Задание ЕГЭ 11 класс Задачи с прикладным содержанием

Задание ЕГЭ (11 класс) Задачи с прикладным содержанием Учитель математики: Горбачева О. Л. 1 Томск 2015

2

При температуре рельс имеет длину м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону, , где коэффициент теплового расширения, — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 4, 5 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия. При температуре рельс имеет длину м. При возрастании температуры происходит тепловое расширение рельса, и его длина, выраженная в метрах, меняется по закону, , где коэффициент теплового расширения, — температура (в градусах Цельсия). При какой температуре рельс удлинится на 7, 5 мм? Ответ выразите в градусах Цельсия. 3

Некоторая компания продает свою продукцию по цене p=300 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют v=200 руб. , постоянные расходы предприятия f=600 000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле π(q)=q(pv). Определите наименьший месячный объем производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 300 000 руб. 4 Некоторая компания продает свою продукцию по цене p=400 руб. за единицу, переменные затраты на производство одной единицы продукции составляют v=200 руб. , постоянные расходы предприятия f=500 000 руб. в месяц. Месячная операционная прибыль предприятия (в рублях) вычисляется по формуле π(q)=q(pv). Определите наименьший месячный объем производства q (единиц продукции), при котором месячная операционная прибыль предприятия будет не меньше 1 000 руб.

Коэффициент полезного действия (КПД) некоторого двигателя определяется формулой η = где T 1 — температура нагревателя (в градусах Кельвина), T 2 — температура холодильника (в градусах Кельвина). При какой минимальной температуре нагревателя T 1 КПД этого двигателя будет не меньше 15%, если температура холодильника T 2=340 К? Ответ выразите в градусах Кельвина. Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 749 МГц. Скорость погружения батискафа v вычисляется по формуле v = , где c =1500 м/с — скорость звука в воде, f 0 — частота испускаемых импульсов, f — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником. Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна 2 м/с. 5

Зависимость объема спроса q (единиц в месяц) на продукцию предприятия – монополиста от цены p (тыс. руб. ) задается формулой q=100 -10 p. Выручка предприятия за месяц (в тыс. руб. ) вычисляется по формуле r(p)=qp. Определите наибольшую цену p, при которой месячная выручка r(p) составит не менее 240 тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб. 6

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону H(t)=at 2+bt+H 0, где H 0 — начальный уровень воды, a=1/72 м/мин 2, и b=-1/3 м/мин — постоянные, t — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах. 7

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплен кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём, выраженная в метрах, меняется по закону , где H 0=5 м — начальная высота столба, g=10 м/с2 и — постоянные, t — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана. Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды? 8

После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время t падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле h=5 t 2, где h – расстояние в метрах, t – время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло 0, 6 с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на 0, 2 с? Ответ выразите в метрах. 9

Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t)=1, 6+8 t-5 t 2, где h – высота в метрах, t – время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее трёх метров? Высота над землей подброшенного вверх мяча меняется по закону h(t)=1+12 t– 5 t 2, где h – высота в метрах, t – время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее пяти метров? 10

Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур определяется выражением T(t)=T 0+bt+at 2, где – время в минутах, T 0=1400 К, a=-10 К/мин, b=2000 К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше 1760 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах. 11

Камнеметательная машина выстреливает камни под некоторым острым углом к горизонту. Траектория полета камня описывается формулой y=ax 2+bx, где a=-1/625 м, b=6/25 — постоянные параметры, x (м) — смещение камня по горизонтали, y (м) — высота камня над землей. На каком наибольшем расстоянии (в метрах) от крепостной стены высотой 7 м нужно расположить машину, чтобы камни пролетали над стеной на высоте не менее 1 метра? 12

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью V 0=40 км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением a=64 км/ч2. Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 48 км от города. Ответ выразите в минутах. 13

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью V 0=24 м/с, выезжает из него и сразу после выезда начинает тормозить с постоянным ускорением a=3 м/с2. Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением Определите время, в течение которого мотоциклист будет осуществляться торможение, если известно, что за это время мотоциклист проехал 90 метров. Ответ выразите в секундах. 14

15

Если достаточно быстро вращать ведерко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна , где m — масса воды в килограммах, v — скорость движения ведeрка в м/с, L — длина веревки в метрах, g — ускорение свободного падения (считайте g=10 м/с2). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведёрко, чтобы вода не выливалась, если длина верёвки равна 62, 5 см? Ответ выразите в м/с. 16

17

18

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана– Больцмана, согласно которому P=σST 4, где P — мощность излучения звезды, σ =5, 7⋅10− 8 Втм 2⋅К 4 — постоянная, S — площадь поверхности звезды, а T — температура. Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна 256⋅1020 м 2, а мощность её излучения равна 9, 12⋅1025 Вт. Найдите температуру этой звезды в градусах Кельвина. 19

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон p. Vk=const, где p — давление в газе в паскалях, V — объeм газа в кубических метрах. В ходе эксперимента с одноатомным идеальным газом (для него k=5/3) из начального состояния, в котором р =105 Па⋅м 5, газ начинают сжимать. Какой наибольший объем V может занимать газ при давлениях p не ниже 3, 2⋅106 Па? Ответ выразите в кубических метрах. При адиабатическом процессе для газа выполняется закон p. Vа=const, где p — давление в газе в паскалях, V — объeм газа в кубических метрах а –положительная константа. При каком наименьшем значении константы а уменьшение вдвое объёма газа, участвующего в этом процессе, приводит к увеличению давления не менее, чем в 4 раза? 20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

Полезные ссылки http: //alleng. ru http: //www. mathege. ru http: //live. mephist. ru http: //shpargalkaege. ru 31

До свидания! 32