Зимняя школа НИУ ВШЭ 2012 г. Перминов Г.

Зимняя школа НИУ ВШЭ 2012 г. Перминов Г. И.

• Ключевые концепции традиционных моделей и традиционные аналитические методы анализа экономики все чаще и чаще наталкиваются на проблемы, не имеющие эффективного решения в рамках устоявшихся парадигм.

• Традиционные, ставшие уже классическими, подходы были разработаны для описания относительно устойчивого, медленно эволюционирующего и не радикально изменяющегося мира, мира – который еще не сильно отклонился от состояния равновесия

• Классические методы и подходы не были предназначены для описания и моделирования быстрых изменений, непредсказуемых скачков и сложных взаимодействий отдельных составляющих современного мирового рыночного процесса.

• В противоположность глубоко развитому в эконометрике статистическому подходу к изучению экономики, возможен подход, предполагающий наличие неустойчивостей в самой экономической системе. При этом предполагается, что система существенно нелинейна, а кажущаяся случайность в поведении переменных системы вызвана высокой чувствительностью к начальным условиям и изменению параметров системы. При таком подходе меняется понимание причины "непредсказуемых" отклонений в рыночных ценах: отклонения могут быть вызваны не случайными процессами в системе (обусловленными бесконечно большим числом переменных) или внешним шумом, а быть неотъемлемым свойством поведения нелинейной системы с конечным (и даже малым) числом переменных.

• Основные методы, которые использовались ранее, при моделированиии экономики, можно разделить на три группы: балансовые, исследования операций, эконометрические. • Их общей чертой можно назвать линейность (или сводимость к ней, посредством процедуры линеаризации соответствующих систем), которая является как недостатком, так и достоинством этих методов.

• Линейный характер связей принимается как постулат, подтвержденный достаточно обширным эмпирическим материалом. Такой постулат можно было принять в условиях плановой экономики, которая характеризовалась стационарным режимом преимущественно экстенсивного роста. В условиях переходной и рыночной экономики, когда большинство процессов носят нестационарный характер, такой постулат нужно применять осторожно, поскольку он сильно огрубляет модель, которая может существенно потерять в степени адекватности описания динамических процессов.

• 1. Возможность описания большинства процессов с большой степенью точности с помощью линейных уравнений или их комбинаций. Нелинейные члены представляют собой лишь небольшие добавки, не вносящие существенных качественных изменений в общую картину. • 2. Однозначность стационарного решения в системе линейных уравнений. Это означает, что практически при любых условиях (параметрах системы) существует единственное стационарное решение (или не существует вовсе, что маловероятно), которое достигается независимо от начальных условий. В этом выражается представление о единственно верной цели, к которой следует стремиться любыми способами. • 3. Устойчивость решения по отношению к виду уравнений и начальным условиям. Малые отклонения мало влияют на решения. Это соответствует представлениям об объективной закономерности, на которую фактически не могут повлиять личности и обстоятельства. • 4. Возможность однозначной идентификации параметров в системе в случае полностью наблюдаемого вектора состояний (по совокупности фактических данных). Это означает, что по следствиям можно однозначно определить причину. • 5. К линейно-детерминисткому подходу следует отнести и представление о возможности выделения определяющего, лимитирующего фактора в любом процессе, о существовании ключевого управляющего фактора, обнаружив который, можно инициировать необходимый процесс. Например, в истории нашей страны: монетарная система и т. д.

• В Советском Союзе для прогнозирования и планирования экономических процессов широко использовались статические и динамические модели межотраслевого баланса (МОБ), а также модели межотраслевых взаимодействий (ММВ). • Однако в настоящее время эти модели имеют ограниченную возможность применения, поскольку государство, вследствие суженного (в сравнении с системой централизованного планирования) набора ресурсов и инструментов лимитировано в своем влиянии на рыночный процесс. С другой стороны, степень гетерогенности среды в условиях перехода к рыночной экономике, существенно возросла, и эффекты, связанные с нестационарностью процессов, проявляются в экономической среде через усиление нелинейной реакции агентов, что затрудняет разработку и принятие решений (в том числе стратегических) по управлению социально-экономическими процессами в России. • Таким образом, сегодня необходима разработка преимущественно динамических моделей, на основе которых можно моделировать варианты решений актуальных задач развития.

• Основная цель оптимизационной модели – определить темпы и направления развития отраслей при обеспечении сбалансированности и пропорциональности. • Преимущества, которые дает постановка задачи на оптимум, заключаются в том, что принцип экономического баланса соединяется здесь с принципом максимально эффективного использования ресурсов. • С другой стороны, недостатком задачи на экстремум является фиксация пределов, при которых ищется решение, и полное предвидение в отношении величин (их распределений в случае стохастического программирования), как целевых, так и функциональных.

• Применение методов математического программирования (линейного, нелинейного, стохастического, динамического) в современной российской экономике ограничено тем, что существует быстрое изменение как глобальных, так и локальных критериальных коэффициентов, являющееся проявлением существенной нелинейности социально-экономической среды, причем период их изменения существенно короче потенциального периода их реализации.

Пример: Изменение коэффициентов регрессий по времени Сегмент_1 Сегмент_2 Сегмент_3 Сегмент_4 Сегмент_5 Сегмент_6 Сегмент_7 Сегмент_8 Св. член -4321, 33 -57663, 6 16445, 7 N 2 -0, 0944808 -0, 099793 3, 24122 -0, 132899 0, 317195 0, 0811661 -0, 477679 -1, 68847 N 3 -0, 00298633 0, 00737599 0 0, 0204202 -0, 0470268 0 -0, 154138 -0, 0497545 N 4 0, 00350075 0, 28871 0 -0, 100342 -0, 254573 0, 0607504 0 N 5 0 3, 37665 0, 220819 0 N 6 0, 0295582 -0, 533054 0 0, 412975 0 0, 060502 0 N 7 -0, 0511917 -0, 920075 0 -0, 516419 -0, 103571 0 N 8 -0, 0224537 -0, 286627 0 0, 0494803 0 N 9 -0, 56674 0 -34, 054 0, 342864 -7, 96177 -0, 306936 26, 3116 19, 0554 N 10 0, 0448511 -0, 374909 1, 23511 -0, 072229 -0, 198479 -0, 0384269 -1, 18021 0 N 11 0, 113583 -0, 401045 -0, 734073 -0, 625251 -2, 27006 0, 107386 0 0, 660178 N 12 0, 00226712 0, 52072 1, 34555 0, 0315729 0, 474299 0, 11958 -1, 17826 -0, 385614 N 13 -0, 0445933 0, 266128 -3, 12515 -0, 246386 3, 35006 0, 235491 -3, 54233 1, 02899 N 14 -0, 0048616 0, 022682 -0, 709569 0, 0136114 0, 605652 -0, 0166852 -0, 313374 0, 447725 N 15 0, 216958 0 3, 23083 2, 20165 -3, 20696 -0, 932851 6, 41812 -10, 9557 N 16 -10, 0211 0 515, 421 -13, 5932 42, 3502 13, 2339 75, 1911 -165, 862 N 17 -17, 571 -156, 345 0 -13, 7587 -71, 9501 -24, 6187 14, 9767 50, 0198 N 18 44, 5968 -1106, 11 0 0 N 19 -15, 2611 0 0 N 20 11, 8494 80, 5359 0 0 12, 9091 N 21 21, 5339 465, 152 0 0 N 22 -0, 0490144 -0, 214827 0 0 N 23 0, 970891 8, 67039 -129, 698 -6, 63118 -32, 7441 3, 31737 116, 235 -241, 989 N 24 -0, 0318278 0 -2, 18187 0, 391403 -0, 770498 -0, 153087 0 14, 6721 N 25 18, 5233 0 -10, 7957 0

Одним из основных подходов, который использовался и используется при прогнозировании макроэкономической динамики как в российской, так и в рыночных экономиках, является использование эконометрических методов. При простоте их использования на основе регрессионных уравнений, они имеют ряд недостатков, среди которых можно назвать следующие: • Значения коэффициентов, входящих в уравнения зависят от длины статистического ряда, аппроксимация которого производится. Эта зависимость будет сказываться на точности прогноза. Длина памяти современных экономических рядов чрезвычайно мала. • Современная российская экономика, являясь переходной, демонстрирует нестационарность процессов по причине быстрого изменения экономической среды, поэтому эконометрические модели относительно быстро приходят в негодность. • Общепринято, что период прогноза должен быть меньше длины статистического временного ряда, на котором строилась модель. • Сложность учета множественности факторов, влияющих на прогнозируемую величину, особенно, если степень влияния факторов переменная (см. предыдущий пример). • Значительная сложность проведения качественного анализа системы, особенно применении разных типов аппроксимирующих уравнений, что, в свою очередь, затрудняет выявление зависимости стационарного и динамического взаимодействия между отдельными объектами, входящими в модель. • Нестационарность экономических рядов, заключающаяся не только в наличии тренда, но и непостоянства во времени дисперсии, ковариации, закона распределения и, главное, структуры модели. • Наличие в кривых распределения «тяжелых хвостов» . При этом возникает проблема нахождения экстремальных, катастрофических событий.

Сравнение экспериментальных и теоретических результатов Определение "длины памяти" индекса ММВБ Вид 10 мин 1 день 1 неделя данных Тип Экспер. Теория Разности Рост 6 6, 016624 14 16, 02026 7 8, 928726 Разности Спад 6 6, 016624 12 16, 02026 6 8, 928726 Остатки Рост 13 9, 265895 6 15, 53968 10 11, 63417 Остатки Спад 19 9, 265895 6 15, 53968 7 11, 63417 Шум Рост 6 8, 925139 7 8, 631547 7 15, 08239 Шум Спад 7 8, 925139 7 8, 631547 5 15, 08239 Упрощенная формула, определения длины памяти через старший показатель Ляпунова К 0 µ - допускаяемая вероятность ошибки; Δη = 1.

Сводная диаграмма длины памяти на уровне вероятности 10% для различных масштабов измерения 10 1 неде мин день ля Память S&P Разности Рост 6 9 5 Память S&P Разности Спад 6 6 5 Память S&P Дет. хаос Рост 8 6 8 Память S&P Дет. хаос Спад 6 6 6 Память S&P Шум Рост 5 5 4 2 Память S&P Шум Спад 6 4 3 Память ММВБ Разности Рост 6 14 7 1 Память ММВБ Разности Спад 6 12 6 Память ММВБ Дет. хаос Рост 13 6 10 Память ММВБ Дет. хаос Спад 19 6 7 Память ММВБ Шум Рост 6 7 7 Память ММВБ Шум Спад 7 7 5

• 1). К этой группе относятся распределения со степенным убыванием хвоста функции распределения • F(x) = 1 -F(x) = x-1/ξ. Это, например, распределения Парето, Коши, логгамма, Г-распределение Стьюдента и др. • 2). К области притяжения распределения Гумбеля Н 0 принадлежат такие распределения, как нормальное, экспоненциальное, гамма, логнормальное. Их можно назвать распределениями с хвостами "средней тяжести". Впрочем, логнормальное распределение занимает в некотором смысле промежуточное положение между этой группой и распределениями с тяжелыми хвостами. • 3). Третья группа — распределения с легкими хвостами, принадлежащие к области притяжения Нξ при ξ < 0 (это так называемое распределение Вейбулла).

В качестве альтернативы к используемым методам моделирования и прогнозирования можно назвать методы интеллектуального анализа данных: • системы прогнозирования и моделирования, построенные на нечеткой логике; • методы теории нейронных сетей основанные на их свойствах и генетическте алгоритмы; • методы теории динамических систем.

Как известно, аппарат нечетких множеств и нечеткой логики уже давно (более 10 лет) с успехом применяется для решения задач, в которых исходные данные ненадежны и слабо формализованы. • Преимущества такого подхода: • • описание условий и метода решения задачи на языке, близком к естественному; • • универсальность: согласно знаменитой теореме FAT (Fuzzy Approximation Theorem), доказанной Б. Коско в 1993 г. , любая математическая система может быть аппроксимирована системой, основанной на нечеткой логике; • • эффективность (связана с универсальностью), показываемая при помощи теорем, аналогичных теоремам о полноте для искусственных нейронных сетей.

• Методы нечеткой логики исходят из следующего положения. Если в стандартном подходе поведение динамической системы описывается фазовой траекторией (при детерминированном моделировании) или случайным процессом (при вероятностном моделировании), то при нечетком описании поведение системы описывается ансамблем траекторий с заданной на нем мерой возможности. Эта мера задает порядок на множестве траекторий, указывающий, какие траектории более возможны, какие – менее, а какие невозможны вообще. Поведение системы при этом можно определить как нечеткий процесс, описываемый начальным распределением возможностей перехода системы из одного состояния в другое как функции времени, начального и конечного состояний. Результат нечеткого моделирования говорит о том, что то или иное состояние системы возможно в заданный момент времени, и даже тогда, когда вычисленная возможность некоторого значения координат системы равна единице, это вовсе не означает, что такая ситуация действительно произойдет в реальности.

• 1. Исходный набор постулируемых нечетких правил формулируется экспертом-человеком и может оказаться неполным или противоречивым. • 2. Вид и параметры функций принадлежности, описывающих входные и выходные переменные системы, выбираются субъективно и могут оказаться не вполне отражающими реальную действительность.

• Нечеткое управление оказывается особенно полезным, когда целевые процессы являются слишком сложными для анализа с помощью общепринятых количественных методов или когда доступные источники информации интерпретируются качественно, неточно или неопределенно. Нечеткая логика, на которой основано нечеткое управление, ближе по духу человеческому мышлению и естественным языкам, чем традиционные логические системы. В основном нечеткая логика обеспечивает эффективные средства отображения неопределенностей и неточностей реального мира. Наличие математических средств отражения нечеткости исходной информации позволяет построить модель, адекватную реальности, в частности, при моделировании экономических процессов.

Нейронные сети представляют собой вычислительные структуры и распараллеленные системы, способные к обучению путем анализа положительных и отрицательных воздействий. Применение нейронных сетей в экономическом моделировании и прогнозировании позволяет решать следующие классы задач: • кластеризация / категоризация данных и поиск зависимостей; • прогнозирование; • оптимизация; • нахождение оптимального управляющего воздействия на систему.

Основными недостатками аппарата нейронных сетей являются: • отсутствие строгой теории по выбору структуры нейронных сетей; • практическая невозможность извлечения приобретенных знаний из обученной нейросети.

• Применение нейросетевых технологий и методов нечеткой логики с учетом их свойств (обучение, абстрагирование и обобщение) позволяет разрабатывать компактные гибкие системы моделирования, прогнозирования и управления, которые с существенно меньшими затратами позволяют решать практические задачи.

• Теория динамических систем позволяет производить переход от детерминированного к статистическому (вероятностному) описанию, которым преимущественно пользуются современные эконометристы. Как известно, возникновение случайности происходит из неустойчивости индивидуальных движений, происходящих внутри ограниченного фазового объема. Неустойчивость всех движений в ограниченной области пространства гарантирует сложность почти всех отдельных движений и бесконечное их разнообразие, благодаря чему появляется понятие ансамбля и основывающееся на нем статистическое описание, которым пользуются эконометристы.

• Как известно, современные методы нелинейной динамики были разработаны в рамках решения практических и теоретических задач естественными науками, прежде всего физикой, химией и биологией. • Общим ограничением применений методик естественных наук в общественных науках является то, что общественные науки имеют дело с объектами или явлениями сверхвысокой сложности. В общественных науках наиболее ярко проявилась необходимость сначала строить теорию, а потом уже под нее проводить свои наблюдения. В естественных науках теория практически всегда следует из эксперимента.

К основным постулатам нелинейного моделирования можно отнести следующие: • Все процессы в живой (и социальной) природе и большинство процессов в неживой природе описываются нелинейными уравнениями. Это связано с тем, что живые и социальные системы являются системами, которые могут обмениваться энергией и веществом с окружающей средой и удалены от термодинамического равновесия. • • Характер стационарного режима в нелинейной системе зависит от типа нелинейности, от параметров системы и ее окружения, наконец, от начальных условий. • • Устойчивость системы к малым отклонениям не является общим свойством. Существуют специальные области фазового пространства – странные аттракторы, при движении в которых состояние становится непредсказуемым. Но и в других нелинейных системах как в параметрическом, так и в фазовом пространстве есть области, где система становится чрезвычайно чувствительной к флуктуациям и малым внешним воздействиям. В параметрическом пространстве это бифуркационные границы, по разные стороны которых система имеет качественно различный характер поведения (например, устойчивое стационарное состояние и колебательный или квазистохастический стационарный режим). В фазовом пространстве – это сепаратрисы, границы, отделяющие области влияния тех или иных аттракторов. Если малая флуктуация «перебрасывает» систему через сепаратрису, она оказывается в области влияния другого аттрактора и зачастую кардинальным образом меняет характер своего поведения. • • В нелинейных системах однозначная идентификация параметров, как правило, невозможна. Это обстоятельство весьма ограничивает возможности науки, классическое содержание которой представляет собой установление природных закономерностей (т. е. математического вида закона и входящих в него параметров) по фактическим данным. Можно лишь предположить один из важнейших вариантов закономерностей, которые могли бы определить совокупность наблюдаемых следствий. • • В нелинейных системах принцип «узкого места» , к сожалению, не всегда справедлив. Общие принципы управления нелинейными системами, в отличие от линейных, пока не найдены.

• В неоклассической теории центральным принципом является стремление экономической системы к равновесию. При этом достигается экстремум некоторой величины – будь то максимум функции полезности, минимум затрат или максимум прибыли. • Неоклассический подход бессилен адекватно описать поведение неравновесных открытых социально-экономических систем, когда квазиравновесный режим уже потерял устойчивость, но макроскопическая хаотизация еще не наступила.

Подход эволюционной экономики, основанной на теории самоорганизации, значительно шире и включает в себя неоклассическую теорию в качестве предельного случая близости к равновесию. Предметом изучения эволюционной экономики являются, в частности, следующие вопросы: • раскрытие общих законов поведения открытых неравновесных социально-экономических систем; • теоретическое истолкование явлений экономической эволюции и развития индивидуальных предприятий и институтов. Современная российская экономика характеризуется наличием нестабильных, неравновесных, нестационарных процессов, происходящих в условиях неопределенности, что детерминирует потенциальное множество путей для ее дальнейшего развития, таким образом, возникает задача определения наиболее рационального пути развития экономики в текущих условиях на теоретической основе эволюционной экономики.

• Работы А. Д. Смирнова используют методы нелинейной динамики, в частности, теорию катастроф. • Общим достоинством представленных моделей А. Д. Смирнова является анализ возможного спектра развития системы путем трансформации отношений в соответствующих областях (политической, экономической). Автор также выделяет управляющие параметры, от которых, по его мнению, зависит глубина и характер изменений в соответствующих областях.

• К основным характеристикам переходной, также как и рыночной экономики в которой протекают процессы самоорганизации, можно отнести нелинейность, диссипативность, открытость, нестабильность. На степень нелинейности среды влияет множество факторов. Так, например, в настоящее время в некоторых развитых странах происходит переход от индустриального к постиндустриальному обществу, основой которого является информация, а возникновение информационных сред приводит к усилению нелинейности среды, на которой развертываются процессы развития.

Продолжение • Квинтэссенцию необходимости применения математических моделей нелинейной науки для моделирования и прогнозирования макроэкономических процессов можно сформулировать следующим образом: • исследование спектра возможных состояний и вариантов будущего развития экономики (или отдельных отраслей), который является следствием усиления нелинейности экономической среды по ряду различных причин, и возможность выбора наиболее рациональных вариантов развития позволяют надеяться, с одной стороны, на прогноз и преодоление возможных кризисов с наименьшими потерями, а, с другой, – предложить меры по достижению устойчивого развития экономики (или ее отраслей).

• Смирнов А. Д. Модель социально-экономической перестройки // Эконом. и мат. методы. 1992. Т. 28. Вып. 2. • Смирнов А. Д. Переходная экономика: модель прогноза // Проблемы прогнозирования. 1993. № 2. • Смирнов А. Д. Инфляция или реформы: нелинейная модель переходной экономики // Проблемы прогнозирования. 1995. № 6. • Чернавский Д. С. , Старков Н. И. , Щербаков А. В. Динамическая модель закрытого общества (институциональные ловушки и кризисы) // Математическое моделирование. 2001. Т. 13. № 11. • Silverberg G. , Verspagen B. Evolutionary Theorizing on Economic Growth //Discussion Paper /MERIT, Maastricht. 1995, August