Замена переменных является одним из наиболее распространенных способов решения уравнений, неравенств, систем уравнений.
Решить уравнение: Log₂²(10 -3 x)=3 Log₂(10 -3 x) Log₂(4 -x)-2 Log₂²(4 -x) ОДЗ: 10 -3 x>0 3 x<10 x<31/3 4 -x> 0 x<4 Введем 2 новые переменные. Пусть Log₂(10 -3 x)=а, Log₂(4 -x)=b, Тогда а²=3 ab-2 b² - это однородное ур-е 2 -й степени а²-3 ab+2 b²=0 ∣: a a²/a²-3 ab/a²+2 b²/a²=0 1 -3 a/b+2(a/b)²=0
Пусть a/b=m, 2 m²-3 m+1=0 Д=(-3)²-4⋅2⋅1=9 -8=1>0, 2 к m=3∓√ 1/2⋅2=3∓ 1/4 m 1=1; m 2=1/2 a/b=1; a/b=1/2 b=a, и a=2 b Вернемся к первоначальной переменной: 1) Log₂(10 -3 x)=Log₂(4 -x) и 2)Log₂(10 -3 x)=2 Log₂(4 -x) 10 -3 x=4 -x Log₂(10 -3 x)=Log₂(4 -x)² -2 x=-6 10 -3 x=(4=-x)² x=3 10 -3 x=16 -8 x+x² x²-5 x=6=0 Д=(-5)²-4⋅1⋅6=25 -24=1 x=5∓√ 1/2=5∓ 1/2 x 1=3; x 2=2 Учитывая ОДЗ, x=3 и x=2 Ответ: 3; 2
Решить систему уравнений Log₂x+Log₂(y-1)=1 ОДЗ: x>0 Log₂x⋅Log₂(y-1)=-2 y-1>0 x>0 y>1 Введем новые переменные: Log₂x=a, Log₂(y-1)=b, тогда a+b=1 a=1 -b a⋅b=-2 (1 -b)⋅b=-2 Д=(-1)²-4⋅1⋅(-2)=1+8=9 b=1∓√ 9/2= 1∓ 3/2 b 1=2; b 2=-1
b=2 a=1 -2 a=-1 b=2 b=-1 a=1 -(-1) a=2 b=-1 Вернемся к первоначальной переменной. 1) Log₂x=-1 2) Log₂x=2 Log₂(y-1)=-1 y⋅1=2² y-1=2⁻¹ x=1/5 y=5 x=2² x=4 y=3/2
Учитывая ОДЗ, (1/5; 5), (4; 3/2) Ответ: (1/5; 5), (4; 3/2)
Разложение на множители Решить систему уравнений. √x-1⋅Log₂(3 x²-5)+2=Log₂(3 x²-5)+2√x-1 Перенесем все члены уравнения в левую часть, сгруппируем их и разложим эту часть на множители. √x-1⋅Log₂(3 x²-5)+2 -Log₂(3 x²-5)-2√x-1=0 (√x-1⋅Log₂(3 x²-5)-Log₂(3 x²-5))+(2 -2√x-1)=0 Log₂(3 x²-5)(√x-1 - 1)-2(√x-1 -1)=0 (√x-1 -1)⋅(Log₂(3 x²-5)-2)=0 Произведение множителей равно 0, если один из них равен 0, а остальные множители не теряют смысл(существуют):
1) √x-1 -1=0 √x-1=1 (√x-1)²=-1² x-1=1 x=2 При x=2 второй множитель Log₂(3 x²-5)-2 не теряет смысл. 2) Log₂(3 x²-5)-2=0 Log₂ (3 x²-5)=2 3 x²-5=2² 3 x²-5=4 3 x²=9 x²=3 ∣x∣=√ 3 x 1=√ 3; x 2=√ 3
При x=√ 3 первый множитель √x-1 -1 имеет смысл (√√ 3 -1 -1)>0 При х=-√ 3 первый множитель √x-1 -1 не имеет смысла (√√ 3 -1 -1)<0 Итак, данное уравнение имеет два корня: x 1=2 и x 2=√ 3 Ответ: 2; √ 3
Скачать презентацию Замена переменных является одним из наиболее распространенных способов
Замена переменных.pptx