Занятие 2 Дифракция света СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРИИ Дифракция Френеля

Занятие 2. Дифракция света СОДЕРЖАНИЕ ТЕОРИИ: Дифракция Френеля на круглых отверстиях и преградах. Дифракция Фраунгофера на щели. Дифракционная решетка. Дифракция рентгеновских лучей. Справочный материал: Красная линия гелия 670 нм Желтая линия натрия 589 нм (дублет) 589, 6 нм Границы видимого диапазона света 400 - 780 нм

Основные формулы для решения задач 1. Радиус внешней границы m-ой зоны Френеля при дифракции сферической волны от точечного источника света (рис. а): а) Дифракция плоской волны (рис. б): а = ∞ б) 2. При нормальном падении плоской гармонической волны на плоскости узкой щели шириной a а) условия наблюдения максимумов интенсивности: б) условия наблюдения минимумов интенсивности (m = 1, 2, 3, …), где - угол между нормалью к плоскости щели и направлением на m-й максимум (минимум) интенсивности света.

3. Условие формирования максимума при дифракции на плоской решетке с периодом d при нормальном падении света к ее поверхности (k = 0, 1, 2, … - номер дифракционного максимума, k - угол между нормалью к поверхности решетки и направлением на дифракционный максимум): 4. Разрешающая способность дифракционной решетки где и ( + ) - длины волн двух соседних спектральных линий, которые могут наблюдаться раздельно в спектре с помощью данной решетки; N – общее число щелей решетки; k – порядковый номер дифракционного максимума. 5. Угловая дисперсия дифракционной решетки : 6. Линейная дисперсия дифракционной Решетки (F – фокусное расстояние линзы) 7. Формула Вульфа-Брэгга: условие максимума дифракции рентгеновских лучей на пространственной решетке : где d – расстояние между атомными плоскостями кристалла; - угол между направлением пучка параллельных рентгеновских лучей и гранью кристалла; - длина волны рентгеновских лучей; n = 1, 2, . . - ряд целых чисел.

1 А. (16. 28) Свет от плоского монохроматического источника ( = 600 нм) падает нормально на диафрагму с отверстием диаметром d = 6 мм. За диафрагмой на расстоянии L = 3 м от нее находится экран. Какое число k зон Френеля укладывается в отверстии диафрагмы? Каким будет центр дифракционной картины на экране ‑ темным или светлым? = 600 нм d = 6 мм L = 3 м k - ? Количество k зон Френеля, укладывающихся в отверстии диафрагмы, определяется количеством полуволн ( /2), укладывающихся на оптической разности хода лучей ( ), выходящих из центра диафрагмы (т. О) и ее внешних точек (А и В) в точку наблюдения Р : Выразим r двумя способами и приравняем правые части: (1) При условии d << l упростим (1), используя разложение корня в ряд Маклорена: Нечетное число зон Френеля обеспечивает в центре дифракционной картины максимум интенсивности, т. е. светлое пятно.

2 А. Посередине между экраном и точечным источником света ( = 500 нм) находится круглый непрозрачный диск радиусом rm = 0, 5 мм. Каково должно быть расстояние между источником света и экраном L для того, чтобы диск закрыл первые две зоны Френеля? = 500 нм rm = 0, 5 мм m = 2 L - ? Получим выражение для радиуса внешней границы m-й зоны Френеля, используя обозначения рисунка: (1) Приравняем правые части и получим высоту сегмента hm: (2) Подставим (2) в первое уравнение системы (1) и воспользуемся неравенством a >> hm: (2) Из-за малости hm можно записать: Подставим (4) в (3) и получим: (3) (4)

3 А. (16. 30) Найти радиусы первых пяти зон Френеля для плоской волны, если расстояние от волновой поверхности до точки наблюдения b = 1 м. Длина волны света = 500 нм. m = 5 b = 1 м = 500 нм rm - ? Получим выражение для радиуса внешней границы m-й зоны Френеля, используя для этого обозначения рисунка. Расстояние до внешней границы m-й зоны Френеля : Ответ: r 1 = 0, 71 мм; r 2 = 1, 0 мм; r 3 = 1, 22 мм; r 4 = 1, 41 мм; r 5 = 1, 58 мм.

4 А. (16. 31) Дифракционная картина наблюдается на расстоянии L от точечного источника монохроматического света ( = 600 нм). На расстоянии а = 0, 5 L от источника помещена круглая непрозрачная преграда диаметром D = 1 см. Найти расстояние L , если преграда закрывает только центральную зону Френеля (m = 1). = 600 нм а = 0, 5 L D = 1 см m = 1 L - ? Воспользуемся выводом формулы радиуса m-й зоны Френеля, приведенном в задаче № 2. Допустим, что расстояние от источника до диска много больше высоты сегмента а >> hm, а от диска до экрана (b) - много больше m. Тогда получаем : (1) (2) Преграда закрывает лишь 1 -ю зону Френеля (m = 1), поэтому: После подстановки (3) в (2) получаем : (3)

5 А. (16. 32) Дифракционная картина наблюдается на расстоянии L = 4 м от точечного источника монохроматического света ( = 500 нм). Посередине между экраном и источником света помещена диафрагма с круглым отверстием. При каком радиусе rm отверстия центр дифракционных колец, наблюдаемых на экране, будет наиболее темным? L = 4 м a = b = 0, 5 L = 500 нм rm - ? Центр дифракционной картины на экране, будет наиболее темным, если диафрагма закроет все зоны Френеля, кроме первых двух, которые взаимно компенсируются, создав минимум интенсивности. Если число зон четное и больше по величине, то изза разницы вкладов центральных и боковых зон их взаимная компенсация менее эффективна. Поэтому: Используем вывод формулы радиуса m-й зоны Френеля в задаче № 2. Допускаем, что расстояние от источника до отверстия много больше высоты сегмента а >> hm, а от отверстия до экрана (b) - много больше m. Тогда получаем:

6 А. (16. 35) На щель шириной а = 20 мкм падает нормально параллельный пучок монохроматического света ( = 500 нм). Найти ширину изображения А щели на экране, удаленном от щели на расстояние L = 1 м. Шириной изображения считать расстояние между первыми дифракционными минимумами, расположенными по обе стороны от главного максимума освещенности. а = 20 мкм = 500 нм L = 1 м m = 1 А - ? При падении плоской монохроматической волны перпендикулярно на плоскость узкой щели шириной a условие наблюдения минимумов интенсивности света имеет вид : Здесь m – угол между нормалью OP к плоскости щели, идущей из середины щели (т. О), и направлением на m-й минимум интенсивности света I(r). Ширина изображения, как расстояние между первыми дифракционными минимумами, лежащими по обе стороны от главного максимума освещенности : При условии m = 1 получаем: Рассмотренный критерий косвенного измерения размеров щели используют в ультразвуковой дефектоскопии и медицинской УЗИ диагностики для оценки размеров дефектов и органов.

7 А. (16. 36) На щель шириной а = 6 нормально падает параллельный пучок монохроматического света с длиной волны . Под каким утлом наблюдается третий (m = 3) дифракционный минимум интенсивности света? а = 6 m = 3 - ? При падении перпендикулярно на плоскость узкой щели шириной a плоской монохроматической волны условие наблюдения минимумов интенсивности света имеет вид: Здесь m – угол между нормалью OP к плоскости щели, идущей из середины щели (т. О), и направлением на m-й минимум интенсивности света I(r). При условии m = 3 получаем :

8 А. (16. 39) На дифракционную решетку нормально падает пучок света. Натриевая линия ( 1 = 589 нм) дает в спектре первого порядка (k 1 = 1) угол дифракции 1 = 17° 8'. Некоторая линия дает в спектре второго порядка (k 2 = 2) угол дифракции 2 = 24° 12'. Найти длину волны 2 этой линии и число штрихов N на единицу длины решетки (L = 1 м). k 1 = 1 k 2 = 2 1 = 589 нм 1 = 17° 8 2 = 24° 12 N - ? 2 - ? При нормальном падении света на дифракционную решетку направления главных максимумов интенсивности света в спектрах k-го порядка ( k) связаны с периодом решетки (d) и длиной волны ( i) соотношением : Получим расчетную формулу неизвестной длины волны: Число штрихов на длине решетки:

9 А. (16. 42) На дифракционную решетку нормально падает пучок света от разрядной трубки, наполненной гелием. На какую линию 2 в спектре третьего порядка (k 2 = 3) накладывается красная линия гелия ( 1 = 670 нм) спектра второго порядка (k 1 = 2)? 1 = 670 нм k 1 = 2 k 2 = 3 1 = 2 2 - ? При нормальном падении света на дифракционную решетку направления главных максимумов интенсивности света в спектрах k-го порядка ( k) связаны с периодом решетки (d) и длиной волны ( i) соотношением : Получим расчетную формулу неизвестной длины волны :

10 А. (16. 44) Найти наибольший порядок k спектра для желтой линии натрия ( = 589 нм), если постоянная (период) дифракционной решетки d = 2 мкм. = 589 нм d = 2 мкм kmax - ? Наибольший порядок k дифракционного максимума интенсивности, формируемого дифракционной решеткой, найдем из условия формирования такого максимума: (1) Очевидно, дифракционный максимум наибольшего порядка kmax сформируется под наибольшим из возможных углов max: (2) С учетом (2) из формулы (1) получаем: Физически реализуемым результатом является ближайшее целое число, меньшее полученного значения kmax , поскольку в интервале углов 0 /2 не может быть больше максимумов:

11 А. (16. 45) На дифракционную решетку нормально падает пучок монохроматического света. Максимум третьего порядка (k = 3) наблюдается под углом = 36° 48 к нормали. Найти постоянную (период) дифракционной решетки d, выраженную в длинах волн падающего света. k = 36° 48 = 589 нм d/ - ? Воспользуемся выражением для условия формирования дифракционного максимума: (1)

12 А. (16. 49) Какова должна быть постоянная (период) d дифракционной решётки, чтобы в первом порядке (k = 1) был разрешён дублет натрия 1 = 589 нм и 2= 589, 6 нм? Ширина решётки L = 2, 5 см. k = 1 1 = 589 нм 2 = 589, 6 нм L = 2, 5 см d - ? Постоянную d дифракционной решётки при известной ее длине L можно найти, определив количество щелей решетки N : (1) Под разрешением дублета с близкими длинами волн ( 1 и 2) понимается раздельное наблюдение на дифракционной картине дифракционных максимумов этих двух волн. Согласно критерию Рэлея - два близких максимума спектра еще воспринимаются раздельно, если середина одного из них совпадает с краем другого. С учетом этого требования формула разрешающей способности решетки имеет вид : (1)

13 А. На дифракционную решётку с периодом d = 5 мкм под углом = 30° падает свет длиной волны = 600 нм. Найти углы, под которыми наблюдаются максимумы 2 -го порядка (k = 2). d = 5 мкм = 30° = 600 нм k = 2 k - ? При падении света на дифракционную решетку под углом главные максимумы интенсивности продифрагировавшего света за решеткой находятся из условия : (1) Воспользуемся (1) для нахождения k : Найдем углы для максимумов 2 -го порядка (k = 2): (2)

14 А. (16. 52) Угловая дисперсия дифракционной решётки для = 668 нм в спектре первого порядка (k = 1) равна D = d /d = 2, 02 105 рад/м. Найти период d дифракционной решётки. k = 1 = 668 нм D = d /d = 2, 02 105 рад/м d - ? При нормальном падении монохроматического света на дифракционную решетку направления главных максимумов соответствуют условию : (1) Угловая дисперсия дифракционной решётки находится дифференцированием уравнения (1) по переменной : (2) Из уравнения (1) выразим синус и подставим в (2) :

15 A. На грань кристалла каменной соли падает параллельный пучок рентгеновских лучей ( = 0, 147 нм). Найти расстояние между атомными плоскостями кристалла d, если дифракционный максимум 2 -го порядка (m = 2) виден, когда лучи падают под углом = 31 30' к поверхности кристалла. m = 2 = 0, 147 нм = 31 30 d - ? Условие максимума интенсивности при дифракции рентгеновских лучей на пространственной решетке кристалла определяется формулой Вульфа-Брэгга: (1) Для расстояний между атомными плоскостями кристалла d согласно (1) получаем: