ЗАДАЧИ для подготовки к ЕГЭ по математике (раздел

ЗАДАЧИ для подготовки к ЕГЭ по математике (раздел С 2) 1

СОДЕРЖАНИЕ Раздел 1. Угол между прямыми Раздел 2. Угол между прямой и плоскостью Раздел 3. Угол между двумя плоскостями Раздел 4. Расстояние от точки до прямой Раздел 5. Расстояние от точки до плоскости Раздел 6. Расстояние между двумя прямыми

Раздел 1 Угол между прямыми СОДЕРЖАНИЕ 3

Раздел 1. Угол между прямыми ЗАДАЧА 1 В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 все ребра равны 1. Найдите угол между прямыми DA 1 и BD 1. D 1 C 1 B 1 А 1 1 C D 1 А B Решение: Рассмотрим ортогональную проекцию AD 1 прямой BD 1 на плоскость ADD 1. AD 1 DA 1. По теореме о трех перпендикулярах следует, что DA 1 BD 1, т. е. искомый угол между прямыми DA 1 и BD 1 равен 900

ЗАДАЧА 2 Раздел 1. Угол между прямыми В правильной шестиугольной призме A. . . F 1, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямыми АВ 1 и ВС 1. Решение: Угол между скрещивающимися прямыми - это угол между параллельными им прямыми, проходящими через одну точку. ОС 1||АВ 1, так как четырехугольник АВ 1 С 1 О является параллелограммом. Поэтому искомый угол - это угол ОС 1 В. Из ОС 1 В по теореме косинусов, получаем, что (Т. к. ОВ=1, ВС 1= 2, ОС 1= 2) Ответ: 0, 75 5

В правильной шестиугольной призме A … F 1, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми AB 1 и BE 1. Решение № 1. Так как основание призмы – правильный шестиугольник, то Так как призма прямая, то Поэтому т. е. есть проекция наклонной на плоскость Диагонали в квадрате перпендикулярны между собой. По теореме о трех перпендикулярах наклонная и прямая , перпендикулярны между собой, т. е. искомый угол равен 90 о. Ответ. 90°.

Раздел 2 Угол между прямой и плоскостью СОДЕРЖАНИЕ 7

Раздел 2. Угол между прямой и плоскостью ЗАДАЧА 1 Дано: АВCD – треугольная пирамида, ∆АВС – прямоугольный , C=90°, АС=6 ВD (АВС). , ВС =5, ВD= D Решение: DH - проекция наклонной Найти: (DС; (АВD)) DC на плоскость ABD AB = H ∆ВСН – египетский, СН = 4. В А 5 C (DС; (АВD)) = С DH = 30° Из ∆BDC, DC=8 ∆DHC – прямоугольный sin CDH = .

Раздел 2. Угол между прямой и плоскостью ЗАДАЧА 2 А 1 C 1 F 1 K 1 Дано: АВСDFKA 1 B 1 C 1 D 1 F 1 K 1 – правильная призма, АВ=4, AA 1= АА 1 (АВС) D 1 B Найти: (В 1 F; (BB 1 C 1)) C А Т B 1 Решение: B 1 C проекция наклонной B 1 F на плоскость BB 1 C 1 C DM = 2, CF= ∆CB 1 C 1 – прямоугольный B 1 C = ∆ B 1 CF – прямоугольный D K F B C M А 120° 4 30° K F D 4 В 1 F; (BB 1 C 1))= FB 1 C - 30° 9

Раздел 2. Угол между прямой и плоскостью ЗАДАЧА 3 В 1 С 1 А 1 D 1 5 Решение: В С ? 2, 5 А Дан прямоугольный Дано: АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 параллелепипед АВСDA 1 B 1 C 1 D 1, в основании которого прямоугольный лежит квадрат со стороной 2, 5. – параллелепипед, АВСD Диагональ DB 1 равна 5. Найдите квадрат, градусную меру угла между 1 D = 5 AD = 2, 5, диагональ B диагональю DВ 1 и плоскостью основания (АВC)) Найти: (В 1 D; АВС. (В 1 D; (АВC)) = В 1 DB D ABD: BD = AB 2 + AD 2 = 2 • 2, 52 = 2, 5 2 B 1 DB: гипотенуза B 1 ВD = 90° B 1 D = 5 B 1 D В = 45° (В 1 D; (АВC)) = 45° Ответ: 45° COS 2, 5 2 BD В 1 DB = = = B 1 D 5 2 2

Раздел 2. Угол между прямой и плоскостью ЗАДАЧА 4 Дано: АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 - параллелепипед, АВСD – параллелограмм, АА 1 (АВС). Т Найти: (В 1 D; (DD 1 C 1)) С 1 В 1 D 1 С В А DH- проекция наклонной B 1 D на плоскость DCC 1 D 1 H А 1 D Решение: (В 1 D; (DD 1 C 1))= B 1 DH искомый

Раздел 3 Угол между двумя плоскостями СОДЕРЖАНИЕ 12

Раздел 3. Угол между двумя плоскостями ЗАДАЧА 1 В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, у которого AB = 6, BC = 6, CC 1 = 4, найдите тангенс угла между плоскостями ACD 1 и A 1 B 1 C 1. Решение. D 1 C 1 AD 1 =D 1 C, ACD 1 – равнобедренный плоскость A 1 B 1 C 1 пл. АBC АВСD – квадрат, DО⊥AC. B 1 А 1 4 C D 6 O А 6 Ответ: B D 1 О⊥ AC D 1 ОD — линейный угол искомого угла. D 1 DО – прямоугольный

Раздел 3. Угол между двумя плоскостями ЗАДАЧА 2 Дан куб АВСDA 1 B 1 C 1 D 1. найдите угол между плоскостями АВ 1 С 1 и А 1 В 1 С Решение D 1 C ⊥ пл. АB 1 C 1 D. D 1 С⊥C 1 D как диагонали квадрата По теореме о трех перпендикулярах D 1 С⊥AD D 1 C ⊥ пл. АВ 1 С 1. AD 1 ⊥ пл. А 1 В 1 С. AD 1 C - правильный, так как его сторонами являются диагонали граней куба Поэтому D 1 C AD 1= 60 Ответ: 60 14

ЗАДАЧА 3 Раздел 3. Угол между двумя плоскостями В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 известны длины ребер: АА 1= 5, АВ = 12, AD = 8. Найдите тангенс угла между плоскостью ABC и плоскостью, проходящей через точку В перпендикулярно прямой АК, если К — середина ребра C 1 D 1. Решение (ABC) (AKE) равен линейному углу между перпендикулярными им прямыми. КЕ||DD 1, КЕ ⊥(ABC) 5 12 Для второй плоскости такой прямой является АК. 8 АКЕ - искомый. По теореме Пифагора из ADE AE=10 Из прямоугольного АКЕ. КЕ=5. Тогда tg∠АКЕ= 15

Раздел 4 Расстояние от точки до прямой СОДЕРЖАНИЕ 16

Раздел 4. Расстояние от точки до прямой ЗАДАЧА 1 Дано: М АВС – правильный треугольник, АС=12 3 , т. О – центр АВС, ОМ (АВС), (АМ; (АВС))=60° Найти: АМ 60° В А 12 3 О К С Ответ: 24. Решение: AOM- прямоугольный MAO = 60 AMO = 30 AM = 2 AO

Раздел 4. Расстояние от точки до прямой ЗАДАЧА 2 В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 все ребра равны 1. Найдите расстояние от точки С до прямой BD 1. Решение. D 1 C 1 B 1 А 1 BD 1 (A 1 D 1 С В) СМ BD 1 1 В прямоугольном D 1 CB: C D М А 1 D 1 B= , D 1 C= 1 B В прямоугольном CMB: Ответ: 18

Раздел 5 Расстояние от точки до плоскости СОДЕРЖАНИЕ 19

Раздел 5. Расстояние от точки до плоскости ЗАДАЧА 1 В правильном тетраэдре DABC найдите расстояние от вершины D до плоскости ABC. Решение. BE=CE. Искомое расстояние равно высоте DH треугольника ADE, для которого DE = HE = . Следовательно, DH = Ответ:

Раздел 5. Расстояние от точки до плоскости ЗАДАЧА 2 В правильной 6 -ой пирамиде SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а ребра основания – 1, найдите расстояние от точки A до плоскости SCE. Решение. Точка G пересечение AD и CE. Искомое расстояние равно высоте AH SAG SA = 2, SG = , AG = , SO = Откуда AH = Ответ: 2

Раздел 6 Расстояние между двумя прямыми СОДЕРЖАНИЕ 22

Раздел 6. Расстояние между двумя прямыми ЗАДАЧА 1 B 1 C 1 D 1 A 1 C B A Пусть АС и DC 1 – D скрещивающиеся прямые, принадлежащие смежным граням АВСD и DD 1 C 1 C соответственно. Найдём расстояние между ними. 23

ЗАДАЧА 1 (продолжение) B 1 A 1 Раздел 6. Расстояние между двумя прямыми Дополнительное построение: АВ 1 , СВ 1 и DВ 1. 1 Но (DD 1 С 1)║(АА 1 В 1), т. к. дан куб DС 1 ∈ (DD 1 С 1) АВ 1∈ (АА 1 В 1), C DС 1║АВ 1 D B 1 В результате дополнительных построений получли пирамиду DAB 1 C. В пирамиде DAB 1 C, высота, опущенная из вершины D на плоскость основания AB 1 C будет являться искомым расстоянием между скрещивающимися прямыми АС и DC 1. C Доказательство: A D 24

Раздел 6. Расстояние между двумя прямыми ЗАДАЧА 1 (продолжение) B 1 A 1 C 1 D 1 B A C D Высота, опущенная из вершины D на плоскость основания AB 1 C, перпендикулярна плоскости этого основания. Значит, она перпендикулярна любой прямой принадлежащей этой плоскости (по определению). Но АС ∈ (AB 1 C ) AB 1 ∈ (AB 1 C ) h | AB 1 h | (AB 1 C ) h | АС Но, с другой стороны АВ 1 ║ DС 1 h | AB 1 Значит, h | DС 1. Имеем: h | DС 1 h | АС Следовательно, h – общий перпендикуляр для скрещивающихся прямых АС и DС 1. Что и требовалось доказать. Найдём эту высоту.

Раздел 6. Расстояние между двумя прямыми ЗАДАЧА 1 (продолжение) Рассмотрим пирамиду B 1 АCD: B 1 C 1 SАСD=½·СD·АD= ½·а 2 D 1 A 1 Вывод: V 1 = ⅓·½·а 3 а B C а A V 1 = ⅓ ·h · SАСD. h = B 1 В = а а D

Раздел 6. Расстояние между двумя прямыми ЗАДАЧА 1 (продолжение) Рассмотрим эту же пирамиду, но уже с вершиной в точке D: B 1 C 1 D 1 А 1 В C V =V А D Учитывая, что 1 2, получим d= - искомое расстояние. 27

Раздел 6. Расстояние между двумя прямыми ЗАДАЧА 2 В правильной 6 -й призме A…F 1, ребра которой равны 1, найдите расстояние между прямыми: AA 1 и BC 1. Решение: О- центр описанной окружности. ОВ=ОС=ВС=1 ОН АD, ОН BC. ОН – высота равнобедренного ОВС. ОН - искомое расстояние между параллельными плоскостями ADD 1 и BCC 1. О Н Ответ:

Раздел 6. Расстояние между двумя прямыми ЗАДАЧА 3 В единичном кубе A…D 1 найдите расстояние между прямыми AB 1 и BC 1. Решение. Искомое расстояние равно расстоянию между параллельными плоскостями AB 1 D 1 и BDC 1. Диагональ A 1 C перпендикулярна этим плоскостям и делится в точках пересечения на три равные части. Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка EF и равно Ответ: 29

Благодарим за внимание и сотрудничество 30