Задачи оптимального управления 1 Экстремумы функций 2 Вариационное

Задачи оптимального управления 1. Экстремумы функций 2. Вариационное исчисление 3. Методы решения задач оптимального управления 4. Оптимальное позиционное управление

Оптимальное управление — это задача проектирования системы, обеспечивающей для заданного объекта управления или процесса закон управления или управляющую последовательность воздействий, обеспечивающих максимум или минимум заданной совокупности критериев качества системы. Для решения задачи оптимального управления строится математическая модель управляемого объекта или процесса, описывающая его поведение с течением времени под влиянием управляющих воздействий и собственного текущего состояния. Включает: формулировку цели управления, выраженную через критерий качества управления; определение дифференциальных или разностных уравнений, описывающих способы движения ОУ; определение ограничений на используемые ресурсы в виде уравнений или неравенств.

Наиболее широко при проектировании систем управления применяются следующие методы: • вариационное исчисление, • принцип максимума Понтрягина, • динамическое программирование Беллмана.

Задачи оптимального управления 1. Экстремумы функций Оптимальное управление - раздел математики, изучающий неклассические вариационные задачи. Критерии оптимальности: минимизация или максимизация (принцип максимума Понтрягина); достижение определённого уровня; приемлемое сочетание пограничных параметров. Например, технологический процесс осуществления химической реакции можно считать управляемым объектом, "рулями" которого являются концентрации ингредиентов, количество катализатора, поддерживаемая температура и др. факторы, влияющие на течение реакции.

Возможности управлять объектом лимитируются не только ресурсами управления, но и тем, что в процессе движения объект не должен попадать в состояния, физически недоступные или недопустимые с точки зрения конкретных условий его эксплуатации. Так, осуществляя манёвр судном, необходимо учитывать не только технической возможности самого судна, но и границу фарватера. Для того чтобы знать, как именно ведёт себя объект при том или ином управлении, необходимо иметь закон движения, описывающий динамические свойства рассматриваемого объекта и устанавливающий для каждого избираемого правила манипулирования "рулями" эволюцию состояния объекта.

Как правило, существует бесконечно много способов управлять объектом так, чтобы реализовать цель управления. В связи с этим возникает задача найти такой способ управления, который позволяет достичь желаемого результата наилучшим, оптимальным образом в смысле определённого критерия качества; в конкретных задачах часто требуется реализовать цель управления за наименьшее возможное время или с минимальным расходом горючего, или с максимальным экономическим эффектом и т. п.

Задачи оптимального управления 2. Вариационное исчисление - математическая дисциплина, посвященная отысканию экстремальных (наибольших и наименьших) значений функционалов — переменных величин, зависящих от выбора одной или нескольких функций. Является естественным развитием главы математического анализа - задача отыскания экстремумов функций.

• На протяжении 2 -й половины 18 в. и всего 19 в. делались интенсивные попытки построить здание механики, опираясь на некоторые общие вариационные принципы. • Со 2 -й половины 19 в. начинают разрабатываться различные вариационные принципы в механике сплошных сред, затем позднее в квантовой механике, электродинамике и т. д. • Со временем появились и новые классы задач, далеко раздвинувших традиционные границы дисциплины и превративших вариационное исчисление в одну из наиболее обширных ветвей современной математики

Задачи оптимального управления 3. Методы решения задач оптимального управления Эйлер создал численный метод решения задач, который получил название метода ломаных. Этот метода ломаных метод был первым среди большого класса, так называемых, прямых методов; все они основаны на редукции задачи отыскания экстремума функционала к задаче отыскания экстремума функции многих переменных. Поскольку для получения решения с высокой точностью задачу приходится сводить к отысканию экстремума функции с большим числом переменных, она становится весьма сложной для ручного счёта. Поэтому долгое время прямые методы были вне основного русла, по которому направлялись усилия математиков

Прямые методы. Вариационное исчисление Прямые методы. как самостоятельная научная дисциплина сформировалась в 18 в. , главным образом благодаря работам Л. Эйлера. Простейшей задачей является отыскание функции x (t), доставляющей экстремум функционалу. Первые вариационные задачи были задачами механики. Они были поставлены в 18 в. и, следуя традициям того времени, первый вопрос, на который надо было ответить, был вопрос о способе фактического отыскания функции x (t), реализующей минимум функционала.

Метод вариаций. Второе направление исследований — Метод вариаций. это изучение необходимых и достаточных условий, которым должна удовлетворять функция x (t), реализующая экстремум функционала J (x). Его возникновение также связано с именем Эйлера. Предположим, что тем или иным способом построена функция x (t). Как проверить, является ли эта функция решением задачи? Условный экстремум. Задача Лагранжа. В Условный экстремум. Задача Лагранжа. конце 18 в. был сформулирован ряд задач на условный экстремум. Этим термином принято называть задачи отыскания функции x (t), доставляющей экстремум функционалу J (x) при каких-либо дополнительных условиях, кроме условий на концах интервала (t 0, T). Простейшей задачей подобного вида является задача отыскания максимального объема ресивера при минимуме площади материала.

Значительно более сложной задачей является та, в которой ограничения носят характер дифференциальных уравнений. Эту задачу называют задачей Лагранжа. Особое значение она приобрела в середине 20 в. в связи с созданием теории оптимального управления. Пусть уравнение описывает движение какого-либо динамического объекта, например космического корабля. Управление u — это вектор тяги его двигателя. Множества e 0 и e. T — это две орбиты разных радиусов. Функционал (7) описывает расход горючего на выполнение маневра. Следовательно, задачу Лагранжа, применительно к данной ситуации, можно сформулировать следующим образом: определить закон изменения тяги двигателя космического аппарата, совершающего переход с орбиты e 0 на орбиту e. T за заданное время так, чтобы расход топлива на этот маневр был минимальным.

1. Основные усилия математиков в 19 в. были направлены на исследование условий, необходимых или достаточных для того, чтобы функция x (t) реализовала экстремум функционала J (x). Уравнение Эйлера было первым из таких условий (устанавливается в теории функций конечного числа переменных). 2. В 20 в. возник целый ряд новых направлений ВИ связанных с интенсивным развитием техники, смежных вопросов математики и вычислительной техники. Одно из основных направлений развития в 20 в. — рассмотрение неклассических задач, приведшее к открытию принципа максимума Л. С. Понтрягина.

1. Принцип максимума сводит задачу Принцип максимума оптимального управления к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений порядка 2 n (n — размерность фазового вектора). 2. Другой подход к тем же проблемам теории оптимального управления. Пусть s (х, t) — значение функционала оптимального решения. Тогда для того чтобы функция была оптимальным управлением, необходимо (а в некоторых случаях и достаточно), чтобы функция s (х, t) удовлетворяла дифференциальному уравнению с частными производными, называемому уравнением Беллмана.

1. Круг вопросов, которыми занимается ВИ, непрерывно расширяется. В частности, всё большее внимание уделяется изучению функционалов J (x) общего вида, задаваемых на множествах Gx элементов из нормированных пространств. 2. Была обнаружена глубокая связь между некоторыми проблемами теории уравнений с частными производными и вариационными задачами. Искомое решение вариационной задачи удовлетворяет некоторому сложному нелинейному уравнению и краевым условиям. Естественно поставить вопрос о том, сколько решений допускает эта задача.

Задачи оптимального управления 4. Оптимальное позиционное управление 1. задачи с фиксированным временем, когда продолжительность процесса заранее задана, 2. задачи со скользящими концами, когда про начальное и конечное состояния известно, что они принадлежат некоторым множествам, 3. задачи с фазовыми ограничениями, когда решение задачи в каждый момент времени должно принадлежать фиксированному замкнутому множеству, и др.

В задачах механики сплошных сред характеризующая состояние управляемого объекта величина х является функцией уже не только времени, но и пространственных координат (например, величина х может описывать распределение температуры в теле в данный момент времени), а закон движения будет дифференциальным уравнением с частными производными. Часто приходится рассматривать управляемые объекты, когда независимая переменная принимает дискретные значения, а закон движения представляет собой систему конечно-разностных уравнений.

Принципиальная комбинированная схема АСУ сцеплением с гидроприводом и предварительным пневмоусилителем 1, 2 - электромагнитные клапана; 3 - рычаг вилки выключателя сцепления; 4 - рабочий цилиндр; 5 - поршневой пневмоусилитель; 6 - клапан управления; 7 - калиброванный дроссель; 8 – пружина; 9 - пневмокамера с мембраной; 10 -гидроцилиндр; 11 главный цилиндр 12 - педаль (орган управления).

Работа системы управления сцеплением: При нажатии на педаль 12 происходит перемещение поршня главного гидроцилиндра 11. Жидкость под давлением из гидроцилиндра 11 подается в цилиндр 10 клапана управления 6 и в рабочей цилиндр 4, шток которого воздействует на рычаг 3 вилки выключателя сцепления. Повышение давления в цилиндре 10 вызывает срабатывание клапана управления 6, и сжатый воздух подается в цилиндр 5 пневмоусилителя, который воздействует на поршень рабочего цилиндра 4 и облегчает выключение сцепления.

Диафрагма 9 нагружена слева силой со стороны поршня звена обратной связи, а справа — силами со стороны пружины 8 и давления сжатого воздуха, подводимого от пневмоцилиндра 5 через калиброванное отверстие дросселя 7. С увеличением давления жидкости в главном цилиндре увеличивается давление воздуха в цилиндре 5 и, следовательно, снижается усилие на педали сцепления. Корректирующее звено на педали сцепления обратной связи предназначено для формирования требуемого следящего закона управления. Калиброванное отверстие дросселя позволяет отслеживать не только положение педали, но и скорость ее перемещения, что позволяет улучшить характеристики привода.