Законы распределения непрерывных случайных величин При решении

Законы распределения непрерывных случайных величин • При решении практических задач зачастую точно найти закон распределения случайной величины довольно сложно. Однако, все происходящие процессы, связанные со случайными величинами, можно разделить на несколько типов, каждому из которых можно поставить в соответствие какой – либо закон распределения. • Выше были рассмотрены некоторые типы распределений дискретной случайной величины такие как биноминальное распределение гипергеометрическое, распределение Пуассона. • Рассмотрим теперь некоторые типы законов распределения для непрерывной случайной величины.

• По свойству функции дифференциальной или Следовательно,

• Постоянная величина С определена из условия равенства единице площади, ограниченной кривой распределения. f(x) 0 a b x

• Найдем функцию распределения F(x) на отрезке [a, b]. F(x) 0 a 1 b x

• Определим математическое ожидание и дисперсию случайной величины, подчиненной равномерному закону распределения.

• Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал:

Показательное распределение. • Определение. Показательным (экспоненциальным) называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое описывается плотностью • где - положительное число.

• Найдем функцию распределения. • Графики функции распределения и плотности распределения: f(x) F(x) 1 0 x

• Найдем математическое ожидание случайной величины, подчиненной показательному распределению. • Результат получен с использованием того факта, что

• Для нахождения дисперсии найдем величину М(Х 2). • Дважды интегрируя по частям, аналогично рассмотренному случаю, получим: • Тогда • Итого:

• В случае показательного распределения математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение равны. • Вероятность попадания случайной величины, подчиненной показательному закону распределения, в заданный интервал.

• Показательное распределение широко используется в теории надежности. • Допустим, некоторое устройство начинает работать в момент времени t 0=0, а через какое– то время t происходит отказ устройства. • Обозначим Т непрерывную случайную величину – длительность безотказной работы устройства. • Таким образом, функция распределения F(t) = P(Tt) = 1 – F(t).

• Определение. Функцией надежности R(t) называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы устройства в течение времени t. • Часто на практике длительность безотказной работы подчиняется показательному закону распределению. • Вообще говоря, если рассматривать новое устройство, то вероятность отказа в начале его функционирования будет больше, затем количество отказов снизится и будет некоторое время иметь практически одно и то же значение. Затем (когда устройство выработает свой ресурс) количество отказов будет возрастать. • Другими словами, можно сказать, что функционирование устройства на протяжении всего существования (в смысле количества отказов) можно описать комбинацией двух показательных законов (в начале и конце функционирования) и равномерного закона распределения.

• Функция надежности для какого- либо устройства при показательном законе распределения равна: • Данное соотношение называют показательным законом надежности. • Важным свойством, позволяющим значительно упростить решение задач теории надежности, является то, что вероятность безотказной работы устройства на интервале времени t не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени t. • Таким образом, безотказная работа устройства зависит только от интенсивности отказов и не зависит от безотказной работы устройства в прошлом.

Нормальный закон распределения. • Определение. Нормальным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины, которое описывается плотностью вероятности • Нормальный закон распределения также называется законом Гаусса.

• Нормальный закон распределения занимает центральное место в теории вероятностей. Это обусловлено тем, что этот закон проявляется во всех случаях, когда случайная величина является результатом действия большого числа различных факторов. К нормальному закону приближаются все остальные законы распределения. • Параметры и , входящие в плотность распределения являются соответственно математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением случайной величины Х.

• Найдем функцию распределения F(x). • График плотности нормального распределения называется нормальной кривой или кривой Гаусса. • Нормальная кривая обладает следующими свойствами: • 1) Функция определена на всей числовой оси. • 2) При всех х функция распределения принимает только положительные значения.

• 3) Ось ОХ является горизонтальной асимптотой графика плотности вероятности, т. к. при неограниченном возрастании по абсолютной величине аргумента х, значение функции стремится к нулю. • 4) Найдем экстремум функции. Т. к. при y’ > 0 при x < m и y’ < 0 при x > m , то в точке х = т функция имеет максимум, равный.

• 5) Функция является симметричной относительно прямой х = а, т. к. разность (х–а) входит в функцию плотности распределения в квадрате. • 6) Для нахождения точек перегиба графика найдем вторую производную функции плотности. • • При x = m + и x = m - вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки меняет знак, т. е. в этих точках функция имеет перегиб. • В этих точках значение функции равно .

• График функции плотности распределения.

• Построены графики при т =0 и трех возможных значениях среднего квадратичного отклонения = 1, = 2 и = 7. Как видно, при увеличении значения среднего квадратичного отклонения график становится более пологим, а максимальное значение уменьшается. . • Если а > 0, то график сместится в положительном направлении, если а < 0 – в отрицательном.

• При а = 0 и = 1 кривая называется нормированной. Уравнение нормированной кривой: • Функция Лапласа. Найдем вероятность попадания случайной величины, распределенной по нормальному закону, в заданный интервал. •

• Обозначим • Тогда • Т. к. интеграл не выражается через элементарные функции, то вводится в рассмотрение функция которая называется функцией Лапласа или интегралом вероятностей.

• Значения этой функции при различных значениях х посчитаны и приводятся в специальных таблицах. • График функции Лапласа.

• Функция Лапласа обладает следующими свойствами: • 1) Ф(0) = 0; • 2) Ф(-х) = - Ф(х); • 3) Ф( ) = 1. • Функцию Лапласа также называют функцией ошибок и обозначают erf x. • Еще используется нормированная функция Лапласа, которая связана с функцией Лапласа соотношением:

• График нормированной функции Лапласа.

• При рассмотрении нормального закона распределения выделяется важный частный случай, известный как правило трех сигм. • Вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины от математического ожидания меньше заданной величины : • Если принять = 3 , то получаем с использованием таблиц значений функции Лапласа:

• Т. е. вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидание на величину, большую чем утроенное среднее квадратичное отклонение, практически равна нулю. • Это правило называется правилом трех сигм. • На практике считается, что если для какой – либо случайной величины выполняется правило трех сигм, то эта случайная величина имеет нормальное распределение.

• Пример. Поезд состоит из 100 вагонов. Масса каждого вагона – случайная величина, распределенная по нормальному закону с математическим ожидание а = 65 т и средним квадратичным отклонением = 0, 9 т. Локомотив может везти состав массой не более 6600 т, в противном случае необходимо прицеплять второй локомотив. Найти вероятность того, что второй локомотив не потребуется.

• Второй локомотив не потребуется, если отклонение массы состава от ожидаемого (100 65 = 6500) не превосходит 6600 – 6500 = 100 т. • Т. к. масса каждого вагона имеет нормальное распределение, то и масса всего состава тоже будет распределена нормально. • Получаем:

• Пример. Нормально распределенная случайная величина Х задана своими параметрами – а =2 – математическое ожидание и = 1 – среднее квадратическое отклонение. Требуется написать плотность вероятности и построить ее график, найти вероятность того, Х примет значение из интервала (1; 3), найти вероятность того, что Х отклонится (по модулю) от математического ожидания не более чем на 2.

• Плотность распределения имеет вид: • График:

• Найдем вероятность попадания случайной величины в интервал (1; 3). • Найдем вероятность отклонение случайной величины от математического ожидания на величину, не большую чем 2. • Тот же результат может быть получен с использованием нормированной функции Лапласа.

Понятие генеральной совокупности и выборки. Задачи математической статистики. Оценка параметров распределения • Совокупность наблюдаемых значений случайной величины принято называть выборкой. • Совокупность всех возможных значений случайной величины называется генеральной совокупностью. • Основной задачей математической статистики является получение научно обоснованных выводов о генеральной совокупности на основании имеющейся выборки.

• Число выборочных значений определяет объем выборки. • Разность между наибольшим и наименьшим выборочным значениями называется размахом выборки. • Если выборка обладает достаточным набором для решения конкретного вопроса, то она называется репрезентативной ( представительной). Конкретные задачи математической статистики. • Оценка параметров распределения генеральной совокупности. • Проверка гипотез, связанных с генеральной совокупностью. • Проверка гипотезы о законе распределения генеральной совокупности. • Установление связи между генеральными совокупностями.

• Пусть проводится n независимых испытаний над случайным признаком Х при неизменном комплексе условий. В результате испытаний получены n измерений признака Х: • Хn=(х1, х2, …, хn). • Совокупность Xn таких измерений и есть выборка случайного признака Х. • Выборка Хn, элементы которой расположены в порядке возрастания, называется вариационным рядом. Разность R между наибольшим и наименьшим значениями измерений называют размахом варьирования: • R=хнаиб. - хнаим.

• Число объектов признака, подлежащее контролю и исследованию, называют объёмом генеральной совокупности – N. Число объектов выборочной совокупности – называют объёмом выборки – n: nЄN. Если одинаковые по значению элементы объединить в группы, то получается сгруппированный вариационный или статистический ряд, который представляется в виде таблицы xi x 1 x 2 … xr ni n 1 n 2 … nr • хi – варианты (i = 1, 2, …, r), различающиеся значениями элементов; • ni – частоты, число элементов, имеющих одинаковые значения xi; • r – число различных значений в выборке, • причём n 1+n 2+…+nr=n.

• Отношение числа элементов признака – ni, имеющего одинаковые значения xi, к объёму выборки – n, называется относительной частотой отдельного значения признака: • , i = 1, 2, …, r, . • По вариационному ряду строится статистическая (эмпирическая) функция распределения вероятностей исследуемой случайной величины: • , где ni – число элементов выборки • меньших х. • Иными словами, статической функцией распределения F*(x) признака Х для значения х ЄХ называется относительная частота события Х < х: • F*(x)= W(X < x) =

• Пример 1 • Представить выборку 50 наблюдений в виде статистического ряда и построить график эмпирической функции распределения вероятностей: 16 20 19 17 19 23 16 14 20 19 15 19 16 21 10 18 13 17 18 24 19 18 19 11 17 13 17 19 21 12 14 21 15 20 18 19 18 20 21 14 15 20 16 13 20 18 14 22 17 • При большом объёме выборки и большом числе различных по величине элементов выборки пользоваться простым и сгруппированным вариационным рядами становиться неудобно. В таком случае пользуются интервальным вариационным рядом, который строится следующим образом. Вся широта распределения ряда разбивается на r частичных интервалов и подсчитывается число элементов ni, попавших в i – ый интервал. Для каждого интервала указываются его границы и середина интервала.

• Решение • Размах выборки: R = 24 -10=14. • Разобьём выборку на 7 интервалов, тогда длина интервала • h =2 , n = 50 • Посчитаем число вариант ni, попавших в i – ый интервал и представим это в виде таблицы 3: Номер интервала Границы интервала Середина интервала Частота ni Относительная частота 1 10 -12 11 2 =0, 04 2 12 -14 13 4 0, 08 3 14 -16 15 7 0, 14 4 16 -18 17 10 0, 2 5 18 -20 19 14 0, 28 6 20 -22 21 10 0, 2 7 22 -24 23 3 0, 06

• Функции распределения вероятностей определим следующим образом: • F*(x) = 0, при х ≤ 11 • F*(x) = 0, 04, при 11 < х ≤ 13 • F*(x) = 0, 12, при 13 < х ≤ 15 • F*(x) = 0, 26, при 15 < х ≤ 17 • F*(x) = 0, 46 при 17 < х ≤ 19 • F*(x) = 0, 74, при 19 < х ≤ 21 • F*(x) = 0, 94, при 21 < х ≤ 23 • F*(x) = 1, при х > 23.

• Графическое представление выборки • Для наглядного представления о форме плотности распределения случайной величины Х используются понятия полигон и гистограмма распределения, которые строятся по интервальному вариационному ряду. Для построения полигона нужно из середины каждого частичного интервала восстановить перпендикуляр длиной • и соединить отрезками прямых вершины этих перпендикуляров. Вершины крайних перпендикуляров соединяются с концами крайних частичных интервалов. Ломаная линия, соединяющая вершины перпендикуляров и называется полигоном относительных частот.

• Чтобы построить гистограмму относительных частот, нужно на каждом частичном интервале построить прямоугольник высотой Pi*. Гистограммой относительных частот называется ступенчатая фигура, состоящая из прямоугольников, построенных на интервалах длинной , • • где k – число интервалов, с высотой равной Pi*. Площадь гистограммы относительных частот равна единице. • Относительные частоты Wi = Pi* есть не что иное, как эмпирические вероятности попадания случайной величины в соответствующие интервалы. Полигон и гистограмма относительных частот являются различными формами представления эмпирической плотности распределения вероятностей исследуемой случайной величины.

Оценка параметров распределения. • Сущность этой задачи состоит в следующем: генеральная совокупность X характеризуется параметром Θ. • Мы располагаем выборкой x 1, x 2, …, xn из генеральной совокупности, с помощью которой хотим оценить неизвестный параметр Θ.

• 1. Состоятельность оценки. • Это свойство состоит в том, что оценка должна стремиться по вероятности к оцениваемому параметру, когда число выборочных значений неограниченно возрастает, т. е.

• 2. Несмещенность оценки. • Это свойство состоит в том, что математическое ожидание оценки должно быть равно оцениваемому параметру Θ:

• 3. Эффективность оценки. • Эффективность состоит в том, что дисперсия оценки должна быть возможно меньшей. •

Оценка математического ожидания генеральной совокупности. • В качестве оценки математического ожидания используют среднее арифметическое выборочных значений

• Покажем, что данная оценка является состоятельной, несмещенной и эффективной. • Состоятельность данной оценки следует из того, что по закону больших чисел.

• Для доказательства несмещенности оценки найдем. • Математическое ожидание оценки оказалось равным оцениваемому параметру а, следовательно, оценка несмещенная.

• Эффективность оценки следует из того, что. • • Дисперсия оценки оказалась зависимой от объема выборки и она в n раз меньше, чем дисперсия оценки. Доказано, что полученная эффективность является максимально возможной для любой оценки. • Заметим, что из выражения для следует, что. • где σ - среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности.

Оценка дисперсии генеральной совокупности. • Поскольку состоятельной и эффективной оценкой математического ожидания является среднее арифметическое выборочных значений, то естественно в качестве оценки для дисперсии, которая является математическим ожиданием квадрата отклонения случайной величины от математического ожидания, взять среднее арифметическое квадратов отклонений: • данная оценка является состоятельной и эффективной.

ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Эмпирические числовые характеристики • Числовые характеристики случайных величин, найденных на основе экспериментальных данных, называются точечными оценками этих характеристик или эмпирическими характеристиками. вариационный ряд: • Х = • Каждый элемент встречается в нём один раз, т. е . рассматривается дискретная случайная величина, имеющая n возможных значений с одинаковыми вероятностями. Тогда математическое ожидание этой случайной величины определяется по общему правилу, как сумма произведений её возможных значений на вероятности этих значений, т. е.

• дисперсия: • Для сгруппированного вариационного : Несмещёная дисперсия: