ЗАДАЧИ Управление в условиях риска и неопределенности

ЗАДАЧИ Управление в условиях риска и неопределенности

ЗАДАЧА 1. Расчет сложного риска На производстве имеются следующие риски: 1. Поломка оборудования вероятность В 1 = 25%, ущерб У 1 = 20; 2. Заболевание работников вероятность В 2 = 20%, ущерб У 2 = 15. 3. Выпуск бракованной продукции По причине заболевания вероятность В 3 = 5%, По другим причинам В 4 = 10% ущерб У 3 = 90. Совместное влияние этих рисков является сложным (интегральным) риском, степень влияния (ожидаемый ущерб) которого необходимо оценить.

Пояснения Расчет сложного риска Степень влияния независимых рисков складывается Ринт = В 1 У 1 + В 2 У 2 Степень влияния зависимых рисков вычисляется как произведение ущерба на условную вероятность риска Ринт = В 1 В 2(В 1)У 1 (зависимые риски) Где В 1 – вероятность наступления первого риска, а В 2(В 1) – вероятность наступления второго риска при условии, что первый реализовался Если в ряде (n %) случаев возникновение одного риска (риск А), вероятность которого k, зависит от другого риска (риск В), то можно рассматривать 3 независимых риска: Риск А, возникающий независимо от В с вероятностью k(1 -n)/100 Риск В Риск А, зависимый от В – с вероятностью nk (где n и k – проценты выраженные в долях от 1).

Решение № 1 2 3 4 Риск Поломка оборудования Заболеваемость Брак из-за заболеваемости Вероятность 0, 25 0, 2 0, 1 (1 - 0, 2) 0, 05 0, 2 Расчет сложного риска Ринт = В 1 У 1 + В 2 У 2 + В 3(1 -0, 2)У 3 + В 4 В 4(Вз)У 4 = = 0, 25 20 + 0, 2 15 + (0, 2 0, 05 + 0, 8 0, 1) 90 = =5 + 3 + (0, 01 + 0, 08) 90 = 16, 1. Ущерб 20 15 90

Задача 1. 1. Пример расчета сложного временного риска Начало ПРОЕКТ Конец Работа 1 – 5 дней Срыв сроков на Работа 2 – 8 дней Р 2 Работа 3 – 3 дня Р 3 н де 1 й ь 5 е дн ВЕХИ 1 день 5 дней 12 дней 10 50 150 Р 1 0, 6 0, 3 0, 1 Р 2 0, 6 0, 2 Р 3 0, 9 0, 1 0 Вероятн. закончить Штраф Р 1 12 е дн й Вероятность сорвать работы 1, 2 и 3 – различна. Самый большой риск срыва у работы 2, поскольку она завершается одновременно с проектом. Поэтому с вероятностью 0, 2 она завершится с опозданием всего 1 день, с вероятностью 0, 6 – в период со 2 -го по 5 -й день задержки и с вероятностью 0, 2 – в последующие 7 дней, т. е. работа задержится не более чем на 12 дней с вероятностью 1. В то же время работа 3 однозначно задержится не более чем на 5 дней и с большой вероятностью не более, чем на 1 день.

Задача 1. 1. Пример расчета сложного временного риска (в ПРОСТОМ случае) Начало ПРОЕКТ Конец Работа 1 – 5 дней Срыв сроков на Работа 2 – 8 дней Р 2 Работа 3 – 3 дня Р 3 н де 1 й ь 5 е дн ВЕХИ 1 день 5 дней 12 дней 10 50 150 Р 1 0, 6 0, 3 0, 1 Р 2 0, 6 0, 2 Р 3 0, 9 0, 1 0 Вероятн. закончить Штраф Р 1 12 е дн й Риск срыва всего проекта складывается из независимых (в данном случае) рисков срыва его работ, каждый из которых состоит из независимых рисков задержки выполнения работы до 1 -й, 2 -й или 3 -й вехи. Срыв сроков КАЖДОЙ работы штрафуется.

Задача 1. 1. Решение Начало ПРОЕКТ Р 1 Конец Работа 1 – 5 дней Срыв сроков на Работа 2 – 8 дней Р 2 Работа 3 – 3 дня Р 3 н де 1 й ь 5 е дн ВЕХИ 1 день 5 дней 12 дней 10 50 Р 1 0, 6 0, 3 0, 1 Р 2 0, 6 0, 2 Р 3 0, 9 0, 1 0 12 е дн Р 2 = 0, 2 10 + 0, 6 50 + + 0, 2 150 = = 2 + 30 = 62 й Р 3 = 0, 9 10 + 0, 1 50 + + 0 150 = = 9 + 5 + 0 = 14 150 Штраф Вероятн. закончить Р 1 = 0, 6 10 + 0, 3 50 + + 0, 1 150 = = 6 + 15 = 36 Ожидаемый ущерб риска Ринт = Р 1 + Р 2 + Р 3 = 112

ЗАДАЧА 2. Стратегия снижения риска Вероятность и ущерб простого риска оценивается в качественных шкалах: 1 – низк. , 2 – средн. , 3 – высок. , 4 – критич. Степень влияния (в той же шкале) определяется матричной сверткой: В 4 3 2 1 У 3 2 2 1 3 3 2 1 4 3 3 2 4 4 3 2 1 2 3 4 Затраты на переход на 1 -2 уровень или поддержание 3 или 4 уровня по вероятности или ущербу. Уровень 1 2 3 4 Вероятность 50 15 8 3 Ущерб 70 20 12 5 Существующее состояние (подчеркнутая в матрице цифра) соответствует высокому уровню риска (3) и по вероятности, и по ущербу. Определите стратегию снижения степени влияния до уровня 2 (средний уровень) с минимальными затратами. Больше или меньше чем вдвое возрастут траты?

Пояснения Требуемому уровню соответствуют 5 вариантов, выделенные в матрице: В 4 3 2 1 У 3 2 2 1 3 3 2 1 4 3 3 2 4 4 3 2 1 2 3 4 Необходимо найти значения вероятности и ущерба для каждого из этих вариантов, подсчитать суммарные затраты, выбрать минимальные и сравнить с затратами на поддержание текущего состояния.

Решение Будем обозначать варианты следующим образом: (В, У). Т. е. требуемому уровню интегрального риска соответствуют варианты (3, 1), (2, 2), (1, 3) и (1, 4). Найдем затраты (обозначим З(В, У)) для каждого из них: З(3, 1) = 8 + 70 = 78; З(2, 1) = 15 + 70 = 85; З(2, 2) = 15 + 20 = 35 - оптимальный вариант; З(1, 3) = 50 + 12 = 62; З(1, 4) = 50 + 5 = 55; При условии, что текущее состояние «стоит» 20 единиц ресурса, а переход к среднему риску обойдется на 15 единиц ресурса дороже, траты возрастут меньше чем вдвое.

ЗАДАЧА 3. Оптимизация набора мероприятий для снижения риска Степень влияния измеряется в качественной шкале: Низкий риск 30 Средний риск 70 Высокий риск Существующий ожидаемый ущерб – 80 (высокий риск). МЕРОПРИЯТИЯ ПО СНИЖЕНИЮ РИСКА Мероприятие Затраты Снижение ожидаемого ущерба 1 30 40 20 3 10 20 4 35 30 Определить программу снижения риска, обеспечивающую низкий уровень риска ( 30) с минимальными затратами. Какой будет ожидаемый уровень ущерба?

Пояснения Для того, чтобы изменить уровень риска с высокого (80) на низкий ( 30), необходимо снизить уровень ущерба не менее чем на 80 – 30 = 50 Применим метод динамического программирования Беллмана: Ø Строим систему координат, где на оси X отмечаем мероприятия, а на оси Y – уровень снижения ущерба. Ø Для 1 -го мероприятия от точки « 0» проводим 2 стрелки – горизонтальную (мероприятие не попало в программу) и наклонную (подъем по оси Y равен снижению ущерба). Ø На стрелках помечаем затраты – на горизонтальной 0, на наклонной – из таблицы для соответствующего мероприятия. В получившихся вершинах помечаем суммарные затраты в квадратных скобках. Ø Из каждой получившейся вершины проводим по 2 стрелки для следующего мероприятия (горизонтальную и наклонную). Ø Помечаем их таким же образом. Если в вершину пришли 2 стрелки, выбираем минимальные затраты. Ø После внесения пометок для последнего мероприятия получаем минимальные затраты для всех возможных вариантов снижения уровня ущерба.

МЕТОД ОБРАТНОГО ХОДА Решение для мероприятий 1 -3 и пояснение метода обратного хода Рассмотрим вершину, обведенную красным кружком и выясним, какой набор мероприятий ей соответствует. 1. Суммарные затраты в вершине– 30. 2. В вершину приходят 2 стрелки – горизонтальная и наклонная. Но наклонная идет из вершины с затратами 40 и сама требует затрат 10. Т. е. затраты на это набор больше 30 (50 единиц). 3. Горизонтальная стрелка (с затратами 0) идет из вершины с затратами 30. Этот вариант подходит. Выбираем его. 4. В остальные вершины на пути заходит только по одной стрелке, т. е. путь определяется однозначно. 5. ИТОГ: снижение ущерба 40 с минимальными затратами 30 обеспечивает проведение только мероприятия 3. Снижение ущерба [80] 10 [40] [70] 10 40 50 [30] 10 [0] 1 Находим вершины, из которых можно попасть в текущую и которые обеспечивают допустимые значения. 10 40 0 [10] [40] 30 Алгоритм [0] 2 3 4 Мероприятия

Решение Снижение ущерба [115] 35 [80] 10 [40] [70] 60 10 40 50 35 [30] 35 35 10 [0] 35 10 40 0 [10] [40] 30 [0] [75] [80] [65] [40] [45] [30] [35] [10] [0] Мероприятия 1 3 4 2 программа будет включать мероприятия 1 и 3, что приведет к снижению ущерба на 60, т. е. до уровня 20.

ЗАДАЧА 4. Управление рисками портфелей проектов Один из способов снижения риска портфеля проектов ― это ограничение на финансирование высокорисковых проектов. Поставим задачу: Найти такие, что эффект - Целевая функция - Ограничение на финансирование портфеля проектов - Ограничение на финансирование высокорисковых проектов ОБОЗНАЧЕНИЯ: n -число проектов – претендентов на включение в портфель; Q – множество высокорисковых проектов; ai – эффект от проекта i; ci – затраты на проект i; хi – равен 1, если проект i включен в портфель и 0 в противном случае; R – инвестиционный фонд; Rв – фонд для финансирования высокорисковых проектов.

Пояснения Для решения задачи применим метод дихотомического программирования. Он основывается на возможности разбиения одной задачи на две – более простые. Разобьем нашу задачу на 2 – для высокорисковых проектов и проектов с низкой или средней степенью риска. Сначала решается задача для высокорисковых проектов ВРП. . . Потом для всех остальных А потом на основе этих двух решений получается оптимальное решение исходной задачи. 1 2 П. . . Множество Q q q+1 . . . n

Пример Имеются 4 проекта: Множество Q (высокорисковые проекты) i 1 2 3 4 ai 12 13 9 11 ci 3 4 6 8 R = 13; Rв = 6 Доминируемым называется вариант, для которого есть доминирую-щий, т. е. вариант, «лучший» (не худший) по всем параметрам. В нашем случае – вариант с меньшими затратами и большим эффектом. Например, если не учитывать «рисковость» проектов, проект 3(9; 6) доминируется проектом 2(13; 4), который при меньших затратах обеспечивает больший эффект. 1 шаг. Берем высокорисковые проекты (1 и 2) и рассматриваем все возможные комбинации по затратам и эффекту (4 варианта – в портфель не попадает ни одного проекта, только 1 -й, только 2 -й, или оба). Фиксируем значения затрат и эффекта для каждого варианта, исключая комбинации, затраты на которые превышают отпущенное финансирование и доминируемые варианты. 2 шаг. Берем «обычные» проекты (3 и 4) и рассматриваем их аналогичным образом. 3 шаг. Находим все комбинации вариантов из шагов 1 и 2 (кроме недопустимых и доминируемых), и выбираем из них комбинацию с максимальным эффектом. 4 шаг. Методом обратного хода определяем набор проектов в портфеле.

2 шаг. Рассмотрение «обычных» проектов (3 и 4) Решение Имеются 4 проекта: Множество Q i 1 2 3 ai 12 13 9 11 ci 3 4 6 8 1 13; 4 0 0 1 1 № 0 1 2 Вариант 0 12; 3 13; 4 0 9; 6 0 1 3 0 1 2 0 9; 6 11; 8 3 шаг. Нахождение оптимального портфеля проектов Объединяем проекты I и II 2 23; 11 24; 12 9; 6 21; 9 22; 10 0 II 11; 8 1 12; 3 2 0 Вариант 25; 7 0 Объединенный проект I 20; 14 № Rв = 6 1 шаг. Рассмотрение высокорисковых проектов (1 и 2) 11; 8 4 4 R = 13; 1 Объединенный проект II 0 12; 3 13; 4 0 1 2 I 4 шаг. Методом обратного хода определяем набор проектов в портфеле: 2 и 4.