Задачи на смеси и сплавы Подготовили Карасёва Анастасия

Задачи на смеси и сплавы. Подготовили: Карасёва Анастасия Решетников Александр Клищенко Алексей

Введение: В числе текстовых задач особое место занимают задачи на смеси , растворы и сплавы, называемые еще задачами на процентное содержание или концентрацию, наличие в которых простых и процентных отношений зачастую побуждает относить их к разряду чисто арифметических. Вместе с тем такие задачи можно решать составлением уравнений или их систем по схеме, очень близкой к той, что применяется в задачах на движение. Как известно, в основе методики решения этих задач лежит связь между тремя величинами в виде прямой или обратной зависимостей: s=vt, t=s/v, v=s/t. – для пути s, времени t и скорости v. A=vt, t=A/v, v=A/t. –для количества работы А , времени t и производительности v.

Основные понятия в задачах на смеси, растворы и сплавы. Говоря о смесях, растворах и сплавах, будем употреблять термин «Смесь» независимо от её вида(твердого, жидкого, газообразного)Смесь состоит из «чистого вещества» и «примеси» Долей(а)чистого вещества в смеси называется отношение количества чистого вещества(m) в смеси к общему количеству(М)смеси при условии, что они измерены одной и той же единицей массы или объема: a=m/M Отметим, что 0 ≤a ≤ 1, ввиду того что, 0 ≤m ≤M. Случай а=0 соответствует отсутствию выбранного чистого вещества в рассматриваемой смеси (m=0), случай а=1 соответствует тому, что рассматриваемая смесь состоит только из чистого (m=M). Понятие доли чистого вещества в смеси можно вводить следующей условной записью Доля чистого вещества в смеси = Количество чистого вещества в смеси Общее количество смеси

n n Процентным содержанием чистого вещества в смеси(с) называют его долю, выраженную процентным отношением с=а*100, а=с/100% При решении задач следует руководствоваться тем , что при соединении(разъединении) смесей с одним и тем же чистым веществом количества чистого вещества и общие количества смесей складываются (вычитаются). Складывать и вычитать доли и процентные содержания НЕЛЬЗЯ.

При решении задач данного типа используются следующие допущения: 1. Всегда выполняется «Закон сохранения объема и массы» : если два сплава (раствора) соединяют в один «новый» сплав(раствор), то выполняются равенства: V=V 1+V 2 - сохраняется объём. M=M 1+M 2 – сохраняется масса. 2. Точно такой же «закон сохранения» выполняется для отдельных составляющих частей (компонент) сплава (раствора) : если первый сплав состоит из нескольких компонент, например из А, В, С, а второй состоит из компонент В, С, Д, то «новый» сплав, полученный при соединении этих двух сплавов, будет содержать компоненты А, В, С, Д. Причём массы этим компонент в «новом» сплаве равны сумме масс каждой из компонент, входящих в первый и второй сплавы.

3. При соединении растворов и сплавов не учитываются химические взаимодействия их отдельных компонент. 4. Очень часто в задачах на смеси и сплавы используется понятие объемной концентрации и массовой концентрации компонент, составляющих раствор или сплав. Объемная или массовая концентрация есть число, показывающее, какую долю всего объема или массы составляет данная компонента.

Основные этапы решения задач 1. Выбор неизвестной(или неизвестных) 2. Выбор чистого вещества 3. Переход к долям 4. Отслеживание состояния смеси 5. Составление уравнения рекомендуем ввести следующую таблицу: Состояние смеси Количество чистого вва(m) Общее количество смеси(М) Доля(а) 1. 2. Итоговое состояние 6. Решение уравнения(или системы) 7. Формирование ответа

Задача: Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 300 г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято? Решение: Пусть взяли х г первого раствора, тогда второго раствора (600 -х)г Состояние смеси m (г) М(г) а 1 0, 3 х х 0, 3 2 0, 1(600 -х) 600 -х 0, 1 1+2 0, 3 х+0, 1(600 х) 600 0, 15 Тогда 0, 3 х+0, 1(600 -х)=0, 15*600, откуда х=150, 600 -х=450 Ответ: 150 г 30%-ного, 450 г 10%-ного

Комментарий: При решении задач на составление уравнений задач может сводиться не к одному уравнению, а к системе уравнений. К этому подталкивает и текст задачи, по которому требуется найти несколько неизвестных величин. Какие-то из уравнений системы будут составлены на основе таблицы состояний смесей, а какие-то – на основе других взаимосвязей величин, описываемых в задаче. Так, например, предыдущую задачу можно решить следующим образом: пусть взяли х г первого раствора и взяли у г второго раствора, тогда по условию задачи х+у=600 Состояние смеси m (г) М(г) а 1 2 1+2 0, 3 х 0, 1 у х у у+х 0, 3 0, 15 0, 3 х+0, 1 у Получаем еще одно уравнение: 0, 3 х+0, 1 у=0, 15(х+у) И задача сводится к решению системы:

Пример № 1 Сплав меди и алюминия массой 10 кг содержит 35% меди. Сколько килограммов в этом сплаве составляет алюминий? РЕШЕНИЕ: Так как меди в сплаве 35%, то 65% составляет алюминий. Значит, вес алюминия в сплаве 0, 65*10=6, 5 кг.

Пример № 2 Имеется два кислотных раствора: один 20%, другой 30%. Взяли 0, 5 л первого и 1, 5 л второго раствора и образовали новый раствор. Какова концентрация кислоты в новом растворе? РЕШЕНИЕ: Так как первый раствор 20%-й, то в нем 0, 2 объема занимает «чистая» кислота. А так как объем первого раствора равен 0, 5 л, то в этом количестве содержится 0, 2*0, 5=0, 1 л «чистой» кислоты. Аналогично во втором растворе будет содержаться 0, 3*1, 5=0, 45 л «чистой» кислоты. При смешении обоих растворов мы получим 0, 5+ 1, 5=2 л кислотного раствора (действует закон сохранения объема), в котором 0, 1+0, 45=0, 55 л «чистой» кислоты (опять работает закон сохранения). Отсюда следует, что концентрация кислоты в новом растворе есть отношение 0, 55: 2=0, 275, т. е. 27, 5%

Пример № 3 Сплавили 300 г сплава олова и меди, содержащее 60% олова, и 900 г сплава олово и меди, содержащего 80% олова. Сколько процентов олова в получившемся сплаве? РЕШЕНИЕ: Масса олова в первом сплаве равна 0, 6*300 г=180 г, во втором 0, 8*900 г=720 г. 180 г + 720 г=900 г Масса нового сплава равна. 300 г+900 г=1200 г Процентное содержание олова в нем равно 900 г/ 1200 г *100%=75%.

Пример № 4 В смеси спирта и воды спирта в 4 раза меньше, чем воды. Когда к этой смеси добавили 20 л воды, получили смесь с процентным содержанием спирта 12%. Сколько воды было в смеси первоначально? РЕШЕНИЕ: Пусть в смеси было х л спирта, тогда объем воды в ней 4 х л. В новой смеси количество спирта осталось прежним (х л), объем воды в ней (4 х+20) л, а процентное содержание спирта х/(5 х+20)*100%, что по условию задачи составляет 12%. Получим и решим уравнение: 100 х/5 х+20=12 100 х=12(5 х+20) х=6

Пример № 5 Два сплава с массами м 1 и м 2 кг содержат медь и серебро в отношениях 12: 1 и 16: 3 соответственно. Эти два сплавили с м 3 кг чистого серебра и м 4 кг чистой меди. Определите процент серебра в образовавшемся сплаве. РЕШЕНИЕ: Для наглядности СДЕЛАЕМ ПОЯСНЯЮЩИЙ ЧЕРТЕЖ 1 сплав 2 сплав Ag Cu М 1 М 2 М 3 М 4 Найдем массу «нового» сплава по закону сохранения: м 1+м 2+м 3+м 4. Найдем теперь массу серебра в каждом сплаве. В первом сплаве отношение количества меди к количеству серебра равно 12: 1. Значит, в первом сплаве содержится 1/13 часть серебра, масса которого составит 1/13 м 1 кг. Аналогично находим массу серебра во втором сплаве: 3/19 м 2 кг. По закону сохранения массы получаем массу серебра в «новом» сплаве: 1/13 м 1+3/19 м 2+м 3 кг. Следовательно, процентное содержание серебра в «новом» сплаве равно (1/13 м 1+3/19 м 2+м 3)/(м 1+м 2+м 3+м 4)*100%.

Примеры усложненных задач на смеси Иногда состояние смеси в задаче характеризуется не процентным содержанием или долей того или иного компонента смеси, а процентным или простым отношением между компонентами. В таких задачах тоже выбирается чистое вещество и состояние смеси следует описать в долях от общего количества смеси. Задача: Некоторый сплав состоит из двух металлов, входящий в него в отношении 1: 2, а другой содержит те же металлы в отношении 2: 3. Сколько частей каждого сплава нужно взять, чтобы получить третий сплав, содержащий те же металлы в отношении 17: 27?

Решение: Примем за чистое вещество первый металл, тогда его доля в первом сплаве -1/3(отношение количеств металлов 1: 2), во втором сплаве – 2/5, а в итоговом сплаве-17/44. Пусть х - количество первого сплава, а у – количество второго сплава. Величины х и у не могут быть найдены из задачи однозначно, а только с точностью до пропорционального множителя, да и в задаче требуется найти отношение х: у Состояние смеси m M а 1 1/3*х х 1/3 2 1+2 2/5*у у 1/3*х+2/5*у х+у Тогда Ответ: 9 частей первого сплава и 35 частей второго сплава 2/5 17/44

Старинный способ решения на смеси и сплавы n. Как известно, при составлении уравнения обычно прослеживают содержание какогонибудь одного вещества из тех, которые сплавляются. n. Задача: При смешивании 5%-ного раствора кислоты с 40%-ным раствором кислоты получили 140 г 30%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было для этого взято?

Решение: Проследим за содержанием кислоты в растворах. Возьмем для смешивания х г 5%-ного раствора кислоты (или 5 х/100 г) и у г 40%-ного раствора (или 40 у/100 г). Так как в 140 г нового раствора кислоты стало содержаться 30%, т. е. 30/100*140 г, то получаем следующее уравнение: 5 х/100+40 у/100=30*140/100 Кроме того, х+у=140. Таким образом, приходим к следующей системе уравнений: Из этой системы находим х=40, y=100. По смыслу задачи 0

Приведем старинный способ решения этой же задачи Друг под другом пишутся содержания кислот имеющихся растворов, слева от них и примерно по середине – содержание кислоты в растворе, который должен получиться после смешивания. Соединив написанные числа чёрточками, получим такую схему: Рассмотрим пары 30 и 5; 30 и 40. В каждой паре из большего числа вычтем меньшее и результат запишем в конце соответствующей чёрточки. Получится следующая схема: Из нее делается заключение, что 5%-ного раствора следует взять 10 частей, а 40%-ного – 25 частей, т. е. для получения 140 г 30%ного раствора нужно взять 5%-ного раствора 40 г, а 40%-ного-100 г

Отметим, что старинный способ решения задач на смешивание (сплавление) двух веществ всегда позволяет получить правильный ответ. Действительно, предположим, что смешиваются х г а%-ного раствора кислоты (или а*х/100 г) и у г b%-ного раствора кислоты (или b*y/100 г). При этом необходимо получить с%-ный раствор. Пусть, для определенности, аb или c

Литература: n n n Галицкий М. Л Сборник задач по алгебре Шабунин М. И. Математика для поступающих в Вузы Говоров В. М. Сборник задач для поступающих в вузы Шарыгин И. Ф. Решение задач. Факультативный курс по математики. Л. А. Приходько Математика для поступающих в десятый лицейский класс. Сикарский К. П. дополнительные главы по курсу математики.