зокрема, D є T-повною РПМ. Це випливає з теореми 1: В є A-РПМ B m DA. Звідси: якщо B є A-РПМ, то B T DA. Існують T-повні прості й навіть гіперпрості множини. Теорема (Деккер). Нехай A – нерекурсивна РПМ. Тоді існує гіперпроста множина B така, що A Т B. Нехай f – ін’єктивна РФ така: A = Ef Задамо B = {x | y(y>x & f(у) f(x))}. Тоді B є РПМ за ТЧ. B = {x | y(y>x f(y)>f(x))} – гіперімунна та A Т B. Наслідок. Кожний нерекурсивний РП T-степінь містить гіперпросту множину. 41
У 1944 р. Е. Пост поставив проблему: чи існує РП T-степінь b: 0 < b < 0'? Теорема (Мучника–Фрідберга, 1956). Існують РПМ A та B: A |T B. Наслідок. Існують РП T-степені a та b: 0 < a < 0', 0 < b < 0' та a | b. Структура T-степенів, зокрема, РП T-степенів, дуже складна. Деякі результати Теорема. РП T-степеня a такого: 0 < a < 0' РП T-степінь b: a | b. Теорема (щільності Сакса). пари РП T-степенів a та b таких, що a < b, існує РП T-степінь c такий, що a < c < b. T-степінь m мінімальний, якщо 0 < m та не існує T-степеня a: 0 < a < m. Теорема. Існує мінімальний степінь m такий, що m < 0'. За теоремою щільності, такий мінімальний T-степінь не може бути РП! Теорема (про розбиття). РП T-степеня c РП T-степені a < c, b < c: c = a b. Теорема Існують РП T-степені a > 0 та b > 0 такі, що 0 = inf(a, b); 2) Існують РП T-степені a та b такі, які взагалі не мають найбільшої нижньої грані (навіть серед T-степенів, які не є РП). 42
Операція стрибка За наслідком 2 теореми 1 A <T DА для кожної множини A. Неформально A <T DA означає, що при переході від A до DA складність множини стрибкоподібно зростає, тому DA називають стрибком множини A. Операція стрибка кожній A N зіставляє множину DA. Теорема. A T B DA m DB. Нехай A T B. Тоді A є B-РМ. Але DA є A-РПМ, тому DA є B-РПМ DA m DB. Нехай DA m DB. Позаяк A та A є A-РПМ, то A m DA та A m DA. Але DA m DB, тому A m DB та A m DB (теорема 1) A та A є B-РПМ (релятивна т. Поста) A та A є B-РМ A T B Наслідок 1. A T B D m DB. Наслідок 2. Якщо A T B, то DA T DB. Можливі випадки A <T B та A |T B, для яких теж вірно DA T DB. 43
Стрибком T-степеня b називають b' = d. T(DB), де B b. Коректність: за наслідком 2 b' не залежить від вибору конкретного B b. Властивості операції стрибка jm 1) b < b' для довільного T-степеня b. jm 2) Якщо a b, то a' b'. jm 3) 0 < b' для довільного T-степеня b. jm 4) Якщо a = b, то a' = b'. jm 5) Якщо A a, B b та B є A-РПМ, то b a'. T-степінь b повний, якщо b = a' для деякого T-степеня a. Повний T-степінь складається тільки з Т-повних множин. Множина всіх повних T-степенів є множиною значень операції стрибка. 44
Введемо операцію n-кратного стрибка, або n-стрибка. Для довільної A N покладемо A(0) = A, Для довільного T-степеня a покладемо a(0) = a, a(k+1) = (a(k))'. Властивості операції n-кратного стрибка Ураховуючи A<T DA та a < a', дістаємо: jn 1) A(0) <T A(1) <T. . . <T A(k) <T A(k+1) <T. . . для довільної A N. jn 2) a(0) < a(1) <. . . < a(k) < a(k+1) <. . . для довільного T-степеня a. jn 3) Якщо A T B, то A(n) m B(n) для всіх n 1. Теорема. Існує РФ g така: A, B, z, x якщо z : A m B, то g(z, x) : A(x) m B(x). 45
-стрибком множини A N назвемо множину A( ) = {C(x, y) | x A(y)}. -стрибком T-степеня a назвемо T-степінь a ( ) = d. T(A( )), де A a. Теорема. A(n) <T A( ) для всіх A, n. Маємо C(x, y) A( ) x A(y) n N C(x, n) : A(n) 1 A( ) n A(n) T A( ). Неможливо A( ) T A(k) для деякого k: тоді A( ) T A(k) <T A(k+1) T A( ) – суп-ть. Отже, A(n) T A( ) для всіх A, n. Теорема. Якщо A T B, то A( ) m B( ). Теорема. Існують множини A і B такі: A( ) m B( ) та B <T A. Візьмемо довільні B N та n > 0. Покладемо A = B(n). Тоді A(x) = B(x+n) для всіх x. Звідси u A( ) l(u) A(r(u)) l(u) B(r(u)+n) C(l(u), r(u) + n) B( ). Отже, A( ) m B( ). Згідно jn 1, маємо B <T B(n), тобто B <T A. 46
Упорядкування Т-степенів досить нетривіальне. Теорема (Кліні, Пост). Існує зліченна сукупність Т-степенів, розташованих між 0 та 0', лінійно впорядкована за типом раціональних чисел. Теорема. Існують Т-степені а та b такі: 1) a < 0( ), b < 0( ) та a | b; 2) 0(n) < a та 0(n) < b для кожного n N; 3) Т-степеня d такого, що d a та d b, існує n N: d 0(n). Наслідок. 1) Т-степені a і b не мають найбільшої нижньої грані; 2) 0( ) не є найменшою верхньою гранню Т-степенів 0, 0', . . . , 0(n), . . . П. 1 наслідку випливає з п. 3 теореми. Згідно п. 1 теореми a < 0( ) та b < 0( ). Згідно п. 2 a та b є верхніми гранями Т-степенів 0, 0', . . . , 0(n), …. Звідси п. 2 наслідку Теорема (С. Купер). Т-степеня b 0' існує мінімальний степінь m такий, що m' = m 0' = b. 47
Скачать презентацию ЗВІДНОСТІ Проблема зводиться до проблеми з розв язності
ta_lect6.ppt