ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ (С 2) 1 СОДЕРЖАНИЕ

ЗАДАЧИ ПО СТЕРЕОМЕТРИИ (С 2) 1

СОДЕРЖАНИЕ 1. Угол между прямыми 2. Угол между прямой и плоскостью 3. Угол между двумя плоскостями 4. Расстояние от точки до прямой 5. Расстояние от точки до плоскости 6. Расстояние между двумя прямыми

Угол между прямыми Задача 1. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми DA 1 и BD 1. D 1 C 1 B 1 А 1 1 C D 1 А B

D 1 C 1 B 1 А 1 1 C D 1 А B Р е ш е н и е. Рассмотрим ортогональную проекцию AD 1 прямой BD 1 на плоскость ADD 1. AD 1 DA 1. По теореме о трех перпендикулярах следует, что DA 1 BD 1, т. е. искомый угол между прямыми DA 1 и BD 1 равен 900. Ответ: 900.

Угол между прямыми Задача 2. В правильной шестиугольной призме A. . . F 1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ 1 и ВС 1. 5

Р е ш е н и е. Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между параллельными им прямыми, проходящими через одну точку. ОС 1||АВ 1. Так как четырехугольник АВ 1 С 1 О является параллелограммом, поэтому искомый угол - это угол ОС 1 В. Из ОС 1 В по теореме косинусов, получаем, что Ответ: 0, 75.

Угол между прямыми Задача 3. В правильной шестиугольной призме A … F 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB 1 и BE 1.

Р е ш е н и е. Так как основание призмы – правильный шестиугольник, то Е 1 А 1┴А 1 В 1. Так как призма прямая, то Е 1 А 1┴ АА 1. Поэтому Е 1 А 1┴ АА 1 В 1 В т. е. А 1 В есть проекция наклонной Е 1 В на плоскость АА 1 В 1 В. Диагонали в квадрате АА 1 В 1 В перпендикулярны между собой. По теореме о трех перпендикулярах наклонная Е 1 В и прямая А 1 В, перпендикулярны между собой, т. е. искомый угол равен 90 о. Ответ: 90°.

Угол между прямой и плоскостью Задача 4. Дана треугольная пирамида АВCD , ∆АВС – прямоугольный , C=90°, АС= 6 , ВС =5, ВD= ВD АВС. Найти угол между прямой DC и плоскостью ABD. D H В А 5 C

Решение. DH - проекция наклонной DC D на плоскость ABD AB = СН = 4. Из ∆BDC, DC=8 ∆DHC – прямоугольный H В А 5 C (DС; АВD) = 30° sin CDH = .

Угол между прямой и плоскостью Задача 5. А 1 C 1 АВСDFKA 1 B 1 C 1 D 1 F 1 K 1 – правильная F 1 K 1 D 1 B призма, АВ = 4, AA 1= АА 1 Т B 1 АВС C А D K и плоскостью BB 1 C 1. F B Найти угол между В 1 F C M А 120° 4 30° K D 4 F 11

B 1 А 1 C 1 B А K B Решение. F 1 K 1 C D 1 B C проекция наклонной B F на 1 1 плоскость BB 1 C DM = 2, CF = D ∆CB 1 C 1 – прямоугольный B 1 C = F ∆ B 1 CF – прямоугольный M А 120° 4 30° K D 4 Ответ: arctg F 12

Угол между прямой и плоскостью В 1 С 1 А 1 D 1 5 В С ? А 2, 5 D Задача 6. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA 1 B 1 C 1 D 1, в основании которого лежит квадрат со стороной 2, 5. Диагональ DB 1 равна 5. Найдите градусную меру угла между диагональю DВ 1 и плоскостью основания АВС.

В 1 С 1 А 1 D 1 5 Решение: В С ? 2, 5 А (В 1 D; АВC) = В 1 DB D ABD: BD = AB 2 + AD 2 = 2 • 2, 52 = 2, 5 2 B 1 DB: B 1 ВD = 90° гипотенуза B 1 D = 5 B 1 D В = 45° (В 1 D; АВC) = 45° Ответ: 45° COS 2, 5 2 BD В 1 DB = = = B 1 D 5 2 2

Угол между прямой и плоскостью Задача 7. АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 - параллелепипед, АВСD – параллелограмм, АА 1 ┴ АВС Найти угол между прямой В 1 D и плоскостью DD 1 C 1. С 1 В 1 Т . H А 1 D 1 С В А D

С 1 В 1 D 1 С В А DH - проекция наклонной B 1 D на плоскость DCC 1 H А 1 D Р е ш е н и е. (В 1 D; DD 1 C 1)= B DH 1 искомый -

Угол между двумя плоскостями Задача 8. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, у которого AB = 6, BC = 6, CC 1 = 4, найдите тангенс угла между плоскостями ACD 1 и A 1 B 1 C 1. D 1 C 1 B 1 А 1 4 C D 6 O А 6 B

AD 1 = D 1 C, ACD 1 – равнобедренный, A 1 B 1 C 1 АBC АВСD –Р е ш е н. DО ⊥AC. квадрат, и е. D 1 C 1 D 1 О⊥ AC B 1 А 1 4 C D 6 D 1 DО – прямоугольный 6 O А D 1 ОD — линейный угол искомого угла. B Ответ:

Угол между двумя плоскостями Задача 9. Дан куб АВСDA 1 B 1 C 1 D 1. Найдите угол между плоскостями АВ 1 С 1 и А 1 В 1 С 19

Р е ш е н и е. D 1 C АB 1 C 1 D, D 1 С C 1 D как диагонали квадрата. По теореме о трех перпендикулярах D 1 С AD D 1 C АВ 1 С 1. AD 1 А 1 В 1 С. AD 1 C - правильный, так как его сторонами являются диагонали граней куба АD 1 C = 60 . Ответ: 60 20

Угол между двумя плоскостями Задача 10. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 известны длины ребер: АА 1= 5, АВ = 12, AD = 8. Найдите тангенс угла между плоскостью ABC и плоскостью, проходящей через точку В перпендикулярно прямой АК, если К — середина ребра C 1 D 1. 5 12 8 21

5 12 8 Решение Угол между плоскостями ABC и AKE равен линейному углу между перпендикулярными им прямыми. КЕ||DD 1, КЕ ABC. АКЕ – искомый. Из прямоугольного АКЕ: КЕ=5. По теореме Пифагора из ADE AE = 10 Для второй плоскости такой прямой является АК. Тогда tg АКЕ = 22

Расстояние от точки до прямой Задача 11. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки С до прямой BD 1. D 1 C 1 B 1 А 1 1 C D М А 1 1 B 23

Р е ш е н и е. D 1 BD 1 A 1 D 1 С C 1 B 1 А 1 СМ BD 1 1 В прямоугольном D 1 CB: C D М А 1 1 D 1 B= , D 1 C= СМ – высота D 1 CB, B СМ = Ответ: 24

Расстояние от точки до плоскости Задача 12. В правильном тетраэдре DABC найдите расстояние от вершины D до плоскости ABC.

Р е ш е н и е. Пусть АВ = 1. Н – ортогональная проекция D. АЕ =

Расстояние от точки до плоскости Задача 13. В правильной 6 -ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите расстояние от точки A до плоскости SCE. 2

Решение. Точка G пересечение AD и CE. Искомое расстояние равно высоте AH SAG SA = 2, SG = , AG = , SO = Откуда AH = Ответ: 2

Расстояние между двумя прямыми B 1 C 1 D 1 A 1 B A D Задача 14. Дан куб АВСDA 1 B 1 C 1 D 1. Пусть АС и DC 1 – скрещивающиеся прямые, принадлежащие смежным C граням АВСD и DD 1 C 1 C соответственно. Найти расстояние между ними. 29

Р е ш е н и е.

Расстояние между двумя прямыми Задача 15. В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и BC 1. О Н

О Р е ш е н и е. О центр описанной окружности. Н ОВ = ОС = ВС = 1 ОН АD, ОН BC. ОН – высота равнобедренного ОВС. ОН - искомое расстояние между параллельными плоскостями ADD 1 и BCC 1. Ответ:

Расстояние между двумя прямыми Задача 16. В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние между прямыми AB 1 и BC 1. 33

Р е ш е н и е. Искомое расстояние равно расстоянию между параллельными плоскостями AB 1 D 1 и BDC 1. Диагональ A 1 C перпендикулярна этим плоскостям и делится в точках пересечения на три равные части. Следовательно, искомое Ответ: расстояние равно длине 34