Закон больших чисел Закон лишь один на свете

Зарегистрируйтесь, чтобы просмотреть полный документ!

Закон больших чисел Закон лишь один на свете: это закон больших чисел. В казино, в насекомом, в козявке всюду, где б ни случился Н. В. Байтов

Предельные теоремы вероятностей n n Случайные массовые явления обладают свойством устойчивости: особенности отдельных явлений не сказываются на среднем результате большой массы подобных явлений. Характеристики случайных явлений при неограниченном увеличении числа испытаний становятся практически неслучайными. Предельные теоремы вероятностей устанавливают связь между случайностью и необходимостью. По смыслу предельные теоремы можно разбить на 2 группы: ¨ Закон больших чисел ¨ Центральная предельная теорема

Закон больших чисел n n Законом больших чисел называется группа теорем, показывающих, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным. Закон больших чисел утверждает, что при очень большом числе случайных явлений их средний результат перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности. Различают слабый закон больших чисел, когда имеет место сходимость по вероятности, и усиленный закон больших чисел, когда имеет место сходимость почти всюду. Закон больших чисел включает в себя следующие теоремы: ¨ Теорему Чебышева; ¨ Теорему Бернулли; ¨ Теорему Пуассона

Неравенство Чебышева n n Является средством доказательства других теорем закона больших чисел. Теорема. Пусть Х есть случайная величина с конечными математическим ожиданием М(Х) и дисперсией D(X). Тогда для любого положительного ε выполняется или

Задача n Вероятность появления события в каждом испытании равна 0, 25. Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что число появлений события заключено в пределах от 150 до 250, если будет проведено 800 независимых испытаний.

ЗБЧ в форме Чебышева n Если дисперсии независимых случайных величин Х 1, Х 2, …, Хn ограничены одной константой С, а число их достаточно велико, то для произвольного сколь угодно малого положительного числа ε, справедливо неравенство:

ЗБЧ в форме Бернулли n Если вероятность наступления события А в каждом из независимых испытаний постоянна, а их число достаточно велико, то сколь угодно близка к единице вероятность того, что частота появления события как угодно мало отличается от вероятности его появления: n Теорема Бернулли, утверждает, что если вероятность события одинакова во всех испытаниях, то с увеличением числа испытаний частота события стремится к вероятности события и перестает быть случайной.

ЗБЧ в форме Пуассона n Если вероятность pi появления события A в i-ом испытании не меняется, когда становятся известными результаты предыдущих испытаний, а их число достаточно велико, то сколь угодно близка к единице вероятность того, что частота появления события как угодно мало отличается от средней арифметической вероятностей : n Теорема Пуассона утверждает, что частота события в серии независимых испытаний стремится к среднему арифметическому их вероятностей и перестает быть случайной.

Приложения ЗБЧ n n Проявлением закона больших чисел является физический закон о постоянстве давления газа на стенки сосуда. Закон больших чисел лежит в основе различных видов страхования (страхование жизни человека на всевозможные сроки, имущества, скота, посевов и др. ). При планировании ассортимента товаров широкого потребления учитывается спрос на них населения. В этом спросе проявляется действие закона больших чисел. Широко применяемый в статистике выборочный метод находит свое научное обоснование в законе больших чисел.

Центральная предельная теорема n n Центральная предельная теорема – группа терем, которые устанавливают связь между законом распределения суммы случайных величин и его предельной формой – нормальным законом распределения. Друг от друга теоремы отличаются условиями, накладываемыми на сумму случайных величин.

Теорема Ляпунова n Распределение суммы независимых случайных величин приближается к нормальному закону распределения при неограниченном увеличении их числа и выполнении условий: ¨ Все величины имеют конечные математические ожидания и дисперсию ¨ Ни одна из величин по своему значению резко не отличается от других, т. е. оказывает ничтожное влияние на их сумму

Теорема Ляпунова n n При решении практических задач используют другую формулировку теоремы: Если случайная величина имеет конечные математическое ожидание МХ и дисперсию DX, то распределение среднего арифметического , вычисленного по наблюдавшимся значениям случайной величины в n независимых испытаниях приближается к нормальному закону распределения с математическим ожиданием МХ и дисперсией DX/n, т. е.

Скачать презентацию Закон больших чисел Закон лишь один на свете

Закон больших чисел.ppt

Количество слайдов: 12