Золотое сечение в музыке • • Биография Пифагора • Теория Пифагора о числах • Золотое сечение • Леонардо Фибоначчи • Ряд Фибоначчи • Свойства ряда Фибоначчи Связь между рядом Фибоначчи и золотым сечением • Примеры ряда Фибоначчи в природе
Биография Пифагора Родился около 580 г. до н. э. на острове Самос. Убит в Метапоне в результате заговора. Первые познания он получил от своего отца, ювелира: в те времена эта профессия требовала многосторонней образованности. Есть указания, что его предки были сирийцами или финикиянами, и, может быть, еще в своей семье он приобщился к религиозной традиции Востока. Для тогдашней греческой молодежи посещение чужих стран было главным способом расширить запас знаний, и поэтому юность свою Пифагор провел в путешествиях.
Теория Пифагора о числах Рассуждения Пифагора о числах представляет попытку свести все явления к числовым отношениям и рассматривать числа как непреходящую сущность вещей. Как все числа составлены из чета и нечета, так и все вещи соединяют в себе противоположности, так же каждая вещь рассматривалась как примирение противоположностей. Пифагорейцы считали четные числа женскими, а нечетные мужскими. По теории Пифагора, все числа, большие 10, могут быть сокращены до цифр от 1 до 9 включительно, поскольку они являются исходными числами, из которых могут быть получены все другие. Четыре числа, составляющие тетраду - один, два, три, четыре - имеют прямое отношение к музыке: они задают все известные консонантные интервалы - октаву (1: 2), квинту (2: 3) и кварту (3: 4). Для сокращения большого числа в элементарные, Пифагор использовал метод сложения всех цифр составляющих число, если образуется 10 или более, складываются и эти цифры. Этот процесс продолжается до тех пор, пока в результате не получится элементарное число от 1 до 9, каждое из которых имеет свое значение и силу. • Значение чисел • В теории Пифагора о числах самыми главными являются числа от единицы до четырех. Это своеобразные символы, обозначающие связь с Вселенной и несущие определенный смысл. • Цифра 1 – представляет Высшую сущность, Бога. Она является некой точкой, которая не имеет никаких параметров. • Цифра 2 – обозначает материю, которая в буквальном отображении воплощается некой прямой определенной длины, связывающей две точки, но не имеющей понятия ширины. • Цифра 3 – триада. Ее материальное воплощение представляет собой три прямые линии определенной длины, соединяющие, равноудаленные между собой, точки. Образованный треугольник имеет длину и ширину. • Цифра 4 – образует тетраэдр – элементарную фигуру, образованную путем соединения прямыми линиями конечной длины четырех точек и имеющую объем. • По системе Пифагора цифры 1, 2, 3, 4 показывают математический рисунок Космоса, через фигуру Тетрактис – «вечный источник природы» . Эта фигура пользовалась огромным почетом, так как иллюстрировала то, что сумма первых четырех чисел равна 10 – священному числу. • Четыре числа, составляющие тетраду - один, два, три, четыре - имеют прямое отношение к музыке: они задают все известные консонантные интервалы - октаву (1: 2), квинту (2: 3) и кварту (3: 4).
Золотое сечение – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему a : b = b : c или с : b = b : а. Примеры Золотого сечения
Биография Фибоначчи С историей золотого сечения косвенным образом связано имя итальянского математика монаха Леонардо из Пизы, более известного под именем Фибоначчи (сын Боначчи). Леонардо Фибоначчи (ок. 1175 -1250) - итальянский математик Европы позднего Средневековья. Родился в богатой купеческой семье в Пизе. Много путешествовал, посетил Византию, Сицилию, где общался с местными учёными. В 1202 году он издал книгу на латинском языке «Книга об абаке» , которая вмещала все знания по математике того времени и учила использовать десятичную систему исчисления. Данная книга более двух веков использовалась в качестве наиболее авторитетного источника знаний в области чисел.
Ряд Фибоначчи • • Одна из задач гласила: Кто-то поместил пару кроликов в некоем замкнутом пространстве, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течении года, если природа кроликов такова, что каждый месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а способность к производству потомства у них появляется по достижению двухмесячного возраста. В итоге получается такая последовательность: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, где через запятую показано количество пар кроликов в каждом из двенадцати месяцев. Эту последовательность можно продолжать бесконечно долго, она известна как ряд Фибоначчи. У этой последовательности есть ряд математических особенностей, которых обязательно нужно коснуться. Данная последовательность асимптотически (приближаясь все медленнее и медленнее) стремится к некоторому постоянному соотношению. Однако, это соотношение иррационально, то есть представляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифр в дробной части. Его невозможно выразить точно.
Свойства ряда Фибоначчи • • • Каждый ее член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих 2 + 3 = 5; 3 + 5 = 8; 5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21; 13 + 21 = 34 и т. д. Каждое третье число в ряду Фибоначчи - четное, каждое четвертое делится на 3, каждое пятое - на 5, каждое пятнадцатое - на 10, или треугольник, сторонами которого являлись бы числа ряда Фибоначчи построить невозможно. Если какой-либо член последовательности Фибоначчи разделить на предшествующий ему (например, 8: 5), результатом будет величина, колеблющаяся около иppационального значения 1. 61803398875. . . И каждый раз, производя подобные действия, мы будем получать числа приблизительно равные этому (1. 618). Это соотношение называют Золотым сечением. Отношение каждого числа к последующему более и более стремится к 0. 618 по увеличении порядкового номера. Отношение же каждого числе к предыдущему стремится к 1. 618 (обратному к 0. 618). Отношения первых членов последовательности Фибоначчи далеки от Золотого Сечения. Но чем дальше мы продвигаемся по ней, тем больше эти отклонения сглаживаются. Так отношение какого-либо члена последовательности к предшествующему колеблется около числа 1, 618, через pаз то превосходя, то не достигая его. Отношение к следующему аналогично приближается к числу 0, 618, что обратно пропорционально 1, 618. Если мы будем делить элементы последовательности через одно, то получим числа 2, 618 и 0, 382, которые так же являются обратно пропорциональными. Подбирая таким образом соотношения, получаем основной набор коэффициентов: … 4. 235, 2. 618, 1. 618, 0. 382, 0. 236. Это так называемые коэффициенты Фибоначчи.
На рисунке наглядно показана связь между последовательностью Фибоначчи и Золотым сечением. Мы начинаем с двух квадратов первого размера. Сверху добавляем квадрат второго размера. Подрисовываем рядом квадрат со стороной, равной сумме сторон двух предыдущих, третьего размера. По аналогии появляется квадрат пятого размера. И так далее пока не надоест, главное, чтобы длина стороны каждого следующего квадрата равнялась сумме длин сторон двух предыдущих. Мы видим серию прямоугольников, длины сторон, которых являются числами Фибоначчи, и, как не странно, они называются прямоугольниками Фибоначчи. Если мы проведём плавную линий через углы наших
И не только в раковине моллюска можно найти спирали Архимеда, а во многих цветах и растениях, просто они не такие явные. Алое многолистный Подсолнечник Ящерица живородящая. В ящерице с первого взгляда улавливаются приятные для нашего глаза пропорции - длина ее хвоста так относится к длине остального тела, как 62 к 38. Сосновая шишка
Тело человека. В теле человека отношение длины предплечья к длине руки равно 1. 618, т. е. “Золотому сечению”. Другими широко известными примерами в теле человека являются: 1. Отношение между длиной и шириной лица; 2. Отношение расстояния между губами и местом где сходятся брови к длине носа; 3. Отношение размера рта к ширине носа; 4. Отношение расстояния между линией плеч и верхом головы к длине головы; 5. Отношение расстояния между пупком и коленями к расстоянию между коленями и ступням; 6. Отношение расстояния между кончиками пальцев и локтем к расстоянию между запястьем и локтем;
Космос. Из истории астрономии известно, что И. Тициус, немецкий астроном XVIII в. , с помощью этого ряда (Фибоначчи) нашел закономерность и порядок в расстояниях между планетами солнечной системы Однако один случай, который, казалось бы, противоречил закону: между Марсом и Юпитером не было планеты. Сосредоточенное наблюдение за этим участком неба привело к открытию пояса астероидов. Произошло это после смерти Тициуса в начале XIX в.
Пирамиды. Многие пытались разгадать секреты пирамиды в Гизе. В отличие от других египетских пирамид это не гробница. Длина ребра основания пирамиды в Гизе равна 783. 3 фута (238. 7 м), высота пирамиды -484. 4 фута (147. 6 м). Длина ребра основания, деленная на высоту, приводит к соотношению Ф=1. 618. Высота 484. 4 фута соответствует 5813 дюймам (5 -8 -13) - это числа из последовательности Фибоначчи. Эти интересные наблюдения подсказывают, что конструкция пирамиды основана на пропорции Ф=1, 618. Некоторые современные ученые склоняются к интерпретации, что древние египтяне построили ее с единственной целью - передать знания, которые они хотели сохранить для грядущих поколений. Интенсивные исследования пирамиды в Гизе показали, сколь обширными были в те времена познания в математике и астрологии. Во всех внутренних и внешних пропорциях пирамиды число 1. 618 играет центральную роль.
Все окружающие нас предметы мы различаем в том числе и по форме. Какие-то нам нравятся больше, какие-то меньше, некоторые вовсе отталкивают взгляд. Иногда интерес может быть продиктован жизненной ситуацией, а порой красотой наблюдаемого объекта. Симметричная и пропорциональная форма, способствует наилучшему зрительному восприятию и вызывает ощущение красоты и гармонии. Целостный образ всегда состоит из частей разного размера, находящихся в определённом соотношении друг с другом и целым. Золотое сечение - высшее проявление совершенства целого и его частей в науке, искусстве и природе
Скачать презентацию Золотое сечение в музыке Биография Пифагора
Золотое сечение в музыке.ppt