Задачи с параметрами Некоторые методы решения задач

Задачи с параметрами

Некоторые методы решения задач с параметрами n n n n n 1. Аналитический метод. 2. Функциональный метод. 3. Графический метод. 4. Метод замены. 5. Метод изменения ролей переменных. 6. Метод перехода от общего к частному. 7. Метод свободных ассоциаций. 8. Метод «обратного хода» . 9. Комбинированные методы.

1. Аналитический метод Является не только самостоятельным методом решения задач, но и обязательной составной частью всех остальных методов. Основной частью аналитического метода решения задач является метод эквивалентных или равносильных преобразований. Предлагаемый подход к решению уравнений и неравенств с параметрами, их систем или совокупностей основан на замене одного математического высказывания другим равносильным математическим высказыванием.

При этом исходное условие рядом равносильных преобразований или преобразований-следствий приводится к совокупности простейших логических утверждений, истинность ли ложность которых считается установленной. n n В аналитическом методе решения задач чаще всего используется прием дробления — разделение условия задачи на совокупность более простых условий. Так, условие задачи, содержащее выражения, стоящее под знаками модуля, обычно разделяют на совокупность более простых условий, не содержащих модуль.

Функциональный метод решения задач с параметрами n n n Свойства функций, наиболее часто используемые при решении задач: 1. кусочная монотонность большинства алгебраических и элементарных трансцендентных функций; 2. свойства четности и нечетности, периодичность функции; 3. свойства ограниченности области определения или области значения функции; 4. при неявном задания функции используются свойства симметрии графика соответствия относительно осей координат или начала координат и т. д. ;

• 5. наиболее часто при решении задач этим методом применяются методы математического анализа: использование непрерывности, дифференцируемости, монотонности, устанавливаемой с помощью тех же методов.

Графический метод решения задач с параметрами n n Любая задача с параметрами есть задача как минимум с двумя переменными — аргументом и параметром. Следовательно, решение задачи — упорядоченный набор их значений, может рассматриваться как координаты точки некоторого евклидова пространства. Координатно-графический метод представляет искомые решения в виде геометрического места точек на координатной плоскости, где в качестве одной из координат выступает параметр, а в качестве другой — искомая переменная.

Решение задачи в этом случае рассматривается как значение координаты, соответствующей искомой переменной, принадлежащей линии или области, задаваемой условием.

Метод замены n n Метод замены заключается в формулировке исходного условия задачи в терминах новых переменных, существенно упрощающих процесс решения. Чаще всего метод замены используется при решении тригонометрических уравнений или неравенств. Он позволяет сводить их к алгебраическим уравнениям и неравенствам, анализ которых проще. Однако существуют алгебраические задачи, решение которых становится более простым после получения их тригонометрического эквивалента.

Метод изменения ролей переменных n n Достаточно часто бывает необходимым поменять роли искомой переменной и одного из параметров, чтобы получить возможность проведения анализа представленного условия. Достаточно часто бывает, что степень искомой переменной гораздо выше, чем степень входящего в условие параметра. Изменение ролей в этом случае приводит к реальному упрощению процесса решения.

Метод перехода от общего к частному n Если какое-либо утверждение в условии задачи справедливо при всех значениях переменной или при всех значениях параметров, то для успешного продвижения в решении бывает достаточно найти «удобное» значение этой переменной или параметра, для которого искомое решение задачи будет являться следствием.

Метод свободных ассоциаций n n Метод свободных ассоциаций основан на представлении условия задачи в терминах других областей математики, существенно упрощающих условие, дающих адекватное понимание. В процессе зарождения ассоциаций устанавливаются неординарные взаимосвязи между компонентами решаемой проблемы и элементами внешнего мира. В результате процесса зарождения новых ассоциативных связей и возникают творческие идеи решения проблемы.

Часто используют прием аналогии — поиск аналога и использование всех процедур решения по аналогии, использование результатов аналогичных задач как некоторой базы для решения данной задачи.

Метод обратного хода n Недостаток условий, выражающийся в том, что уравнений или неравенств меньше количества неизвестных, иногда можно преодолеть, предположив, что какая-либо часть решения, чаще всего искомое значение параметра, найдена.

Комбинированные методы n Комбинированные методы основаны, как правило, на особых свойствах той или иной функции и присущи решению только данной конкретной задачи.

Определение. n Решить уравнение или неравенство с параметрами – это значит определить , при каких допустимых значениях параметров уравнение или неравенство: 1) имеет решение, 2) не имеет решения, 3) установить количество решений, 4) найти вид каждого решения при соответствующих ему значениях параметров.

Решить уравнение ах = 3 при всех значениях параметра а. n Схема анализа решения линейного уравнения: 1. Уравнение имеет смысл при любых значениях параметра. 2. Если а 0, то уравнение имеет единственное решение х = 3/a. 3. Если а=0, то равенство 0∙х=3 невозможно ни при каких значениях переменной х, следовательно, уравнение решений не имеет. Ответ: При а 0 решением является число 3/а. При а=0 уравнение решений не имеет.

Решить уравнение ах – а 2=4 -2 х. n n n Выполним равносильные преобразования, получим ах – а 2=4 -2 х ах+2 х=4 -а 2 (а+2)х=4 -а 2. 1. Если а+2 0, а -2, то х=2 -а. 2. Если а=-2, то уравнение обращается в равенство 0∙ х=0, где х- любое действительное число. Ответ: Если а -2, то х=2 -а. Если а=0, то решение – любое действительное число. ,

При каких значениях параметра а уравнение х2 + ах + 1 =0 имеет единственное решение? Уравнение имеет единственное решение, если дискриминант равен 0. n Следовательно, искомое значение параметра а задается уравнением а 2 -4=0, т. е. а = ± 2. Ответ: -2, 2. n

ПРИМЕР: Найти все значения а, при каждом из которых неравенство будет верным при всех значениях х.

n n х2 -х+1 >0 при любых значениях х. Следовательно, 2 -ах-х2 3 х2 -3 х+3 4 х2+ (а-3)х+1≥ 0. Так как старший коэффициент положителен, то этот трехчлен будет принимать неотрицательные значения тогда и только тогда, когда D 0. n D = (а-3)2 -16 = (а-7)(а+1). n (а-7)(а+1) 0 -1 а 7. n Ответ. [-1; 7].

n х1= , х2= , где х1< x 2. n Ответ. n При а ≥ 1 уравнение имеет корень х2= n При а<0 корней нет.

Решение иррационального уравнения §

Решить неравенство если а 0. n Построим эскизы графиков функций и у=а-х, где а<0 (при а=0 неравенство имеет единственное решение х=0). n Точка пересечения графиков имеет абсциссу – корень уравнения 2 ах-х2=(а-х)2 такой, что 2 a

Пример 1: Решить аналитически

Пример 1:

Пример 1:

Пример 1:

Пример 1:

Пример 1: Графическое решение иррационального уравнения

Пример 1:

Пример 1:

Пример 1:

Пример 1:

Пример 1:

Пример 1:

Пример 1: Графическое решение

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет единственный корень

Решение Запишем уравнение в виде y Рассмотрим две функции М C A -3 B 0 1 4 Графиком функции Является полуокружность радиуса 2 с центром в точке (-1; 0), лежащая в верхней полуплоскости. При каждом значении а графиком функции g(x) является прямая с угловым коэффициентом –a, проходящая через точку М(4; 2). x

Уравнение имеет единственный корень, если графики функции f(x) и g(x) имеют единственную общую точку: либо прямая касается полуокружность, либо пересекает её в единственной точке. Касательная МС, проведённая из точки М к полуокружности, имеет угловой коэффициент, равный нулю, то есть при а = 0 исходное уравнение имеет единственный корень. При -а < 0 прямая не имеет общих точек с полуокружностью Прямая МА, заданная уравнением проходит через точки М(4; 2) и А(-3; 0), следовательно её угловой коэффициент

при прямая, заданная уравнением имеет две общие точки с полуокружностью. Прямая МВ, заданная уравнением Проходит через точки М(4; 2) и В(1; 0), следовательно, её угловой коэффициент При прямая, заданная уравнением имеет угловой коэффициент больше чем у прямой МА, и не больше чем у прямой МВ, и пересекает полуокружность в единственной точке.

Получаем, что при исходное уравнение имеет единственный корень. При Ответ: прямая не имеет общих точек с полуокружностью.

Решение уравнения с модулем §

3

3

По графику было видно, что есть два случая 1 решением: 1. Окружность с параметром касается ближней части правой окружности 2. Окружность с параметром касается дальней части левой окружности.

Решение уравнений с параметром координатным методом n Пусть F( x, a)=0 некоторая функция переменной х и числового параметра а. Зададим координатную плоскость х. Оа. Отметим два частных случая. 1) Координата х есть функция параметра а: x= f(a). n На координатной плоскости х. Оа горизонтальная ось Оа соответствует значениям параметра а. Точки (а; х) удовлетворяют уравнению F(x, a)=0 и множество этих точек представляет график функции x= f(a), где роль аргумента играет параметр.

n 2) Параметр а есть функция координаты х: а = (х), неявно заданная уравнением F(x, a)=0. Можно рассматривать плоскость х. Оа с вертикальной параметрической осью Оа. Множество всех точек, значения координаты и параметры каждой из которых удовлетворяют уравнению F(x, a)=0 можно интерпретировать как график функции а = (х), где роль аргумента функции играет координата х. Центральное место в этом методе занимает нахождение множества всех точек плоскости, определяемых уравнением F(x, a)=0.

Задача с параметром. Задание С 5 Найдите все значения параметра , при каждом из которых неравенство имеет единственное решение на отрезке [1; 3].

1. Упростим выражение под знаком модуля:

2. Неравенство равносильно системе:

Запишем наше неравенство в виде равносильной системы:

n n 3. Изобразим на параметрической плоскости решение системы. Начнем с первого неравенства. Смена знаков происходит в точках, в которых числитель и знаменатель дроби равны нулю. Приравняем числитель и знаменатель дроби к нулю:

Нас интересуют области, где левая часть неравенства меньше или равна нулю:

Числитель обращается в ноль в точке параболы, а знаменатель в точках прямой a=x:

Определим знак дроби в левой части неравенства в точке с координатами n Нас интересуют области, в которых выполняется неравенство

Совместим закрашенные области:

множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих системе неравенств представляют из себя такую фигуру:

По условию задачи, нам нужно узнать, при каком значении параметра неравенство имеет единственное решение на отрезке [1; 3] , то есть этой выделенной области:

Если мы будем двигать прямую x , параллельную оси a вдоль оси (ординаты всех точек этой прямой равны определенному значению параметра), то увидим, что эта прямая имеет с нужной нам областью одну точку пересечения при a=3 : Ответ: {3}.

Найти все значения параметра а, при которых неравенство (х-3 а)(х-а-3)<0 выполняется при всех х таких, что 1 х 3. n На плоскости множество точек (х; а), удовлетворяющих исходному неравенству, состоит из областей , ограниченных прямыми х=3 а и х= а+3.

Искомыми будут значения параметра 0

ЕГЭ Демонстрационный Вариант Часть С 2014 год

Задание С 5 Найдите все значения а, при каждом из которых наименьшее значение функции больше 1.

Решение При а её график состоит из двух частей параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии при а её график есть часть параболы с ветвями, направленными вниз.

Все четыре возможных вида графика функции f(x) показаны на рисунках 1 7 x x

Наименьшее значение функция f(x) может принять только в точках x=1, x=7 или x=4 -a. Поэтому наименьшее значение функции f(x) больше 1 тогда и только тогда, когда

Если то откуда Этот промежуток содержит интервал Если то откуда Значит, Объединяя найденные промежутки, получаем: Ответ: Ответ

ЕГЭ Задания С 5

Решение тригонометрических уравнений §

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы один корень

Решение Запишем исходное уравнение в виде Пусть t = cos x, тогда исходное уравнение имеет хотя бы один корень, если уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку [-1; 1]

Изображение: при а=0 (тёмный цвет) при остальных значениях параметра красный цвет

Графиком функции y является парабола, ветви которой направлены вверх, -1 0 y 1 x 0 -1 следовательно, уравнение -4 -4 Рис. 1 Рис. 2 имеет хотя бы один корень, принадлежащий отрезку [-1; 1], либо при условии (Рис. 1), откуда 1 x

либо при условии (рис. 2), откуда Ответ: (-∞; -6]; [0; +∞)

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет единственный корень

Решение Если x 0 является корнем исходного уравнения, то и – x является его корнем. Значит, исходное уравнение имеет единственный корень, только если x 0 = - x 0 , то есть x 0 = 0. Подставим значение x = 0 в исходное уравнение: 0 откуда либо или При исходное уравнение принимает вид:

Корнями этого уравнения являются числа -2; 0 и 2, то есть исходное уравнение имеет более одного корня. При и при уравнение принимает вид: При это уравнение сводится к уравнению которое не имеет корней. При получаем уравнение которое имеет единственный корень.

При получаем уравнение которое не имеет корней. При и при исходное уравнение имеет единственный корень. Ответ: -9; -5.

Задание С 5 Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет на промежутке единственный корень.

Решение Рассмотрим два случая. Первый случай: Исходное уравнение примет вид Последнее уравнение имеет на промежутке единственный корень при -1 ≤ -2 а < 0, откуда Подставив cos x = -2 a в неравенство Получим:

Откуда В этом случае уравнение cos x = -2 a при условии имеет на промежутке единственный корень x = arccos (-2 a) при и не имеет на промежутке корней при а ≤ 0 и при

Второй случай: Исходное уравнение имеет вид Последнее уравнение имеет на промежутке единственный корень Подставив в неравенство получим:

откуда В этом случае уравнение при условии имеет на промежутке единственный корень и не имеет на промежутке при корней при

Уравнение на промежутке - при а ≤ 0 имеет единственный корень - при имеет два различных корня - при имеет единственный корень - при не имеет корней. Ответ:

Решение логарифмического уравнения §

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку [-1, 1)

Решение Уравнение равносильно системе Эта система имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку [-1; 1), если уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий либо промежутку [-1; 0), либо промежутку (0; 1).

Изображение: при а=0 (тёмный цвет) при остальных значениях параметра красный цвет

y Поскольку графиком функции является парабола, ветки которой направлены вверх, а вершина находится в точке -1 0 1 x Рис. 1 уравнение f(x) = 0 имеет хотя бы один корень принадлежащий промежутку (0; 1) при условии откуда (рис. 1)

y Уравнение f(x) = 0 имеет хотя бы один корень, принадлежащий -1 промежутку [-1; 0), при условии откуда (рис. 2) 0 Рис. 2 Уравнение имеет хотя бы один корень, принадлежащий промежутку [-1; 1), при и при Ответ: 1 x

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы один корень

Решение Рассмотрим две функции: Поскольку получаем Функция является кусочно-линейной, причём при x < 0 угловой коэффициент равен либо 4, либо 12, а при x > 0 угловой коэффициент равен либо -4, либо -12. Значит функция g(x) возрастает при x < 0 и убывает при x > 0, поэтому g(x) ≤ g(0) = 20|a|.

Исходное уравнение имеет хотя бы один корень тог и только тогда, когда f(0) ≤ g(0): Значит, либо откуда либо откуда а = -5.

Исходное уравнение имеет хотя бы один корень при а = -5 и при и не имеет корней при других значениях а Ответ:

Решение показательного уравнения §

Пример. Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение имеет единственный корень.

Решение. Пусть Единственный корень : Ответ:

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет ровно два различных корня

Решение Пусть Если тогда Обозначим Исходное уравнение имеет ровно два корня тогда и только тогда, когда уравнение имеет единственный корень, больше 1, или уравнение имеет два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1.

Уравнение имеет ровно один корень, если дискриминант равен нулю: или При уравнение имеет единственный корень t = 1. В этом случае исходное уравнение имеет единственный корень x = 0.

При уравнение имеет единственный корень t = 3, 4. В этом случае исходное уравнение имеет два корня Графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Для того чтобы уравнение имело два корня, один из которых больше 1, а другой меньше 1, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось неравенство

Ответ: -170; (-2; 5).

ЕГЭ Часть С

Задание С 5 Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет на промежутке единственный корень.

Решение Рассмотрим два случая. Первый случай: Исходное уравнение примет вид Последнее уравнение имеет на промежутке единственный корень при -1 ≤ -2 а < 0, откуда Подставив cos x = -2 a в неравенство Получим:

Откуда В этом случае уравнение cos x = -2 a при условии имеет на промежутке единственный корень x = arccos (-2 a) при и не имеет на промежутке корней при а ≤ 0 и при

Второй случай: Исходное уравнение имеет вид Последнее уравнение имеет на промежутке единственный корень Подставив в неравенство получим:

откуда В этом случае уравнение при условии имеет на промежутке единственный корень и не имеет на промежутке при корней при

Уравнение на промежутке - при а ≤ 0 имеет единственный корень - при имеет два различных корня - при имеет единственный корень - при не имеет корней. Ответ:

Задание С 5 Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение имеет хотя бы один корень

Решение Рассмотрим две функции: Поскольку получаем Функция является кусочно-линейной, причём при x < 0 угловой коэффициент равен либо 4, либо 12, а при x > 0 угловой коэффициент равен либо -4, либо -12. Значит функция g(x) возрастает при x < 0 и убывает при x > 0, поэтому g(x) ≤ g(0) = 20|a|.

Исходное уравнение имеет хотя бы один корень тог и только тогда, когда f(0) ≤ g(0): Значит, либо откуда либо откуда а = -5.

Исходное уравнение имеет хотя бы один корень при а = -5 и при и не имеет корней при других значениях а Ответ:

Программа Geogebra в задачах с параметрами

Найдите все значения параметра а, при которых графики функций имеют две общие точки

Ответ: (-∞; 6).

Найдите все значения параметра а, при которых графики функций имеют две общие точки

Ответ: (-∞; 5).

Найдите все значения параметра а≠ 0, при которых графики функций имеют одну общую точку

y=c

Ответ:

Найдите все значения параметра а, при которых графики функций имеют одну общую точку

Ответ: [-2; 0).

Найдите все значения параметра а, при которых графики функций имеют одну общую точку

Ответ: [-3; -1).

Найдите все значения параметра а≠ 0, при которых графики функций имеют только две общие точки

Ответ: (-2; 0).

Найдите все значения параметра а, при которых графики функций имеют одну общую точку

Ответ: [-6; -4).

Найдите все значения параметра а, при которых графики функций имеют одну общую точку

Ответ: [2; 4).

Найдите все значения параметра а≠ 0, при которых графики функций имеют только две общие точки

Ответ: (0; 3).

Найдите все значения параметра а, при которых графики функций имеют одну общую точку

Ответ: [3; 5).

Решить неравенство

n n Допустимые значения параметра m 0. Данное неравенство равносильно неравенствам

1) Если m=1/2, неравенство примет вид: 0∙х>2/3. Его решением не может служить ни одно значение х. 2) Если 3) Если то , т. е. 0 < m <1/2, получим, что равносильно m<0 или m>0, 5

Ответ: При m=1/2 решений нет. При 0< m <1/2 При m < 0 и m > 1/2

Найти значение параметра а, при которых система уравнений имеет единственное решение.

Искомые значение параметра задаются неравенством 6 а 2 -1 0. Следовательно, Ответ: При любом а

Решить уравнение x 2 -4 abx – (a 2 + b 2)2=0 1) Здесь D/4 = 4 a 2 b 2 - (a 2 + b 2)2= - a 4+2 a 2 b 2 b 4=-(a 2 -b 2)2. n 2) Если а 2 b 2, то D < 0, и уравнение решения не имеет. n 3) Если а 2=b 2, т. е. а = ± b, то уравнение имеет решение , но при этом D = 0, и поэтому единственное значение переменной х, удовлетворяющее уравнению, определяется по формулу х = 2 ab. Ответ: 1) Если а 2 b 2, то уравнение не имеет корней. 2) Если а 2=b 2 , то единственный корень х = 2 ab. n

Найти все значения параметра, при каждом из которых уравнение х2+(3 -2 а)х -3 а+2 имеет различные корни, среди которых нет ни одного положительного. n n По условию, если х1, х2 –корни уравнения, то x 1

получим Ответ:

Решить уравнение (самостоятельно) При х≥ 0, а ≥ 1 исходное уравнение равносильно следующему: n и т. д. самостоятельно

Решить неравенство При а 0 неравенство не имеет решений. При а>0 исходное неравенство равносильно системе Откуда имеем а х < a 2+a.

Ответ: при а 0 решений нет; при а>0 x [a; a²+a).

Решить уравнение 9 x+9 a(1 -a) 3 x-2 – a 3=0 n Пусть 3 х=t, тогда t 2+a(1 -a)t-a 3=0, откуда n Если а=0, то корней нет. n Если а 0, то t 1=a 2, t 2=-a, 3 x=a 2, 3 x=-a. Если а>0, то x=log 3 a 2 (3 x=-a при а>0 не имеет корней). Если а=-1, то t=1, т. е. 3 х=1 и х=0.

Пусть а<0 и a -1, тогда t 1=a 2, t 2=-a и x 1 =log 3 a 2 , х2=log 3(-a). Ответ. При а=0 корней нет. При а>0 x=log 3 a 2 ; При а<0 и a -1 x 1 =log 3 a 2, х2=log 3(-a); При а=-1 х=0.

Найти все значения а, при которых уравнение имеет ровно один корень. n Исходное уравнение равносильно каждой из следующих систем: Квадратное уравнение системы х2+(2 -а)х+1=0 имеет единственный корень, если : n 1) D=0, откуда а=0 и а=4, но системе удовлетворяет а=4; n 2) D>0 при a<0, a>4, и только один из корней удовлетворяет системе; это верно при a<0. Ответ. При а=4 и а<0 n

Найти все значения а, при которых имеет решение уравнение a sinx+(1+a) cosx= √ 5 n Применим метод вспомогательного угла. n Обозначим n Разделим обе части на b 0, получим или Уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда Ответ. При а -2 , а ≥ 1.

Найти все значения а, при которых имеет корни уравнение sin 6 x + cos 6 x = a. n Преобразуем левую часть исходного уравнения, получим Ответ: ¼ a 1.

Решить уравнение (а 2 -1)х = 2 а 2+а-3 относительно х Данное уравнение – линейное относительно х. Следовательно оно равносильно уравнению (а-1)(а+1)х = (а-1)(2 а+3), их можно выразить так: при условии, что а 1, а -1.

Если а=-1, то уравнение корней не имеет. Если а = 1, то корнем уравнения может быть любое действительное число. На плоскости х. Оа множество точек, значения координаты и параметра которых удовлетворяют исходному уравнению, состоит из гиперболы или

Ответ. При а<-1 , при а=-1 нет корней; при -11

Найти все значения параметра а, при которых уравнение х2 -х-а=0 имеет хотя бы одно решение, удовлетворяющее неравенству х>1/2. n n Построим параболу а=х2 х, координаты каждой точки удовлетворяют исходному уравнению. Эта парабола пересекает оси в точках х=0, а=0 и х=1, а=0. Координаты вершины параболы х =1/2, a=-1/4. Неравенству х>1/2 удовлетворяют все точки полуплоскости без границы х =1/2.

Значения а, при которых все точки параболы находятся в данной полуплоскости, являются искомыми. Ответ: a >-1/4.

Спасибо за внимание!