Скачать презентацию Законы распределения случайной величины Нормальный закон и его Скачать презентацию Законы распределения случайной величины Нормальный закон и его

NewStat 3 Нормальный закон.pptx

  • Количество слайдов: 62

Законы распределения случайной величины/ Нормальный закон и его производные МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ПСИХОЛОГИИ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ Законы распределения случайной величины/ Нормальный закон и его производные МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ПСИХОЛОГИИ. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА.

ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Это такой способ описания случайной величины, при котором любому значению ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ Это такой способ описания случайной величины, при котором любому значению переменной приписывается вероятность его появления Значение переменной Х Вероятность 3 0, 08 5 0, 24 7 0, 4 9 0, 16 11 0, 08 р

ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ (ЗАКОН ГАУССА) φ(x) = F’(x) Плотность распределения F(x) = P(X < НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ (ЗАКОН ГАУССА) φ(x) = F’(x) Плотность распределения F(x) = P(X < x) Функция распределения Непрерывная случайная величина имеет нормальный закон распределения с параметрами a и σ2, если её плотность вероятности имеет вид: N(a, σ2)

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ (ЗАКОН ГАУССА) v v v Наиболее часто встречаемый закон распределения Встречается, НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ (ЗАКОН ГАУССА) v v v Наиболее часто встречаемый закон распределения Встречается, когда значения переменной обусловлены большим количеством равнозначных причин, условий, факторов Многие математико-статистические процедуры основываются на нормальном распределении и поэтому корректны в случае, если переменная отвечает требованиям нормальности

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Если σ2=const, и меняется параметр а (средняя), то нормальная кривая будет НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Если σ2=const, и меняется параметр а (средняя), то нормальная кривая будет смещаться вдоль оси абсцисс, не меняя формы Если a=const и меняется параметр σ2, то меняется ордината максимума кривой и форма кривой

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ стандартный нормальный закон распределения N(0, 1) Ф(t) представляет собой площадь в НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ стандартный нормальный закон распределения N(0, 1) Ф(t) представляет собой площадь в интервале (-t; t) под кривой стандартного нормального распределения Функция Лапласа интеграл от функции плотности вероятности Значения функции Лапласа – это вероятность появления признака в этом интервале P(-t; t)= P(0±t) = Ф(t)

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ t= 0, 65 Ф(0, 65)=0, 4843 НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ t= 0, 65 Ф(0, 65)=0, 4843

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ t= 1, 23 Ф(1, 23)=0, 7813 НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ t= 1, 23 Ф(1, 23)=0, 7813

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ t= 1, 39 Ф(1, 39)=0, 8355 НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ t= 1, 39 Ф(1, 39)=0, 8355

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Задача С какой вероятностью встречаются значения IQ в популяции в интервале НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Задача С какой вероятностью встречаются значения IQ в популяции в интервале среднее (100 iq) ± 10 iq, т. е. в пределах от 90 до 110 iq. Значения функции Лапласа – это вероятность появления признака в этом интервале P(-t; t)= P(0±t) = Ф(t) В нашей задаче P(100 iq ± 10 iq)

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Задача С какой вероятностью встречаются значения IQ в популяции в интервале НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Задача С какой вероятностью встречаются значения IQ в популяции в интервале среднее (100 iq) ± 10 iq, т. е. в пределах от 90 до 110 iq. 90 – 100 = -10 или 110 – 100 = 10 sx = 15 t = 10/15 = 0, 67

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ t= 0, 67 Ф(0, 67)=0, 4971 НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ t= 0, 67 Ф(0, 67)=0, 4971

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Задача 1) С какой вероятностью встречаются значения средняя ± стандартное отклонение НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Задача 1) С какой вероятностью встречаются значения средняя ± стандартное отклонение в нормальном законе распределения. Значения функции Лапласа – это вероятность появления признака в этом интервале P(-t; t)= P(0±t) = Ф(t) В стандартном нормальном распределении дисперсия равна 1, а значит и стандартное отклонение = 1 P(0±t) = P(0± 1) = Ф(1)

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ t= 1, 00 Ф(1, 00)=0, 6827 НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ t= 1, 00 Ф(1, 00)=0, 6827

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Задача 2) С какой вероятностью встречаются значения средняя ± 2 стандартных НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Задача 2) С какой вероятностью встречаются значения средняя ± 2 стандартных отклонения в нормальном законе распределения. P(0±t) = P(0± 2) = Ф(2) Задача 3) С какой вероятностью встречаются значения средняя ± 3 стандартных отклонения в нормальном законе распределения. P(0±t) = P(0± 3) = Ф(3)

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ t= 2, 00 Ф(2, 00)=0, 9545 НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ t= 2, 00 Ф(2, 00)=0, 9545

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ t= 3, 00 Ф(3, 00)=0, 9973 НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ t= 3, 00 Ф(3, 00)=0, 9973

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРАВИЛО ТРЕХ СИГМ Если случайная величина имеет нормальный закон распределения с НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПРАВИЛО ТРЕХ СИГМ Если случайная величина имеет нормальный закон распределения с параметрами а и σ2, то практически достоверно, что её значения заключены в интервале а ± 3σ Ф(σ)=Ф(1)=0, 6827 Ф(2σ)=Ф(2)=0, 9545 Ф(3σ)=Ф(3)=0, 9973

ПРАВИЛО ТРЕХ СИГМ Среднее = 50 Т баллов Стандартное отклонение = 10 Т баллов ПРАВИЛО ТРЕХ СИГМ Среднее = 50 Т баллов Стандартное отклонение = 10 Т баллов

ПРАВИЛО ТРЕХ СИГМ Среднее = 50 Т баллов Стандартное отклонение = 10 Т баллов ПРАВИЛО ТРЕХ СИГМ Среднее = 50 Т баллов Стандартное отклонение = 10 Т баллов

ПРАВИЛО ТРЕХ СИГМ Среднее = 50 Т баллов Стандартное отклонение = 10 Т баллов ПРАВИЛО ТРЕХ СИГМ Среднее = 50 Т баллов Стандартное отклонение = 10 Т баллов

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Для интервала (-∞; x) вероятность рассчитывается следующим образом: Р (-∞; x)=(1+Ф(t))/2 НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Для интервала (-∞; x) вероятность рассчитывается следующим образом: Р (-∞; x)=(1+Ф(t))/2 С помощью этой формулы удобно вычислять квантиль уровня р : xp Функция Лапласа интеграл от функции плотности вероятности Это соотношение связывает функцию Лапласа с интегральной функцией распределения F(x)

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Задача Рассчитать квантили нормального закона распределения для IQ показателя. Xp значение НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Задача Рассчитать квантили нормального закона распределения для IQ показателя. Xp значение вид IQ 0, 1 D 1 P 10 IQ 0, 25 Q 1 P 25 IQ 0, 3 D 3 P 30 IQ 0, 4 D 4 P 40 IQ 0, 5 Me Q 2 D 5 P 50 IQ 0, 6 D 6 P 60 IQ 0, 7 D 7 P 70 IQ 0, 75 Q 3 P 75 IQ 0, 9 D 9 P 90

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Задача Рассчитать квантили нормального закона распределения для IQ показателя. Xp IQ НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Задача Рассчитать квантили нормального закона распределения для IQ показателя. Xp IQ 0, 1 значение вид D 1 P 10 Ф(t) = 2*Р – 1 = 2*0, 1 – 1 = -0, 8

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Ф(1, 283)=0, 8 t= 1, 283 НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Ф(1, 283)=0, 8 t= 1, 283

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Задача Рассчитать квантили нормального закона распределения для IQ показателя. Xp IQ НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Задача Рассчитать квантили нормального закона распределения для IQ показателя. Xp IQ 0, 1 значение вид D 1 P 10 Ф(t) = 2*Р – 1 = 2*0, 1 – 1 = -0, 8 t = -1, 283 x = 100 -1, 283*15 = 80, 75

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Задача Рассчитать квантили нормального закона распределения для IQ показателя. Xp значение НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Задача Рассчитать квантили нормального закона распределения для IQ показателя. Xp значение IQ 0, 1 80, 75 IQ 0, 25 вид D 1 P 10 Q 1 P 25 Ф(t) = 2*Р – 1 = 2*0, 25 – 1 = -0, 5

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Ф(0, 675)=0, 5 t= 0, 675 НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Ф(0, 675)=0, 5 t= 0, 675

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Задача Рассчитать квантили нормального закона распределения для IQ показателя. Xp значение НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Задача Рассчитать квантили нормального закона распределения для IQ показателя. Xp значение вид IQ 0, 1 80, 7 D 1 P 10 IQ 0, 25 89, 9 Q 1 P 25 Ф(t) = 2*Р – 1 = 2*0, 25 – 1 = -0, 5 t = -0, 675 x = 100 -0, 675*15 = 89, 9

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Для нахождения вероятности попадания случайной величины в произвольный интервал (x 1; НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Для нахождения вероятности попадания случайной величины в произвольный интервал (x 1; x 2), используют следующее соотношение Функция Лапласа интеграл от функции плотности вероятности

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Задача Рассчитать вероятность появления значений в интервале от 105 до 125 НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Задача Рассчитать вероятность появления значений в интервале от 105 до 125 IQ. t 1 = (105 – 100)/15 = 0, 33 t 2 = (125 – 100)/15 = 1, 67

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ t 1= 0, 33 Ф(0, 33)=0, 2585 НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ t 1= 0, 33 Ф(0, 33)=0, 2585

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ t 2= 1, 67 Ф(1, 67)=0, 9051 НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ t 2= 1, 67 Ф(1, 67)=0, 9051

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Задача Рассчитать вероятность появления значений в интервале от 105 до 125 НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Задача Рассчитать вероятность появления значений в интервале от 105 до 125 IQ. t 1 = (105 – 100)/15 = 0, 33 Ф(t 1) = 0, 2585 t 2 = (125 – 100)/15 = 1, 67 Ф(t 2) = 0, 9051 Р(105; 125) = (0, 9051 – 0, 2585)/2 = 0, 3233

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Задача зеленый красный желтый Рассчитать вероятности появления признака (время синий зеленый НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Задача зеленый красный желтый Рассчитать вероятности появления признака (время синий зеленый красный интерференции) для каждого интервала вариационного ряда, если допустить «интерференция» что закон распределения признака нормальный. Stroop 3 карта ВЫБОРКА из 127 человек № 1 2 3 4 5 6 7 8 интервалы [42 … 50) Средняя [50… 58) Дисперсия [58… 66) Станд. откл [66… 74) [74… 82) [82… 90) [90… 98) [98… 106) Упорядоченный xi ряд ni 46 66, 4 9 54 21 148, 72 62 36 12, 2029 70 78 86 94 102 15 10 6 1 Интервальный wi ni нак wi нак ряд 0, 07 9 0, 07 66, 98 0, 17 30 0, 24 155, 14 0, 28 66 0, 52 12, 46 0, 23 95 0, 75 0, 12 0, 08 0, 05 0, 01 110 126 127 0, 87 0, 94 0, 99 1, 00

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ № интервалы 1 [42 … 50) 2 [50… 58) 3 [58… НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ № интервалы 1 [42 … 50) 2 [50… 58) 3 [58… 66) 4 [66… 74) 5 [74… 82) 6 [82… 90) 7 [90… 98) 8 [98… 106) Средняя Дисперсия Станд. откл xi 46 54 62 70 78 86 94 102 66, 98 155, 14 12, 46 pi Итак, для 1 го интервала: x 1 =42, x 2 = 50 t 1 = (42 – 66, 98)/12, 46 = - 2, 00 t 2 = (50 – 66, 98)/12, 46 = - 1, 36

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ t 1= 1, 36 Ф(1, 36)=0, 8262 НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ t 1= 1, 36 Ф(1, 36)=0, 8262

t 2= 2, 00 Ф(2, 00)=0, 9545 t 2= 2, 00 Ф(2, 00)=0, 9545

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ № интервалы 1 [42 … 50) 2 [50… 58) 3 [58… НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ № интервалы 1 [42 … 50) 2 [50… 58) 3 [58… 66) 4 [66… 74) 5 [74… 82) 6 [82… 90) 7 [90… 98) 8 [98… 106) xi 46 54 62 70 78 86 94 102 pi 0, 06 t 1 = - 2, 00 Ф(t 1) = - Ф(2) = -0, 9545 t 2 = - 1, 36 Ф(t 2) = - Ф(1, 36) = -0, 8262 Р(42; 50) = (-0, 8262 – - 0, 9545)/2 = 0, 06

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ № интервалы 1 [42 … 50) 2 [50… 58) 3 [58… НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ № интервалы 1 [42 … 50) 2 [50… 58) 3 [58… 66) 4 [66… 74) 5 [74… 82) 6 [82… 90) 7 [90… 98) 8 [98… 106) xi 46 54 62 70 78 86 94 102 pi 0, 06 0, 15 0, 23 0, 24 0, 17 0, 08 0, 02 0, 01

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ № интервалы xi ni wi pi fi 1 2 3 4 НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ № интервалы xi ni wi pi fi 1 2 3 4 5 6 7 8 [42 … 50) [50… 58) [58… 66) [66… 74) [74… 82) [82… 90) [90… 98) [98… 106) 46 54 62 70 78 86 94 102 9 21 36 29 15 10 6 1 0, 07 0, 17 0, 28 0, 23 0, 12 0, 08 0, 05 0, 01 0, 06 0, 15 0, 23 0, 24 0, 17 0, 08 0, 02 0, 01 7, 6 19, 1 29, 2 30, 5 21, 6 10, 1 2, 5 1, 3 fi - теоретическая частота = pi*N

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 40 35 30 25 20 15 10 5 0 [42 … НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 40 35 30 25 20 15 10 5 0 [42 … 50) [50… 58) [58… 66) [66… 74) нормальное распределение [74… 82) [82… 90) вариационный ряд [90… 98) [98… 106)

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Асимметрия As Коэффициент асимметрии оценивает степень скошенности распределения. В идеальном случае, НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Асимметрия As Коэффициент асимметрии оценивает степень скошенности распределения. В идеальном случае, для нормального распределения As=0 Эксцесс Ex Коэффициент эксцесса оценивает степень пологости -крутости распределения. В идеальном случае, для нормального распределения Ex=0

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Асимметрия As Коэффициент асимметрии оценивает степень скошенности распределения. В идеальном случае, НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Асимметрия As Коэффициент асимметрии оценивает степень скошенности распределения. В идеальном случае, для нормального распределения As=0 Для вариационного ряда

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Асимметрия As Коэффициент асимметрии оценивает степень скошенности распределения. В идеальном случае, НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Асимметрия As Коэффициент асимметрии оценивает степень скошенности распределения. В идеальном случае, для нормального распределения As=0 Выраженная асимметрия Отклонение от нормального распределения

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Для вариационного ряда Эксцесс Ex Коэффициент эксцесса оценивает степень пологости -крутости НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Для вариационного ряда Эксцесс Ex Коэффициент эксцесса оценивает степень пологости -крутости распределения. В идеальном случае, для нормального распределения Ex=0

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Выраженный эксцесс Отклонение от нормального распределения Эксцесс Ex Коэффициент эксцесса оценивает НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Выраженный эксцесс Отклонение от нормального распределения Эксцесс Ex Коэффициент эксцесса оценивает степень пологости -крутости распределения. В идеальном случае, для нормального распределения Ex=0

АСИММЕТРИЯ И ЭКСЦЕСС xi 40 46 47 47 48 48 49 -26, 4 -20, АСИММЕТРИЯ И ЭКСЦЕСС xi 40 46 47 47 48 48 49 -26, 4 -20, 4 -19, 4 -18, 4 -17, 4 92 92 95 25, 6 28, 6 зеленый красный желтый синий зеленый красный

АСИММЕТРИЯ И ЭКСЦЕСС xi 40 46 47 47 48 48 49 -26, 4 -20, АСИММЕТРИЯ И ЭКСЦЕСС xi 40 46 47 47 48 48 49 -26, 4 -20, 4 -19, 4 -18, 4 -17, 4 -18399, 7 -8489, 7 -7301, 4 -6229, 5 -5268, 0 92 92 95 25, 6 28, 6 16777, 2 23393, 7 зеленый красный желтый синий зеленый красный As = 0, 54

АСИММЕТРИЯ И ЭКСЦЕСС зеленый красный желтый синий зеленый красный xi 40 46 47 47 АСИММЕТРИЯ И ЭКСЦЕСС зеленый красный желтый синий зеленый красный xi 40 46 47 47 48 48 49 -26, 4 -20, 4 -19, 4 -18, 4 -17, 4 -18399, 7 -8489, 7 -7301, 4 -6229, 5 -5268, 0 485753, 2 173189, 1 141646, 8 114622, 9 91663, 6 92 92 95 25, 6 28, 6 16777, 2 23393, 7 429496, 7 669058, 6 As = 0, 54 Ex = 2, 71

АСИММЕТРИЯ И ЭКСЦЕСС зеленый красный желтый синий зеленый красный As = 0, 54 Ex АСИММЕТРИЯ И ЭКСЦЕСС зеленый красный желтый синий зеленый красный As = 0, 54 Ex = 2, 71 mas = 0, 22 mex = 0, 44 = 2, 45 <3 = 6, 16 >3 Выраженный эксцесс Отклонение от нормального распределения

АСИММЕТРИЯ И ЭКСЦЕСС АСИММЕТРИЯ И ЭКСЦЕСС

2 – РАСПРЕДЕЛЕНИЕ (ПИРСОН) Распределением 2 (хи-квадрат) с k – степенями свободы называется 2 – РАСПРЕДЕЛЕНИЕ (ПИРСОН) Распределением 2 (хи-квадрат) с k – степенями свободы называется распределение суммы квадратов k независимых случайных величин, распределенных по стандартному нормальному закону Zi - стандартный нормальный закон распределения случайной величины N(0; 1)

2 – РАСПРЕДЕЛЕНИЕ (ПИРСОН) 2 – РАСПРЕДЕЛЕНИЕ (ПИРСОН)

t – РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЬЮДЕНТА Распределением Стьюдента Называется распределение случайной величины Z - случайная величина, t – РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЬЮДЕНТА Распределением Стьюдента Называется распределение случайной величины Z - случайная величина, распределенная по стандартному нормальному закону N(0; 1) 2 – независимая от Z случайная величина, имеющая хиквадрат распределение с k степенями свободы

t – РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЬЮДЕНТА t – РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЬЮДЕНТА

F – РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФИШЕРА Распределением F Фишера-Снедекора называется распределение случайной величины: 2(k 1) и F – РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФИШЕРА Распределением F Фишера-Снедекора называется распределение случайной величины: 2(k 1) и 2(k 2) – случайные величины, имеющие хи- квадрат распределение с k 1 и k 2 степенями свободы.

F – РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФИШЕРА F – РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФИШЕРА