Задачи на условный экстремум с неголономными связями Задача

Задачи на условный экстремум с неголономными связями. Задача Больца.

Формулы на семинар. 1. Функционалы зависящие от нескольких зависимых переменных. Составить уравнение Эйлера для каждой переменной, и решить полученную систему уравнений. 2. Функционалы зависящие он нескольких независимых переменных.

1. Задачи с неголонмными связями. (1) (2) Связи вида (2) называются неголонмные. Рассмотрим более общий случай: (3)

Экстремум достигается на кривых, на которых реализуется безусловный экстремум функционала: Докажем, что кривые на которых достигается экстремум, при соответствующем выборе являются экстремалями. Разрешим уравнение (3) относительно получим

Т. о. функции произвольные с фиксированными граничными значениями и следовательно их вариации произвольные. Варьируем уравнения связей. разложим в ряд Тейлора, получим Умножим на и проинтегрируем, в полученном выражении проинтегрируем каждое слагаемое второго интеграла по частям, получим: (4)

Из основного необходимого условия экстремума имеем: (5) Сложив почленно (4) и (5) и обозначив получим: (6) Не для всех вариация произвольная. Произвольная она станет, при выборе соответствующих значений , с использованием связей. После этого можем воспользоваться основной леммой вариационного исчисления.

2. Изопермические задачи. Задача об отыскании геометрической фигуры максимальной площади, при заданном периметре. (7) Изопермические связи (8) Если ввести новые переменные То получим задачу на условный экстремум и п. 1.

Теперь на условный экстремум исследуем функционал Т. е все постоянные, а первое уравнение соответствует функционалу

3. Некоторые приложения вариационного исчисления. 1. Принцип стационарного действия Остроградского-Гамильтона. где - кинетическая энергия, потенциальная. 2. Время затрачиваемое на перемещение по некоторой кривой из точки в.