Задания — B 4 ЕГЭ-2010 Автор Уланова

Задания - B 4 ЕГЭ-2010 Автор : Уланова М. В. , учитель математики МОУ Богатовская СОШ «Образовательный центр» муниципального района Богатовский Самарской области

ь B 4 проверяет умение выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами

Вспомним формулы Шa = с * sin α Шsin α = a/c b = c * cos α = b/c Шtg α = sin α / cos α Шsin 2 A + cos 2 A = 1 Ш 1+tg 2 A=1/cos 2 A a = b * tg α = a/b

Задача № 1 В равнобедренном треугольнике ABC (сторона АС – основание) cos. A = 4/5 , высота BH равна 12. Найти АС.

I способ Дано: BH = 12 Найти: АС = ? Cos A = AH/AB sin 2 A + cos 2 A=1 Sin 2 A = 1 - (4/5)2 Sin 2 A = 1 – 16/25 Sin 2 A = 9/25 Sin A = 3/5 Sin A = BH/AB 3/5 = 12/AB

AB = 12*5/3 = 20 AH 2 = AB 2 – BH 2 AH 2 = 202 – 122 AH 2 = 400 – 144 AH 2 = 256 AH = 16 AC = 2 * 16 = 32 Ответ: 32

II способ 1 + tg 2 A = 1/cos 2 A 1+ tg 2 A = 1/(4/5)2 1 + tg 2 A = 1/16/25 1 + tg 2 A = 25/16 - 1 tg 2 A =9/16 tg. A = 3/4 tg. A = BH/AH ¾ = 12/AH AH = 4*12/3 = 16 AC = 2 * 16 = 32 Ответ: 32

Задача № 2 В треугольнике АВС АС=ВС, АВ=6, sin A = 4/5. Найдите АС. Дано: АВ = 6 Sin A = 4/5 Найти: АС = ?

AH = 6: 2 = 3 Sin 2 A + cos 2 A = 1 – (4/5)2 cos 2 A = 16/25 – 1 cos 2 A = 9/25 cos. A = 3/5 cos. A = AH/AC 3/5 = 3/AC AC = 5 Ответ : 5

Задача № 3 В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC боковая сторона AB равна 8, а Cos A = √ 7/4. Найдите высоту, проведенную к основанию. Дано: АВ = 8 cos. A = √ 7/4 Найти: ВH = ?

cos. A = AH/AB AH = cos. A*AB AH = 8*√ 7/4 AH = 2√ 7 По теореме Пифагора: AH 2 + BH 2 = AB 2 – AH 2 BH 2 = 82 – (2√ 7)2 BH 2=64 -28 BH 2 = 36 BH = 6 Ответ: 6

Задача № 4 В треугольнике ABC ВС=AC=2√ 2 , угол C равен 45 o. Найдите высоту AH. Дано: ВС=AC=2√ 2 угол C = 45 o Найти: АH = ?

sin 45 o = √ 2/2 sin C = AH/AC √ 2/2 = AH/2√ 2 AH = 2*2/2 AH = 2 Ответ: 2

Задача № 5 В треугольнике ABC AC=BC, угол C равен 120 o, AB=2√ 3. Найдите AC. Дано: ВС=AC угол C = 120 o AB=2√ 3 Найти: АH = ?

1. AH = AB/2 =2√ 3/2=√ 3 2. угол HCA = 1/2 угол BCA=120 o * ½ = 60 o угол A = 30 o 3. AC = AH/sin 60 o = √ 3/2 = √ 3*2/√ 3 = 2 Ответ: 2

Задача № 6 В треугольнике ABC угол C равен 90 o, CH — высота, AH=18, tg. A= 1/3. Найдите BH. Дано: tg. A= 1/3 угол C = 90 o AH=18 Найти: BH = ?

CH=AH*tg. A CH=18*1/3 = 6 Согласно теореме пропорциональности отрезков в прямоугольном треугольнике: BH/CH=CH/AH CH 2=BH*AH – теорема BH=CH 2/AH = 36/18 = 2 Ответ: 2

Задача № 7 В тупоугольном треугольнике ABC AB=BC, CH — высота, AB=15, BH=3√ 21. Найдите синус угла ABC. Дано: AB=15 BH=3 √ 21 Найти: sin. ABC = ?

1. CH = √ 225 -189 = √ 36 = 6 2. Sin α = CH/CB = 6/15 = 2/5 3. sin. ABC = sin(180 - α) = = sin α =2/5 Ответ: 0, 4

Задача № 8 В тупоугольном треугольнике ABC AB=BC, CH — высота, AB=20, BH=12. Найдите синус угла ABC. Дано: AB=20 BH=12 Найти: sin. ABC = ?

1. По теореме Пифагора: BH 2 + CH 2 = BC 2 CH =√BC 2 - BH 2 =√ 400 -144=16 2. Sin α = CH/CB = 16/20 = 4/5 3. sin. ABC = 180 o – α sin. ABC = sin(180 - α)= sin α = = 4/5 Ответ: 0, 8

Задача № 9 В треугольнике ABC AB=BC=15, AB=6√ 21. Найдите синус внешнего угла при вершине B. Дано: AB=BC=20 AB= 6√ 21 Найти: sin. CBN = ?

1. BH = AB/2 = 6√ 21/2=3√ 21 2. CH= √BC 2 -BH 2 = =√ 225 -189 = √ 36 = 6 3. sin. CBN = HC/BC = 6/15 = 2/5 4. sin. CBN = sin(180 - α)= sin α = = 2/5 Ответ: 0, 4

Задача № 10 В параллелограмме ABCD высота, опущенная на сторону AB равна 3, AD=4. Найдите синус угла B. Дано: DH=3 AD= 4 Найти: sin. B = ?

sin. A=3/4 угол B = 180 - угол A sin. B = sin(180 - A)= sin A = = 3/4 Ответ: 0, 75

Задача № 11 Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Боковые стороны равны 5. Найдите синус острого угла трапеции. Дано: AB=12 DC= 6 AD=CB=5 Найти: sin. A = ?

1. AH = AB - AD/2 = 12 -6/2=3 2. DH= √DA 2 -AH 2 = =√ 25 -9 = √ 16 = 4 3. sin. A = DH/AD = 4/5 = 0, 8 Ответ: 0, 8

Задача № 12 Основания равнобедренной трапеции равны 6 и 12. Боковые стороны равны 5. Найдите синус острого угла трапеции. Дано: AB=12 sin. A=0, 8 AD=CB=5 Найти: DC= ?

1. DH = AD*sin. A = 5*0, 8=4 2. AH= √AD 2 -DH 2 = =√ 25 -16 = √ 9 = 3 AH = NB = 3 3. DC = AB – 2 AH = 12 – 6 =6 Ответ: 6

Задача № 13 Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 6. Высота трапеции равна 10. Тангенс острого угла равен 2. Найдите большее основание. Дано: DC=6 tg. A=2 DH=10 Найти: AB= ?

1. DH = AH*tg. A AH = DH/tg. A = 10/2 = 5 AH = NB = 5 2. AB = DC + 2 AH = 6+10 = 16 Ответ: 16