Зображення подій в автоматах Лекція 13 1
Автоматні відображення (1) Раніше було розглянуто алфавітні відображення. Не кожне алфавітне відображення є автоматним. Розглянемо автоматні відображення та зв'язок між автоматним відображенням і довільним алфавітним відображенням. Нехай відображення f задовольняє таким умовам: üбудь-якому припустимому вхідному слову p (X) відображення f зіставляє вихідне слово f(p) (Y), що має однакову довжину зі словом p, |f(p)|=|p|; üякщо p – припустиме вхідне слово, а p 1 – початковий відрізок слова p, то f(p 1) існує та збігається з деяким початковим відрізком слова f(p). Зображення подій в автоматах 2
Подія в алфавіті Ці умови є умовами автоматного відображення, а будь-яке алфавітне відображення, що задовольняє цим умовам, є автоматним відображенням. Будь-яке алфавітне відображення може бути перетворене на автоматне шляхом введення до алфавітів X та Y порожньої літери e. Однією із форм задання алфавітного відображення зі скінченною областю визначення є таблиця відповідності (словник). Зручною формою задання будь-яких автоматних відображень є їх задання за допомогою подій. Нехай X = {x 1, . . . , xm} – довільний алфавіт, а (X) – множина всіх слів у ньому. Будь-яка підмножина множини (X) називається подією в алфавіті X. Зображення подій в автоматах 3
Канонічна множина подій Нехай A – абстрактний автомат із вхідним алфавітом X = {x 1, . . . , xm} і вихідним алфавітом Y = {y 1, . . . , yn}, що індукує часткове відображення f множини (X) у множину (Y). Означення 4. 1. Подією Rj, що зображена в автоматі A вихідною літерою yj (j J = {1, 2, . . . , n}), називається множина всіх слів p (X) автомата, для яких слово f(p) визначене та закінчується літерою yj. Якщо N Y – деяка підмножина вихідних літер, то подією, що зображена в автоматі A множиною N, називається об'єднання подій, які представлені всіма елементами цієї множини. У випадку, коли N збігається з алфавітом Y, відповідна йому подія називається канонічною множиною подій R 1, R 2, . . . , Rn автомата A. Зображення подій в автоматах 4
Задання автомата канонічною множиною подій Теорема 4. 1. Задання часткового автоматного відображення f множини (X) у множину (Y) довільного абстрактного автомата A із вхідним X = {x 1, . . . , xm} і вихідним Y = {y 1, . . . , yn} алфавітами еквівалентне заданню канонічної множини подій R 1, R 2, . . . , Rn автомата, що розглядається. Із теореми випливає, що довільне автоматне відображення можна задавати за допомогою розбиття множини (X) усіх слів у вхідному алфавіті на скінченне число подій, що попарно не перетинаються. Для опису скінченних і деяких класів нескінченних подій розглянемо алгебру подій. Зображення подій в автоматах 5
Алгебра подій Означення 4. 2. Алгеброю подій в алфавіті X називається множина всіх подій в алфавіті, на якій визначено систему трьох операцій: üдвох бінарних (диз'юнкція та множення), üта однієї унарної (ітерація (замикання Кліні)). Зображення подій в автоматах 6
Сигнатура операцій алгебри подій Диз'юнкцією подій R і S називається подія P, що позначається P = R S та утворюється теоретико-множинним об'єднанням подій R і S. Множенням подій R і S називається подія U, що позначається U = R S і складається з усіх слів, які мають вигляд u = r s, де u U, r R та s S. Таким чином, слова події U утворюються приписуванням праворуч будь-якого слова події S до будь-якого слова події R, але не навпаки, тобто операція множення не є комутативною. Ітерацією події R називається подія, що позначається {R}* і визначається як диз'юнкція порожнього слова e, події R R, події R R R і так далі до нескінченності, тобто {R}* = e R R R. . . Зображення подій в автоматах 7
Приклади подій. Порожня подія Приклад 4. 3. Нехай алфавіт X = {x 1, x 2}. Задано події R = {x 1, x 2 x 1} та S = {x 2 x 2, x 1 x 2} в алфавіті X. Необхідно побудувати події R S, {R}*. R S = {x 1, x 2 x 2, x 1 x 2}, R S = {x 1 x 2 x 2, x 1 x 1 x 2, x 2 x 1 x 2 x 2, x 2 x 1 x 1 x 2}, {R}* = {e, x 1, x 2 x 1, x 1 x 2 x 1, x 2 x 1 x 2 x 1, x 1 x 1 x 1, x 1 x 2 x 1 x 1, x 2 x 1 x 1, x 1 x 1 x 2 x 1, x 2 x 1 x 1 x 2 x 1, x 2 x 1 x 2 x 1, . . . }. Події, що відрізняються одна від одної тільки порожнім словом e, вважаються такими, які не можна відрізнити. Крім події e розглядатимемо також порожню подію , яка складається із порожньої множини літер вхідного алфавіту. Зображення подій в автоматах 8
Рекурсивне визначення регулярного виразу Означення 4. 3. Нехай X = {x 1, . . . , xm} – довільний алфавіт. Введемо означення регулярного виразу в алфавіті X, яке визначається рекурсивно (тобто означення є рекурсивним) у такий спосіб: а) символи x 1, . . . , xm, e та є регулярними виразами; б) якщо R і S – регулярні вирази, то регулярними виразами є й R S, {R}*; в) жодні інші вирази, не одержані шляхом скінченного числа застосувань попередніх двох правил, не є регулярними. Регулярний вираз є формулою в алгебрі подій, причому одна й та сама подія може бути по-різному виражена через одноелементні події та операції диз'юнкції, множення та ітерації. Зображення подій в автоматах 9
Регулярні події Означення 4. 4. Події, для яких існують регулярні вирази, називаються регулярними подіями. У протилежному випадку події називаються нерегулярними. Звернемося до деяких правил еквівалентних перетворень регулярних виразів. Спочатку розглянемо основні властивості операцій , , { }*, що випливають із визначень і сигнатури операцій алгебри подій. Нехай P, R, S – довільні регулярні події з (X). Тоді мають місце співвідношення: P = P = P, P = P= , P e = e P = P, { }* = e, {e}* = e. Зображення подій в автоматах 10
Еквівалентні перетворення регулярних виразів (1) Комутативність диз'юнкції та ітерації: P R = R P; P {P}* = {P}* P. Асоціативність диз'юнкції та множення: P (R S) = (P R) S; P (R S) = (P R) S. Ліва та права дистрибутивність множення щодо диз'юнкції: P (R S) = (P R) (P S); (P R) S = (P S) (R S). Зображення подій в автоматах 11
Еквівалентні перетворення регулярних виразів (2) Розгортання ітерації: {P}* = e P {P}*. Ідемпотентність диз'юнкції та ітерації: P P = P; {{P}*}* = {P}*. Диз'юнктивне поглинання ітерації: {P}* P = {P}*. Мультиплікативне поглинання ітерації: {P}* = {P}*. Дужки { }* називаються ітераційними. Для вказівки на послідовність виконання операцій в алгебрі подій вводяться звичайні дужки. За відсутності звичайних дужок першими виконуються операції ітерації, далі – множення і в останню чергу – диз'юнкції. Зображення подій в автоматах 12
Циклічна глибина регулярного виразу Означення 4. 5. Циклічною глибиною регулярного виразу називається максимальна кількість вкладених одна до одної пар ітераційних дужок. Наприклад, вираз {x 1{x 2{x 1}* x 3}* x 2 має циклічну глибину три. Усі скінченні вирази мають нульову циклічну глибину. Під циклічною глибиною регулярної події розуміють мінімальну циклічну глибину регулярних виразів, що її представляють. Зображення подій в автоматах 13
Приклади регулярних подій (1) Приклади 4. 4. Задано алфавіт X = {x 1, x 2, x 3}. Розглянемо деякі регулярні події: üуніверсальна подія, що складається з усіх слів алфавіту X, і може бути записана у вигляді P = {x 1 x 2 x 3}*; üподія, що містить тільки трилітерні слова алфавіту X, має вигляд: R = (x 1 x 2 x 3); üподія, що складається з усіх слів, в яких хоча б один раз зустрічається відрізок літер x 1 x 2 x 1, може бути записана у вигляді S = {x 1 x 2 x 3}* x 1 x 2 x 1{x 1 x 2 x 3}*; üподія, що складається з усіх слів, які починаються літерою x 1 або x 3, а закінчуються відрізком x 1 x 2, має вигляд: T = (x 1 x 3) {x 1 x 2 x 3}* x 1 x 2; Зображення подій в автоматах 14
Приклади регулярних подій (2) üподія, що містить усі слова, довжина яких кратна двом, виглядає так: U = {(x 1 x 2 x 3)}*; üподія, що складається із таких слів, початком яких є літери x 1 або x 2, далі йде дволітерне слово з x 2 або x 3 і, врешті, закінчення містить, принаймні, одну літеру x 1, записується так: Q = {x 1 x 2}* (x 2 x 3) x 1 {x 1}*. Із розгляду операцій , , { }* алгебри подій випливає, що всі скінченні події є регулярними. Застосування операції ітерації викликає появу нескінченних регулярних подій. Більшість нескінченних подій є нерегулярними. Зображення подій в автоматах 15
Задання регулярних виразів у вигляді графів (1) Будь-який регулярний вираз можна зобразити у вигляді графа. Графи елементарних регулярних виразів, що відповідають диз'юнкції xi xj, множенню xi xj та ітерації {xi}*, наведено нижче. Вершинам графа приписують номери із множини {1, 2, 3, . . . }. У кожному графі регулярного виразу фіксуються вершина, що є початком (як правило, має номер 1), та вершини, які служать кінцем. Зображення подій в автоматах 16
Задання регулярних виразів у вигляді графів (2) При використанні графів елементарних регулярних виразів можна індуктивно побудувати граф як завгодно складного регулярного виразу. Наприклад, вираз R = x 1 x 3 {x 2 x 1}* x 4{x 1}*x 2 {x 3}* має вигляд, що показано на наступному слайді. Початковою вершиною є вершина 1, а кінцевими – вершини 3, 6 та 1. Кожному шляху у графі регулярного виразу від початку до будь-якого з кінців має відповідати послідовність вхідних літер, що належить регулярному виразу, який розглядається. І навпаки, кожна послідовність, задана регулярним виразом, визначає деякий шлях у графі регулярного виразу. Зображення подій в автоматах 17
Задання регулярних виразів у вигляді графів (3) R = x 1 x 3 {x 2 x 1}* x 4{x 1}*x 2 {x 3}* Зображення подій в автоматах 18
Задання регулярних виразів у вигляді графів (4) У графах, що побудовані за регулярними виразами деякого вигляду, можуть виникати хибні послідовності, які не відповідають регулярному виразу. Наприклад, виділений на графі шлях відповідає слову x 3 x 4 x 2, що не належить регулярному виразу R. Виникнення хибних послідовностей можна запобігти введенням на графі порожніх стрілок, що означають миттєвий перехід з однієї вершини графа до іншої. Наведемо систему правил, що визначають типи регулярних виразів, графи яких мають містити порожні стрілки. Зображення подій в автоматах 19
Усунення хибних шляхів (1) Правило 1. Порожні стрілки на графі регулярного виразу S вводяться у випадку добутку двох або більшої кількості ітерацій, тобто, коли де Ri – довільний регулярний вираз. Геометричну інтерпретацію цього правила при n = 3 показано нижче. Зображення подій в автоматах 20
Усунення хибних шляхів (2) Правило 2. Порожні стрілки на графі регулярного виразу S, яке починається та закінчується ітераційними дужками, вводяться у випадках: üS = {{P}* R}*; üS = {R {N}*}*; üS = {{P}* R {N}*}*, де P, R, N – довільні регулярні вирази. Застосування правила показано нижче. Зображення подій в автоматах 21
Усунення хибних шляхів (3) Правило 3. Порожні стрілки на графі регулярного виразу S вводяться у випадку диз'юнкції, якщо хоча б один із диз'юнктивних членів починається з ітерації S = {R}* Q {P}*. . . Q, де Q – регулярний вираз, що не містить ітераційних дужок. Правилу 3 відповідає граф, який наведено нижче. Зображення подій в автоматах 22
Усунення хибних шляхів (4) Правило 4. Порожні стрілки на графі регулярного виразу S вводяться при множенні зліва на диз'юнкцію, якщо хоча б один із диз'юнктивних членів закінчується ітерацією: S = (Q {P}* {R}*. . . Q) N. Граф цього виразу показано нижче. Зображення подій в автоматах 23
Повнота системи правил Теорема 4. 2. Система правил 1– 4 введення порожніх стрілок для виключення хибних шляхів у графах регулярних виразів є повною. Виправлений граф для виразу (слайд 17) показано нижче (застосовується правило 3). Зображення подій в автоматах 24
Зображення подій в автоматах 25
