Законы коммутации и начальные условия Вывод о непрерывности

Законы коммутации и начальные условия Вывод о непрерывности токов в индуктивностях и напряжений на емкостях формулируется в виде законов коммутации. Первый закон коммутации: в начальный момент времени после коммутации ток в индуктивности имеет такое же значение, как и непосредственно перед коммутацией, и с этого значения плавно изменяется Второй закон коммутации: в начальный момент времени после коммутации напряжение на емкости имеет такое же значение, как и непосредственно перед коммутацией, и с этого значения плавно изменяется: Значения тока в индуктивности и напряжения на емкости в момент коммутации (t=0) называются независимыми начальными условиями Независимые начальные условия характеризуют запасенную в цепи к моменту коммутации энергию магнитного и электрического полей Наряду с независимыми начальными условиями используются также зависимые начальные условия, т. е. значения токов и напряжений и их производных по времени в начальный момент t = 0.

Принужденный и свободный режим В основе всех методов расчета переходных процессов в линейных цепях лежит составление интегро-дифференциальных уравнений для мгновенных значений токов и напряжений. Например, пусть имеем цепь с последовательным соединением R, L, C при воздействии ЭДС e(t). Если RLC-цепь подключается к источнику внешнего напряжения в момент времени t = 0, то для t > 0 справедливо уравнение После дифференцирования по t получим уравнение Решение уравнения классическим методом находится в виде суммы двух функций где - частное решение определяет принужденный (вынужденный) режим работы цепи, задаваемый внешними источниками -общее решение однородного дифференциального уравнения характеризует электрические процессы, обусловленные изменением начального электрического состояния цепи в отсутствии внешних источников свободные (собственные) составляющие.

Для определения принужденной составляющей переходного процесса в цепи можно воспользоваться любыми известными методами расчета линейных цепей в установившемся режиме после коммутации. Решение для свободной составляющей тока представляет собой сумму двух экспонент где и корни характеристического уравнения В общем же случае, в сложной электрической цепи переходные процессы описываются неоднородным линейным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами: Характеристическое уравнение, соответствующее данному дифференциальному уравнению цепи Если все корни характеристического уравнения простые, свободная составляющая переходного процесса имеет вид

Переходные процессы в RL-цепи Включение в RL-цепь постоянного напряжения При включении постоянной ЭДС функция внешнего воздействия Найдем постоянную интегрирования А. Если то

Таким образом, Напряжение на сопротивлении Напряжение на индуктивности Практически можно считать, что переходный процесс заканчивается через t = (4 - 5) , при t = 5 ток в цепи достигает более 0, 99 от установившегося значения. где - постоянная времени RL-цепи. Очевидно, что чем меньше , тем быстрее возрастает ток в цепи где е = 2, 718, I=E/R.

Короткое замыкание RL-цепи Так как принужденная составляющая отсутствует, то Напряжение на сопротивлении Напряжение на индуктивности За время переходного процесса начальная энергия, запасенная в индуктивности, будет расходоваться на тепловые потери в сопротивлении R. Величина этих потерь

Включение в RL-цепь гармонического напряжения Если на вход RL-цепи включить гармоническую ЭДС , то принужденная составляющая тока будет представлять собой установившиеся колебания Постоянную интегрирования в этом случае находим из условия Напряжение на сопротивлении Напряжение на индуктивности

Прямоугольный импульс с немодулированным заполнением определяется выражением Для t > Напряжения на элементах при t > .

Переходные процессы в RC - цепи На основании второго закона Кирхгофа для t > 0 уравнение цепи имеет вид e(t) = R i(t) + UC. Поскольку то . Включение в RC-цепь постоянного напряжения 0 = Е + А, А = - Е

Во время переходного процесса в емкости происходит непрерывное накопление электрической энергии, которая при t®¥ достигает величины Одновременно часть энергии, отдаваемой внешним источником, расходуется в сопротивлении R. Причем энергия, рассеиваемая в сопротивлении, оказывается равна энергии, запасаемой в емкости. Очевидно, что чем больше постоянная времени , тем медленнее нарастает и спадает напряжение на конденсаторе.

Разряд емкости на сопротивление Очевидно, что вся энергия, запасенная в емкости к моменту коммутации, рассеивается в сопротивлении за время t = (4 - 5).

Включение в RC-цепь гармонического напряжения Если на вход RC-цепи включить гармоническую ЭДС , то принужденная составляющая напряжения на конденсаторе будет