Скачать презентацию Закон равномерной плотности На практике встречаются непрерывные случайные Скачать презентацию Закон равномерной плотности На практике встречаются непрерывные случайные

Законы распределения вероятностей.ppt

  • Количество слайдов: 26

Закон равномерной плотности На практике встречаются непрерывные случайные величины, значения которых лежат в пределах Закон равномерной плотности На практике встречаются непрерывные случайные величины, значения которых лежат в пределах известного интервала. При этом все значения в пределах этого интервала равновероятны. Такие случайные величины распределены по закону равномерной плотности.

Например, поезда метрополитена идут с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в некоторый Например, поезда метрополитена идут с интервалом 2 минуты. Пассажир выходит на платформу в некоторый момент времени. Ему придется ждать время Т и эта величина распределена с равномерной плотностью на участке от 0 до 2 минут.

Математическое выражение плотности распределения f (x) = с при ά < x < β Математическое выражение плотности распределения f (x) = с при ά < x < β f (x) = 0 при x < ά или x > β Так как площадь, ограниченная кривой распределения, равна единице: С (β ά )= 1 С =

Таким образом плотность распределения имеет вид: f (x) = при ά < x < Таким образом плотность распределения имеет вид: f (x) = при ά < x < β f (x) = 0 при x < ά или x > β Функция распределения F (x) = 0 при x < ά при ά < x < β 1 при x > β

Математическое ожидание величины Х, подчиненной закону равномерной плотности равно: Mx = В силу симметричности Математическое ожидание величины Х, подчиненной закону равномерной плотности равно: Mx = В силу симметричности равномерного распределения медиана также равна

Дисперсия величины Х находится по формуле: и равна Откуда среднее квадратическое отклонение: Дисперсия величины Х находится по формуле: и равна Откуда среднее квадратическое отклонение:

Вероятность попадания случайной величины, распределенной по закону равномерной плотности, на участок (а, b), представляющей Вероятность попадания случайной величины, распределенной по закону равномерной плотности, на участок (а, b), представляющей собой часть участка (ά, β ) равна: P(а < x

Пример. Поезда метрополитена идут с интервалом 4 минуты. Пассажир выходит на платформу в некоторый Пример. Поезда метрополитена идут с интервалом 4 минуты. Пассажир выходит на платформу в некоторый момент времени. Ему придется ждать время t и эта величина распределена с равномерной плотностью на участке от 0 до 4 минут. Найти: среднее время ожидания mt (математическое ожидание), дисперсию, среднее квадратическое отклонение. Найти вероятность того, что пассажир сможет уехать в интервал от 1 до 2 минут.

Решение. Mt =(4+0)/2 =2 Dt =(4 0)2/12 =1, 33 σ =1, 16 P(ά < Решение. Mt =(4+0)/2 =2 Dt =(4 0)2/12 =1, 33 σ =1, 16 P(ά < x < β) =(2 1)/(4 0)=0, 25

Биноминальный закон распределения Биноминальным называют закон распределения дискретной случайной величины Х – числа появления Биноминальный закон распределения Биноминальным называют закон распределения дискретной случайной величины Х – числа появления одного из 2 х несовместных событий в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность р наступления интересующего события остается неизменной от испытания к испытанию.

Вероятности возможных значений Х = 0, 1, …, m, …, n для биноминального распределения Вероятности возможных значений Х = 0, 1, …, m, …, n для биноминального распределения вычисляются по формуле Бернулли где q = 1 – p. Параметры биноминального закона распределения: M(X) = np; D(X) = npq.

Закон Пуассона Рассмотрим прерывную случайную величину Х, которая может принимать только целые, неотрицательные значения: Закон Пуассона Рассмотрим прерывную случайную величину Х, которая может принимать только целые, неотрицательные значения: 0, 1, 2, …. m, . . , причем последовательность этих значений теоретически не ограничена.

Случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определенное Случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определенное значение m, выражается формулой (m= 0, 1, 2. . ), где а некоторая положительная величина, называемая параметром закона Пуассона.

Ряд распределения случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, имеет вид xm 0 Pm Ряд распределения случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, имеет вид xm 0 Pm e a 1 2 … m …

Параметр a представляет собой математическое ожидание случайной величины Х. Mx = a Дисперсия случайной Параметр a представляет собой математическое ожидание случайной величины Х. Mx = a Дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, также равна a. Таким образом: Mx =Dx = a

Это свойство используется на практике для решения вопроса, правдоподобна ли гипотеза о том, что Это свойство используется на практике для решения вопроса, правдоподобна ли гипотеза о том, что случайная величина распределена по закону Пуассона. Для этого опытным путем определяют математическое ожидание и дисперсию. Если их значения близки, то можно предположить, что мы имеем дело с Пуассоновским распределением.

Пример. На автоматическую телефонную станцию поступают вызовы со средней скоростью К вызовов в час. Пример. На автоматическую телефонную станцию поступают вызовы со средней скоростью К вызовов в час. Считая, что число вызовов на любом участке времени распределено по закону Пуассона, найти вероятность того, что за 2 минуты на станцию поступит ровно 3 вызова.

Решение. Необходимо найти параметр a. Это среднее число вызовов за 2 минуты. Вероятность поступления Решение. Необходимо найти параметр a. Это среднее число вызовов за 2 минуты. Вероятность поступления ровно трех вызовов равна:

Нормальный закон распределения и функция Лапласа Нормальный закон распределения характеризуется плотностью Нетрудно видеть, что Нормальный закон распределения и функция Лапласа Нормальный закон распределения характеризуется плотностью Нетрудно видеть, что функция f(x) удовлетворяет двум условиям: не отрицательности Кривая у = f (х) симметрична относительно прямой х = а и максимальная ордината кривой (при х = а) равна

Ось абсцисс является асимптотой кривой y = f(x). Параметр а является математическим ожиданием случайной Ось абсцисс является асимптотой кривой y = f(x). Параметр а является математическим ожиданием случайной величины X, а σ является средним квадратичным отклонением величины X. • Введем обозначение Функция Ф(х) называется функцией Лапласа, или интегралом вероятностей.

Вероятность попадания случайной величины Х на участок от до равна: Вероятность попадания случайной величины Х на участок от до равна:

• Правило 3 -х (трех “сигм”). • Пусть имеется нормально распределённая случайная величина • Правило 3 -х (трех “сигм”). • Пусть имеется нормально распределённая случайная величина с математическим ожиданием, равным а и дисперсией 2. Определим веро ятность попадания в интервал (а – 3 ; а + 3 ), то есть вероятность того, что принимает значения, отличающиеся от математического ожидания не более, чем на три среднеквадратических отклонения. • P(а – 3 < < а + 3 )=Ф(3) – Ф(– 3)=2 Ф(3)

• По таблице находим Ф(3)=0, 49865, откуда следует, что 2 Ф(3) практи чески • По таблице находим Ф(3)=0, 49865, откуда следует, что 2 Ф(3) практи чески равняется единице. Таким образом, можно сделать важный вывод: нормальная случайная величина принимает значения, отклоняющиеся от ее математического ожидания не более чем на 3. • (Выбор числа 3 здесь условен и никак не обосновывается: можно было выбрать 2, 8, 2, 9 или 3, 2 и получить тот же вероятностный результат. Учитывая, что Ф(2)=0, 477, можно было бы говорить и о правиле 2–х “сигм”. )