Звичайні диференціальні рівняння в системі Mathematica Виконав студент

Звичайні диференціальні рівняння в системі Mathematica Виконав студент 202 групи Ковалевський Едуард

Mathematica Почти любой рабочий процесс включает в себя вычисление результатов, и это именно то, что делает система Mathematica — от построения веб-сайта для торговли хедж-фондами или публикации технических учебников до разработки встроенных алгоритмов распознавания изображений или преподавания математического анализа. Система Mathematica известна как самое мощное в мире вычислительное приложение. Но это гораздо больше—она является единственной платформой для разработки, полностью интегрирующей вычисления в рабочий процесс от начала до конца, уверенно проводя вас от первоначальных идей и вплоть до развернутых индивидуальных и промышленных решений.

Зміст ЗДР першого порядку; ЗДР вищих порядків; системи ЗДР першого порядку; фазовий портрет динамічної системи(модель «хижак – жертва» ).

Символьні рішення ЗДР Символьні рішення звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР) і диференціальних рівнянь у частинних похідних розглядаються і розв’язуються Методами символьної алгебри системи Маthematica. Рішення частинних диференціальних рівнянь у середовищі Маthematica виробляється за допомогою одного із двох операторів Dsolve NDSolve причому перший з них використовується як для символьних рішень, так і для числових реалізацій, а другий тільки для числових рішень. Пакет <

Крім того використовуючи убудований пакет <

Приклад Знайдіть символьний розв'язок ЗДР. Зобразіть розв'язок з використанням константи з індексом. xy’+ y = 0

ЗДР вищого порядку. Спочатку розглянемо розв’язок звичайного диференціального рівняння другого порядку, яке подано нижче.

Приклад Знайдіть загальний розв’язок диференціального рівняння вищого порядку.

Система звичайних диференціальних рівнянь У довільній системі звичайних диференціальних рівнянь ми маємо декілька залежних змінних. Так, загальний вид системи ЗДР n-го порядку представлений нижче.

Функції являють собою, у загальному вигляді, аналітичні, однозначні функції своїх змінних. Оператор, що дозволяє розв’язувати системи, має вигляд DSolve[{eg 1, eg 2, . . . }, {y 1, y 2, . . . }, x] Оператор DSolve[. . . ] може розв’язувати системи лінійних диференціальних рівнянь довільного (але кінцевого порядку) з постійними коефіцієнтами. Також можливий розв’язок системи ЗДР з постійними і змінними коефіцієнтами, але в загальному випадку одержати загальне розв’язання вдається не завжди. У результаті розв’язку за вищезазначеним оператором одержуємо загальний розв’язок.

Приклад Знайдіть загальний розвязок системи ЗДР.

Диференціальні рівняння в частинних похідних першого порядку Розв’язування диференціальних рівнянь у частинних похідних у середовищі Маthematica обробляється за допомогою оператора DSolve[eg, u[x, y], {x, y}] (* розв’язок eg-квазілінійного диференціального рівняння в частинних похідних; u - залежна змінна; x, y - незалежна змінна*).

Пакет «Calculus`PDSolve 1» дозволяє розв’язати ряд диференціальних рівнянь у частинних похідних першого порядку з постійними коефіцієнтами. За допомогою названого оператора і пакета можна одержати, крім загальних розв’язків, і частинні розв’язки, записані через початкові і крайові умови. Розглянемо найпростіші розв’язки.

Приклад Знайдіть роз’язок диференціальних рівнянь з частинних похідних першого порядку. Зобразіть розв’язок графічно.

Модель «хижак – жертва» Рівня ння Ло тки — Вольте рри або рівня ння хижа к — же ртва — система двох звичайних диференціальних рівнянь першого порядку, яка описує кінетику чисельності популяції з одним типом хижаків і одним типом жертв. Характерною особливістю рівннянь є те, що їхнім розв'язком є автоколивання. Рівняння запропонували незалежно Альфред Джеймс Лотка та Віто Вольтерра, в 1925 та 1926 роках, відповідно. Рівняння мають вигляд

У рівняння входять такі процеси: розмноження жертв та їхня гибель в результаті поїдання хижаками, розмноження та вимирання хижаків. Вважається, що розмноження хижаків пропорційне кількості іжі, тобто, кількості потенційних жертв у популяції. Детальніше дивіться тут

Програмний пакет «Mathematica» можна завантажити зз офіційного сайта WOLFRAM. Для завантаження натисніть на зображення.

Диференціальні рівняння Диференціальні рівняння — розділ математики, який вивчає теорію та способи розв'язування рівнянь, що містять шукану функцію та її похідні різних порядків одного аргументу (звичайні диференціальні) чи кількох аргументів (диференціальні рівняння в частинних похідних). Диференціальні рівняння широко використовуються на практиці, зокрема для опису перехідних процесів. Теорія диференціальних рівнянь — розділ математики, що займається вивченням диференціальних рівнянь і пов'язаних з ними задач. Їх результати застосовуються в багатьох природничих науках, особливо широко — у фізиці. Простіше кажучи, диференціальне рівняння — це рівняння, в якому невідомою величиною є деяка функція. При цьому, в самому рівнянні бере участь не тільки невідома функція, але й різні її похідні. Диференціальним рівнянням описується зв'язок між невідомою функцією та її похідними. Такі зв'язки віднаходяться в різних областях знань: у механіці, фізиці, хімії, біології, економіці та ін. Розрізняють звичайні диференціальні рівняння з частинними похідними. Складнішими є інтегро-диференціальні рівняння. Спочатку диференціальні рівняння виникли із задач механіки, в яких брали участь координати тіл, їхні швидкості та прискорення, розглянуті як функції від часу. Диференційне рівняння називається інтегровним в квадратурах, якщо задачу знаходження усіх розв'язків можна звести до обчислення скінченного числа інтегралів відомих функцій і простих алгебраїчних операцій.

Дякую за Увагу!