Замкнутые стохастические сети и их характеристики Лекция 8

Замкнутые стохастические сети и их характеристики Лекция 8

Замкнутые Ст. МО называется замкнутой, если интенсивность источника зависит от числа заявок, находящихся в сети. F(S) Источник заявок 0 Ст. МО Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2013, Лекция 8 2

Замкнутые Ст. МО В пределе в замкнутой Ст. МО может циркулировать постоянное число М заявок. В этом случае источник, в который поступает заявка, немедленно генерирует новую, так что в сети постоянно находится одно и то же число заявок. Впервые подобную модель сети – экспоненциальной стохастической – предложили американские математики Гордон и Ньюэлл (W. Gordon, G. Newell). Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2013, Лекция 8 3

Параметры замкнутой сети 1) N – число СМО, образующих сеть; 2) М – число заявок в сети : если М конечно, стационарный режим всегда существует 3) матрица вероятностей передач где Рij - вероятность того, что заявка из системы Si направляется в Sj. 4) Каждая СМО i характеризуется Кi - числом каналов обслуживания i - средним временем обслуживания в канале. Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2013, Лекция 8 4

Характеристики замкнутой сети Необходимо определить: 1) 0 – производительность сети – число заявок, обслуженных сетью в единицу времени в стационарном режиме; 2) Узловые характеристики: Li, mi, wi и ui – для всех систем (узлов) Si, i=1, …, n сети 3) u – время цикла - среднее время пребывания заявки в Ст. МО. Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2013, Лекция 8 5

Состояния замкнутой сети • характеризуются N – мерным вектором (М 1, …, МN), где Мi – число заявок в СМОi. • Для любого состояния должно соблюдаться условие М 1 + М 2 + … + МN = M (1) A(M, N) – множество всех возможных состояний, удовлетворяющих условию (1) Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2013, Лекция 8 6

Состояния замкнутой сети При конечном М мощность множества А всегда конечна и равна: │А (М, N)│ = С MM+N-1 = Например, при N=2 M = 4 │А (4, 2)│ = С 44+2 -1 = Cостояния: (4, 0), (3, 1), (2, 2), (1, 3), (0, 4) … М Таблица состояний: № М 1 Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2013, Лекция 8 N 7

Состояния замкнутой сети Порядок следования состояний сети в таблице безразличен, однако рекомендуется их перечислять по возрастанию значения , рассматриваемого как позиционный код соответствующего числа, где , например, может быть старшим разрядом. Так, если M=4, N=3, то таблица состояний: № М 1 М 2 М 3 1 0 0 4 2 0 1 3 2 2 … 14 3 1 0 15 4 0 0 Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2013, Лекция 8 8

Вероятности состояний замкнутой сети где РМj - вероятность того, что в СМО j ровно Мj заявок – определяется по формулам для СМО типа М/М/Кi/ Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2013, Лекция 8 9

Узловые характеристики замкнутой сети 1) Вероятность того, что в узле j ровно i заявок 2) Среднее число заявок в узле Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2013, Лекция 8 10

Узловые характеристики замкнутой сети 3) Средняя длина очереди 4) Среднее время пребывания заявки в очереди Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2013, Лекция 8 11

Узловые характеристики замкнутой сети 5) Среднее время пребывания заявки в узле 6) Интенсивность входного потока 7) Загрузка (среднее число занятых каналов) Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2013, Лекция 8 12

Сетевые характеристики замкнутой сети 1) 0 – производительность сети (интенсивность источника) 2) u – время цикла Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2013, Лекция 8 13

Пример расчета замкнутой Ст. МО 2 1 1 2 0 0 Параметры Ст. МО: 1) число СМО N = 2; 2) число заявок в сети M = 2; 3) число каналов обслу живания К 1 = 1; К 2 = 1; Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2013, Лекция 8 14

Пример расчета замкнутой Ст. МО 4) средние времена обслуживания 1 =1 с; 2 = 0. 2 с; 5) матрица вероятностей передач Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2013, Лекция 8 15

Вероятности состояний М 1 – число заявок в СМО 1 М 2 – число заявок в СМО 2 М 1 = М – М 2 Множество состояний А = { (2, 0), (1, 1), (0, 2)} (1) Для одноканальных СМО РМ 1 = РМ – М 2 = 1 М 1 (1 - 1) = 1 М – М 2 (1 - 1) РМ 2 = 2 М 2 (1 - 2) Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2013, Лекция 8 16

Вероятности состояний Подставляя в формулу (1), после преобразований получим 1 = 1 1; æ r öМ 2 2÷ ç çr ÷ 2 = 2 2; è 1ø Р ( М - М 2 , М 2 )= 1 = 2; М å 2/ 1 = 2/ 1 М 2 =0 Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2013, Лекция 8 17

Вероятности состояний 2/ 1 = 0, 2/1 = 0, 2 Р(2, 0) = 0, 806 Р(1, 1) = 0, 806 * 0, 2 = 0, 162 Р(0, 2) = 0, 806 * 0, 22 = 0, 032 Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2013, Лекция 8 18

Узловые характеристики Среднее количество заявок в узле Проверка: m 1 + m 2 = M – числу заявок в сети Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2013, Лекция 8 19

Узловые характеристики Средние длины очередей и загрузки узлов Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2013, Лекция 8 20

Интенсивности потоков и время цикла 1 = 1/ 1 = 0, 968/1 = 0, 968 с-1 2 = 2/ 2 = 0, 194/0, 2 = 0, 968 с-1 0 = 1/ 1 = 0, 968/1 = 0, 968 с-1 Время цикла u = M/ 0 = 2/0. 968= 2. 07 c Сев. НТУ, кафедра Ки. ВТ, курс "Моделирование", 2013, Лекция 8 21