Занимательная математика Ребята мы с вами изучили

Занимательная математика

Ребята, мы с вами изучили показательные функций, узнали их свойства и построили график, разобрали пару примеров уравнений, в которых встречались показательные функции. Сегодня мы займемся более подробным изучением уравнений и неравенств. Определение. Уравнения вида: называются показательными уравнениями. Вспомнив теоремы, которые нам встретились на прошлом уроке, можно ввести новую теорему: Теорема. Показательное уравнение равносильно уравнению f(x)=g(x).

Определение. Пусть а>1 и α=а, а 1 а 2 а 3 а 4…аn… - положительное иррациональное число (бесконечная десятичная не периодичная дробь). Тогда последовательность десятичных приближений числа α вот такая: α 1= а, а 1; α 2= а, а 1 a 2; α 3= а, а 1 a 2 a 3… αn= а, а 1 a 2 a 3…an Тогда предел последовательности обозначают как - степень с иррациональным показателем. Если а>1 и α<0 – иррациональное число, то Если 0<a<1, то

. Пример. Решить уравнение: а) б) в) Решение. а) Мы хорошо знаем Перепишем наше уравнение: Воспользовавшись теоремой выше, получаем, что наше уравнение сводится к уравнению 3 х-3=3, решив это уравнение, получим х=2 Ответ: х=2. б) Тогда наше уравнение можно переписать: 2 х+0, 2=0, 2 х=0 Ответ: х=0 в) Исходное уравнение равносильно уравнению: Ответ:

Пример. Решить уравнение: Решение: Последовательно выполним ряд действий и приведем обе части нашего уравнения к одинаковым основаниям. Выполним ряд операций в левой части 1. 2. 3.

Перейдем к правой части 4. 5. 6. Исходное уравнение равносильно уравнению: Ответ: х=0

Пример. Решить уравнение Решение: Перепишем наше уравнение: Давайте сделаем замену переменных пусть В новых переменных уравнение примет вид: Выполним обратную замену переменных: Первое уравнение не имеет решений, так как на прошлом уроке мы узнали, что показательные выражения могут принимать только положительные значения, вспомните график. Во втором уравнении у нас одно решение х=1. Ответ: х=1.

Давайте составим памятку способов решения показательных уравнений: 1. Графический метод. Представляем обе части уравнения в виде функций и строим их графики, находим точки пересечений графиков. (Этим методом мы пользовались на прошлом уроке). 2. Принцип равенства показателей. Принцип основан на том, что два выражения с одинаковыми основаниями равны, тогда и только тогда когда равны степени (показатели) этих оснований. 3. Метод замены переменных. Данный метод стоит применять когда уравнение при замене переменных упрощает свой вид, и его становится гораздо легче решить.

Пример. Решить систему уравнений: Решение. Рассмотрим оба уравнения системы по отдельности: Рассмотрим второе уравнение: Воспользуемся методом замены переменных, пусть Тогда уравнение примет вид:

Перейдем к начальным переменным, из первого уравнения получаем x+y=2. Второе уравнение не имеет решений. Тогда наша начальная система уравнений, равносильна системе: Вычтем из первого уравнения второе Ответ: (3; -1).

Перейдем к неравенствам, при решение неравенств стоит обратить особое внимание на основание степени, тут возможны два варианта развития событий при решении неравенства. Теорема. Если а>1, то показательное неравенство равносильно неравенству f(x)>g(x). Если 0<a<1, то показательное неравенство равносильно неравенству f(x)<g(x). (Знак неравенства меняется на противоположный).

Пример. Решить неравенство: а) б) в) Решение. а) Наше неравенство равносильно неравенству: Ответ: x>0. 5 б) Основание при степени, в нашем уравнении, меньше единицы, тогда при замене неравенства на эквивалентное надо не забыть поменять знак. Ответ: x>3

В) Наше неравенство эквивалентно неравенству: Воспользуемся интервальным методом решения: Ответ: (-∞; -5]U[3; +∞)

Пример. Решить неравенство: Решение. Введем новую переменную Решение неравенства будет промежуток 1/3<y<9 Введя обратную замену: Ответ: -1<x<2.

Задачи для самостоятельного решения. 1. Решить уравнение а) б) в) 2. Решить уравнение: 3. Решить уравнение 4. Решить систему уравнений: 5. Решить неравенство: а) б) 6. Решить неравенство: в)