Замечательные кривые Декартов лист и Верзьера Аньези

Замечательные кривые Декартов лист и Верзьера Аньези

Декартов лист История n n Декартов лист — плоская кривая третьего порядка, удовлетворяющая уравнению в прямоугольной системе x 3 + y 3 = 3 axy. Параметр 3 a определяется как диагональ квадрата, сторона которого равна наибольшей хорде петли. Впервые уравнение кривой исследовал Р. Декарт в 1638 году, однако он построил только петлю в первом координатном угле, где x и y принимают положительные значения. Декарт полагал, что петля симметрично повторяется во всех четырёх координатных четвертях, в виде четырёх лепестков цветка. В то время эта кривая называлась цветком жасмина (англ. jasmine flower, фр. fleur de jasmin). В современном виде эту кривую впервые представил Х. Гюйгенс в 1692 году.

Уравнения n n n В прямоугольной системе по определению: В полярной системе Параметрическое уравнение в прямоугольной системе: n Часто рассматривают повёрнутую на 135 градусов на кривую. Её уравнения выглядят так: В прямоугольной системе: n Параметрическое: n

Уравнения n В полярных координатах:

Свойства n n n n n Прямая OA — ось симметрии, её уравнение: y = x. Точка A называется вершиной, её координаты Для обеих ветвей существует асимптота UV, её уравнение: x + y + a = 0. Вывод уравнения асимптоты Площадь области между дугами ACO и ABO . Нахождение площади S 1 Площадь области между асимптотой и кривой равна площади петли Нахождение площади S 2 Объём тела, образованного при вращении дуги ACO вокруг оси абсцисс

Исследование кривой n При y = 0 имеем x = 0 или n Или n То есть

Производная n n Чтобы найти максимальное значение функции и уравнение касательной, вычислим производную функции: Приравниваем производную y' нулю и решаем, полученное уравнение, относительно x. Получим: При этом значении x функция (2) имеет максимум на верхней дуге ACO — точка C и минимум на нижней дуге ABO — точка B. Значение функции в этих точках равно: Значение производной y’ в точке O равно то есть касательные в точке O взаимно перпендикулярны и наклонены к оси абсцисс под углом

Верзьера Аньези n n Верзье ра (верзие ра) Анье зи (иногда ло кон Анье зи) — плоская кривая, геометрическое место точек. M, для которых выполняется соотношение где OA — диаметр окружности, BC — полухорда этой окружности, перпендикулярная OA. Своё название верзьера Аньези получила в честь итальянского математика Марии Гаэтаны Аньези, исследовавшей эту кривую.

Уравнения n O = (0, 0), A = (0, a) В прямоугольной системе координат: n Параметрическое уравнение: n n n где — угол между OA и OC В полярной системе уравнение верзьеры достаточно сложное: чтобы найти его необходимо решить кубическое уравнение: n Однако полученная формула будет слишком сложной и громоздкой, чтобы иметь какое-либо практическое значение.

Свойства n n Верзьера — кривая третьего порядка. Диаметр OA единственная ось симметрии кривой. Кривая имеет один максимум — A(0; a) и две точки перегиба — В окрестности вершины A верзьера приближается к окружности диаметра OA. В точке A происходит касание, и кривая совпадает с окружностью. Это показывает величинарадиуса кривизны в точке A: n Площадь под графиком S = πa 2. Она вычисляется интегрированием уравнения по всему n Объём тела вращения верзьеры вокруг своей асимптоты (оси OX)

Построение n Строится окружность диаметра a и касательная к ней. На касательной выбирается система отсчёта с началом в точке касания. Строится прямая через выбранную точку касательной и точку окружности, противоположную точке касания. Эта прямая пересекает окружность в некоторой точке. Через эту точку строится прямая, параллельная касательной. Точка верзьеры лежит на пересечении этой прямой иперпендикуляра к касательной в выбранной точке.