Занятие 7 Магнитное поле в веществе 2

Занятие № 7 Магнитное поле в веществе 2 -й модуль 2 -го семестра

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 1. Вектор намагничивания вещества 2. Теорема о циркуляции вектора напряженности магнитного поля 3. Относительная магнитная проницаемость, магнитная восприимчивость Условия на границе раздела двух магнетиков : Орбитальный магнитный момент электрона : Орбитальный механический момент электрона : Гиромагнитное отношение для орбитального и механического моментов электрона : СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ : Элементарный заряд q = 1, 6 10 19 Кл. Масса электрона m = 9, 1 10 31 кг. Магнитная постоянная 0 = 4 10 7 Гн/м. Постоянная Планка h = 6, 63 10 34 Дж/с Магнетон Бора Б = 0, 927 10 23 Дж/Тл Число Авогадро NA = 6, 02 1023 моль 1. Постоянная Больцмана k = 1, 38 10 23 Дж/К.

А 1. (В. 11. 39) Железный образец помещен в магнитное поле напряженностью Н = 900 А/м. Найти магнитную проницаемость железа. Дано: Н = 900 А/м - ? На основной кривой намагничивания В(Н), верхняя кривая на рис. 1, значению напряженности Н = 900 А/м соответствует значение индукции магнитного поля : В = 1, 4 Тл. Воспользуемся соотношением, связывающим магнитную индукцию напряженностью намагничивающего поля : (1) Согласно (1) относительная магнитная проницаемость железа равна :

А 2. (В. 11. 41) Сколько ампер-витков потребуется для создания магнитного потока Ф = 0, 42 м. Вб в соленоиде с железным сердечником длиной l = 120 см и площадью поперечного сечения S = 3 см 2 ? Дано: Ф = 0, 42 м. Вб l = 120 см S = 3 см 2 NI - ? Магнитный поток в соленоиде равен : Линии магнитной индукции в сердечнике перпендикулярны плоскости поперечного сечения сердечника ( = 0), поэтому (1) перепишем в виде : (1) (2) Величина магнитной индукции согласно (2): Из графика В(Н) находим напряженность поля, используя рассчитанное значение В : Число ампер-витков NI найдем из теоремы о циркуляции вектора напряженности магнитного поля по замкнутому контуру L , одна из сторон которого параллельно его оси внутри соленоида, а другая – вне соленоида: (3) Первое и третье слагаемые равны нулю, т. к. = 0 между векторами Н и dl. Четвертое слагаемое равно нулю, т. к. поле вне соленоида (на участке 1 -4) пренебрежимо мало (воздух не является ферромагнетиком, = 1), поскольку силовые линии распределены во всем окружающем пространстве. Получаем:

А 3. (В. 11. 42). Длина железного сердечника тороида l 1 = 2, 5 м, длина воздушного зазора l 2 = 1 см. Число витков обмотки N = 1000. При токе I = 20 А индукция магнитного поля в зазоре В = 1, 6 Тл. Найти магнитную проницаемость железного сердечника при этих условиях. (Зависимость В от Н для железа неизвестна. ) Дано: l 1 = 2, 5 м l 2 = 1 см N = 1000 I = 20 А В = 1, 6 Тл - ? Используем теорему о циркуляции вектора напряженности Н поля по замкнутому контуру L , в качестве которого возьмем силовую линию, совпадающую с средней линией тороида (окружность) длиной L = l 1 + l 2 : (1) Напряженность H магнитного поля однородного сердечника вдоль участка l 1 силовой линии L остается постоянной (Н 1 = const). Поскольку длина зазора мала (l 2 << l 1 ), силовые линии в воздушном зазоре остаются параллельными, поэтому вдоль отрезка l 2 напряженность H также остается постоянной (Н 2 = const). С учетом высказанных допущений равенство (1) перепишется в виде: (2) Воспользуемся граничными условиями для нормальной составляющей индукции на границе сердечник-воздух и взаимосвязью индукции с напряженностью поля : (3) После подстановки (3) и (4) в (2) получаем : (5) (4)

А 4. (В. 11. 43) Длина железного сердечника тороида l 1 = 1 м, длина воздушного зазора l 2 = 1 см. Площадь поперечного сечения сердечника S = 25 см 2. Сколько ампер-витков необходимо для создания в воздушном зазоре магнитного потока Ф 2 = 1, 4 м. Вб, если магнитная проницаемость материала сердечника = 800 ? Дано: l 1 = 1 м l 2 = 1 см S = 25 см 2 Ф 2 = 1, 4 м. Вб = 800 IN - ? Используем теорему о циркуляции вектора напряженности Н поля по замкнутому контуру L , в качестве которого возьмем силовую линию, совпадающую с средней линией тороида (окружность) длиной L = l 1 + l 2 : (1) Напряженность H магнитного поля однородного сердечника вдоль участка l 1 силовой линии L остается постоянной (Н 1 = const). Длина зазора мала (l 2 << l 1 ), силовые линии в воздушном зазоре остаются параллельными, поэтому вдоль отрезка l 2 напряженность H также остается постоянной (Н 2 = const). С учетом высказанных допущений равенство (1) перепишется в виде: (2) Воспользуемся граничными условиями для нормальной составляющей индукции на границе сердечник-воздух и взаимосвязью индукции с напряженностью поля : (3) Подстановкой (3) и (4) в (2) получаем : После подстановки в (5) выражения В получаем : (5) Магнитный поток Ф 2 в воздушном зазоре: (4)

А 5. (В. 11. 44) Найти магнитную индукцию В в замкнутом железном сердечнике тороида длиной l = 50 см, если число ампер-витков обмотки тороида IN = 1500 А в. Какова магнитная проницаемость материала сердечника при этих условиях? В однородном сердечнике тороида соблюдается постоянство величины напряженности магнитного поля вдоль любой силовой линии. Запишем теорему циркуляции вектора напряженности поля вдоль средней линии (L = l) сердечника тороида: Дано: l = 0, 5 м IN = 1500 А в - ? В - ? (1) Найдем циркуляцию вектора Н вдоль средней линии (L = l ) тороида: (1) Из основной кривой намагничивания (рис. ) В(Н) находим индукцию поля в железном сердечнике, соответствующую Н = 3 к. А/м: Используем взаимосвязь индукции и напряженности поля в сердечнике для нахождения относительной магнитной проницаемости материала сердечника:

А 6. (В. 11. 45). Длина железного сердечника тороида l 1 = 1 м, длина воздушного зазора l 2 = 3 мм. Число витков тороида в обмотке N = 2000. Найти напряженность магнитного поля Н 2 в воздушном зазоре при токе I = 1 А в обмотке тороида. Дано: l 1 = 1 м l 2 = 3 мм N = 2000 I = 1 А Н 2 - ? Используем теорему о циркуляции вектора напряженности Н по замкнутому контуру L в виде средней силовой линии длиной L = l 1 + l 2 : (1) Напряженность магнитного поля в сердечнике на участке l 1 силовой линии L постоянна (Н 1 = const), как и напряженность в воздушном зазоре (Н 2 = const). С учетом указанных допущений равенство (1) принимает вид: (2) Из граничных условий для нормальной составляющей индукции на границе сердечник-воздух и взаимосвязи индукции с напряженностью поля получаем: (3) (2) (5) (4) Для нахождения напряженности поля Н 2 в воздушном зазоре вначале найдем напряженность поля в сердечнике Н 1. Для этого (5) запишем относительно В 1. Слева в равенстве (6) стоит нелинейная функция В 1(Н 1) – т. н. кривая намагничивания, показанная на рисунке зеленой линией. Справа в уравнении (6) - линейная зависимость относительно Н 1 , показанная красной прямой. (6)

Решением (6) является пара чисел В 1 и Н 1, при которых выполняется это равенство. Для нахождения В 1 и Н 1 воспользуемся графическим методом решения уравнения (6), в рамках которого нужно на одном графике построить зависимости от Н 1, записанные слева и справа от знака равенства. Координаты пересечения двух зависимостей и дают решение уравнения (6). Стоящую слева в равенстве (6) нелинейную функцию В 1(Н 1) – считаем заданной для конкретного ферромагнетика (берут из справочника). Стоящая справа в равенстве (6) линейная функция строится методом двух точек, лежащих на осях координат. Первую из двух точек найдем, приняв в равенстве (6) величину В 1 = 0, получим : Вторую точку прямой найдем, приняв в равенстве (6) величину Н 1 = 0, получаем : По этим двум точкам (В 1 = 0; Н 1 = 2 к. А/м) и (Н 1 = 0; В 1 = 0, 84 Тл) строим прямую на графике кривой намагничивания. После этого находим координаты точки пересечения построенной прямой с кривой намагничивания (показана пунктиром): С учетом равенства (3), где В 1 = В 2 , из (4) получаем :

А 7. Длина железного сердечника l 1 = 50 см, длина воздушного зазора l 2 = 2 мм. Число ампер-витков в обмотке тороида IN = 2000 А в. Во сколько раз уменьшится напряженность магнитного поля в воздушном зазоре, если при том же числе ампер-витков увеличить длину воздушного зазора вдвое? Дано: l 1 = 0, 5 м l 20 = 2 мм IN =2000 А в l’ 2 /l 2 = 2 Н 2 /H’ 2 - ? Используем теорему о циркуляции вектора напряженности Н вдоль замкнутого контура L в виде средней силовой линии длиной L = l 1 + l 2 : (1) Напряженность поля в сердечнике на участке l 1 силовой линии L не меняется (Н 1 = const), как и напряженность поля в зазоре (Н 2 = const). С учетом указанных допущений равенство (1) имеет вид: (2) Напряженность магнитного поля в воздушном зазоре : (3) В граничных условиях учтем равенство нормальных составляющих вектора магнитной индукции: С учетом (4) выражение (2) примет вид : (4) (5) Для нахождения напряженности поля в воздушном зазоре Н 2 вначале найдем напряженность поля в сердечнике Н 1. Для этого (5) запишем относительно В 1: Слева в равенстве (6) стоит нелинейная функция В 1(Н 1) – кривая намагничивания, показана на рисунке зеленой линией. Справа в уравнении (6) - линейная зависимость относительно Н 1 , показанная красной прямой. (6)

Решением (6) является пара чисел В 1 и Н 1, при которых выполняется это равенство. Для нахождения В 1 и Н 1 используем графический метод решения, в рамках которого нужно на одном графике построить зависимости от Н 1, записанные слева и справа от знака равенства. Координаты пересечения двух кривых и дают решение уравнения (6). Стоящую слева в равенстве (6) нелинейную функцию В 1(Н 1) – считаем заданной для конкретного ферромагнетика (берется из справочника). Стоящую справа в равенстве (6) линейную функцию строят методом 2 -х точек, лежащих на осях координат. Прямая (а) пересекает оси в точках : Координаты точки пересечения прямой (а) с кривой намагничивания В(Н) : Рассмотрим случай, когда длина воздушного зазора увеличена вдвое (l 21 = 2 l 20 = 4 мм). Прямая (б) пересекает оси координат на графике кривой намагничивания В(Н) в точках: Координаты точки пересечения прямой (b) с кривой намагничивания В(Н): Изменение напряженности поля в воздушном зазоре :

А 8. (В. 11. 49) Через центр железного кольца перпендикулярно к его плоскости проходит длинный прямой провод, по которому течет ток I = 25 А. Кольцо четырехугольного сечения имеет размеры l 1 = 18 мм, l 2 = 22 мм и h = 5 мм. Считая приближенно, что в любой точке сечения кольца индукция одинакова и равна индукции на средней линии кольца, найти магнитный поток Ф, пронизывающий площадь сечения кольца. Дано: I = 25 А l 1 = 18 мм l 2 = 22 мм h = 5 мм = 1 Ф - ? Напряженность магнитного поля в вакууме, созданного током I в бесконечном прямом проводе, на расстоянии r = (l 1 + l 2)/2 от провода, где располагается средняя линия кольца, равна В рамках предположения, что в любой точке сечения кольца индукция поля В одинакова и равна индукции на средней линии кольца, магнитный поток Ф, пронизывающий площадь сечения кольца S, равен : - площадь сечения кольца На основной кривой намагничивания материала сердечника В(Н) для найденной величины напряженности внешнего магнитного поля Н = 199 А/м найдем индукцию поля в сердечнике: Магнитный поток через площадь сечения кольца равен :

A 9. (В. 11. 51) Замкнутый железный сердечник длиной l = 50 см и обмоткой N = 1000 витков. В обмотке течет ток I 1 = 1 А. Какой ток I 2 нужно пропустить через обмотку, чтобы без сердечника индукция осталась прежней? Дано: I 1 = 1 А l = 50 см N = 1000 В 1 = В 2 I 2 - ? В однородном сердечнике тороида напряженность магнитного поля вдоль любой силовой линии постоянна. Запишем теорему о циркуляции вектора напряженности поля вдоль замкнутого контура длиной L = l внутри железного сердечника : (1) Из равенства (1) получаем : По графику основной кривой намагничивания В(Н) найдем индукцию поля в железном сердечнике, соответствующую напряженности намагничивающего поля Н = 3 к. А/м : Теорема о циркуляции вектора индукции вдоль замкнутого контура длиной L = l в отсутствие железного сердечника имеет вид : (2) Ток, необходимый для создания той же (В 1 = В 2) индукции магнитного поля внутри обмотки :

A 10. (Ч. 27. 6) Висмутовый шарик радиусом R = 1 см помещен в однородное магнитное поле, после чего индукция магнитного поля в нем стала В = 0, 5 Тл. Определить магнитный момент рm, приобретенный шариком, если магнитная восприимчивость висмута = 1, 5 10 4. Дано: R = 1 см В = 0, 5 Тл = 1, 5 10 4 рm - ? Магнитный момент висмутового шарика равен произведению вектора намагничивания J на объема шарика V : Воспользуемся взаимосвязью индукции и напряженности магнитного поля в веществе : Подставим выражение для напряженности поля в формулу магнитного момента : Отрицательный знак указывает на то, что магнитный момент шарика направлен против вектора магнитной индукции.