Задачи приводящие к понятию производной N Арифметика

Задачи приводящие к понятию производной

N Арифметика Линейная Z алгебра С- комплексное число а- вектор (А)- матрица N Числа Q N Мат. анализ Интеграл X Производная

Производная Инфоматематика Задачи приводящие к производной Смысл производной 1) Задача о касательной Геометрич еский K=y’=tgα 2) Задача о скорости движени я 3) Задача о производител ь ности труда Меха ни V=ds/ ческий dt=S’ Экономический Z=du/dt=u(tₒ)

Основные правила дифференцирования

Cхема нахождения производной функции 1) ДАДИМ АРГУМЕНТУ Х ПРИРАЩЕНИЕ ∆Х И НАЙДЁМ ЗНАЧЕНИЕ ФУНКЦИИ Y=∆Y=F(X+∆X) 2) НАХОДИМ ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ ∆Y=F(X+∆X)-F(X) 3) СОСТАВЛЯЕМ СООТНОШЕНИЕ ∆Y/∆X 4) НАХОДИМ Y’= LIM ∆Y/∆X ПРИМЕР: Y=X₃=3 X₂ 1) Y+∆Y=(X+∆X)₃ 2) ∆Y=(X+∆)₃-X₃=X₃+3 X₂∆X+3 X∆X₂+∆X₃-X₃=∆X(3 X₂+3 X∆X+∆X₂ 3)∆Y/∆X=3 X₂+3 X∆X+∆X₂ 4) Y′= LIM ∆Y/∆X Y′=LIM(3 X₂+3 X∆X+∆X₂)=3 X₂

Производная степенной функции (xⁿ)′=n*xⁿ⁻ⁱ

Основные правила дифференцирования 1) Производная постоянной величины равна 0: С′=0 (С=const) 2) Производная аргумента равна 1: x′=1 3) Производная алгебрарической суммы(разности) конечного числа дифференцируемых функций равна сумме(разности) производных этих функций: (u+(-) v)′= u′+(-)v′ 4) Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведений производной первого сомножителя на второй и производной второго сомножителя на первый: ( u*v)′=u′*v + u*v′ Cледствие 1 Постоянный множитель можно выносить за знак производной: (С*u)′=C*u′ Cледствие 2 Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные: (u*v*w)′=u′*v*w + v′*u*w + w′*u*v 5) Производная двух дифференцируемых функций находится по формуле (u/v)′= u′*v-v′*u/v₂

Примеры производной на «+» , «-» , «/» , «*» 1) Производная с «+» Найти производную функции y=Sinx+3 и вычислить её значение в точке х=1 Решение: y=Sinx+3 y′=Cosx+3 Находим произведение в точке х=1: y′(1)=Cos 1+3=0+3=3 2) Производная с «-» Найти производную функции y=25* (x⁴-1) и вычислить её значение в точке х=1 Решение: y=25*(x⁴-1) y′=25′ *(x⁴-1)+15 *(x⁴-1)′=25*(4 x₃)=60 x₃ Находим произведение в точке х=1: y′(1)=60*1₃=60 3) Производная с «*» Найти производную функции y=(x₂+3)(x⁶-1) и вычислить её значение в точке х=1 Решение: y=(x₂+3)(x⁶-1) y′=2 x(x⁶-1)+6 x⁵(x₂+3)=2 x⁷-2 x+6 x⁷+18 x⁵=8 x⁷-2 x+18 x⁵ Находим произведение в точке х=1: 8*1⁷-2*1+18*1⁵=8 -2+18=24 4) Производная с «/» Найти производную функции y=x₃/x₂+4 Решение: y=x₃/x₂+4 y′=3 x₂(2 x+4)-x₃(2*1+0)₂/(2 x+4)₂=6 x₃+12 x₂-2 x₃/(2 x+4)₂=4 x₃+12 x₂/(2 x+4)₂=4 x₂(x+3)/(2 x+4)₂