Задачи по планиметрии № 16 Презентацию составила: учитель МКОУ СШ № 2 г. Котельниково Куницына А. В.
Задача № 1 На катетах АС и ВС прямоугольного треугольника АВС вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка М – середина гипотенузы АВ, Н – точка пересечения прямых СМ и DK. а) Докажите, что CM⊥DK. б) Найдите МН, если известно, что катеты треугольника АВС равны 6 и 8.
E A D C H K а) ∆АСМ-р/б ⇨∠САМ=∠АСМ M ∠АСМ=∠НСК(верт) △АСВ=△DCK(по 2 катетам)⇨∠АВC=∠DKC △ACB∾△CHK(1 пр) ⇨ B ∠СНК=∠АСВ=900 Т. к ∠СНК=900 , то F СМ⊥DK
E A б) МН=СМ+СН СМ=½АВ=5 M D C H K СН= B F МН=9, 8
2 способ у Е А M D С В K F х
Задача № 2 В остроугольном треугольнике АВС проведены высоты АК и СМ. На них из точек М и К опущены перпендикуляры МЕ и КН соответственно. а) Докажите, что ЕН и АС параллельны. б) Найдите отношение ЕН: АС, если ∠АВС=300.
C а)△КОН∾△МОЕ(1 пр)⇨ △КОС∾△МОА(1 пр)⇨ K B H O E M △НОЕ∾△СОА(2 пр)⇨ ∠ОСА=∠ОНЕ A ∠ОСА и ∠ОНЕ- соответ. , то НЕ‖АС
б)Т. к. △НОЕ∾△СОА, то C ∠СКН=∠САВ=30 СК=х, тогда СН=½х ∠КОС=30 ⇨СО=2 х ОН=2 х-½х=1, 5 х K B H O E M A
Задача № 3 В трапеции ABCD боковая сторона АВ перпендикулярна основанию AD. Из точки А на сторону CD опустили перпендикуляр АН. На стороне АВ отмечена точка Е так, что прямые CD и СЕ перпендикулярны. а) Докажите, что ВН и ED параллельны. б) Найдите отношение ВН: ЕD, если ∠BCD=1350.
K а) △КВС∾△KAD(1 пр)⇨ КВ=a⋅АК, КС=a⋅KD △КEС∾△KAH(1 пр)⇨ B C КЕ=b⋅КА, КС=b⋅КН E H A △КВН∾△КВD(2 пр)⇨ ∠КНВ=∠KDE, соотв. , то D ВН‖ED
K B б) Т. к. ∠BCD=1350, ∠CDА=450 △KAD –р/б, АК=АD, АНвысота ⇨ АН- медиана Н- середина КD⇨ C Т. к. △КВН∾△КЕD, то E H A D
Задача № 4 В трапеции ABCD точка Е – середина основания AD, точка М – середина боковой стороны АВ. Отрезки СЕ и DM пересекаются в точке О. а) Докажите, что площади четырехугольника АМОЕ и треугольника COD равны. б) Найдите какую часть площадь четырехугольника АМОЕ составляет от площади трапеции ABCD, если ВС=3, AD=4.
а) B M AK C O E H D
б) Пусть СН=h MN=3, 5 KN=1 MK=2, 5 △МОК∾△DOE(1 пр)⇨ B M AK C P O EL N K H D
Задача № 5 Один из двух отрезков, соединяющих середины противоположных сторон четырехугольника делит его площадь пополам, а другой в отношении 11: 17. а) Докажите, что четырехугольник – трапеция. б) Найдите отношение оснований трапеции.
а) K B M C H △АМD, MN- медиана ⇨ E F A N D Т. к. ВМ=МС и , то DH=AK Расстояние от точек А и D до прямой ВС равны, то AD‖BC Стороны АВ и СD не параллельны
б) BO=OR=½⋅BR=½h B E A o R C F D