Задачи C&P Особенности форматного раскроя бумажного полотна в ЦБП Сыктывкарский государственный университет Кафедра прикладной математики
Задачи Catting&Packing Виктор Абрамович Залгаллер Леонид Витальевич Канторович (первый слева) Сыктывкарский государственный университет Кафедра прикладной математики
Рациональный раскрой промышленных материалов Наука СО Расчет рационального раскроя материалов Новосибирск 1971 Лениздат Л. : 1951 Сыктывкарский государственный университет Кафедра прикладной математики
Раскрой одномерного сырья Длина сырья Длины заготовок Возможные способы раскроя ……………. . ………. Требования на заготовки Раскроить сырьё, обеспечив выполнение требований на заготовки при общем минимуме отходов Сыктывкарский государственный университет Кафедра прикладной математики
Двумерный раскрой (упаковка на плоскости) Гильотинный раскрой Упаковка прямоугольников Раскрой на фигурные заготовки Упаковка шаров Раскроить сырьё, обеспечив выполнение требований на заготовки при общем минимуме отходов Сыктывкарский государственный университет Кафедра прикладной математики
Трехмерное заполнение Заполнить объём, обеспечив выполнение требований на заготовки и других специальных требований при общем минимуме свободного пространства Сыктывкарский государственный университет Кафедра прикладной математики
Задача линейного раскроя Способ раскроя – неотрицательный целочисленный вектор - я компонента равна числу вырезаемых заготовок длины выполняется условие: , в котором. При этом Например, при вырезании из сырья длины L=16 заготовок с длинами l=6, 4 одним из возможных способов раскроя будет следующий: Вырезается две заготовки длины 6 Вырезается одна заготовка длины 4 При этом Сыктывкарский государственный университет (отход равен нулю) Кафедра прикладной математики
Задача линейного раскроя Способы раскроя (если их рассматривать как столбцы) образуют матрицу всех возможных способов раскроя в которой заготовок типа , вырезаемое в -м способе раскроя. - число Так для рассматриваемого примера: В последнем столбце в скобках указан отход данного способа Сыктывкарский государственный университет Кафедра прикладной математики
Задача линейного раскроя Матрица технологичных раскроев (отход каждого способа меньше длины самой короткой заготовки) будет выглядеть так: Если через обозначить интенсивность применения -го способа раскроя (сколько раз он применяется), то функция будет выражать минимальное количество штук сырья, необходимое для вырезания всех заготовок Сыктывкарский государственный университет Кафедра прикладной математики
Задача линейного раскроя Условие выполнения требований на все заготовки запишется в виде (для вектора требований b=[5, 13]): Добавляя условие неотрицательности на число раз использования способов раскроя, получаем математическую модель одномерного раскроя в виде задачи линейного программирования Сыктывкарский государственный университет Кафедра прикладной математики
Целочисленность раскроя Если взять безотходные способы раскроя (1 -й и 6 -й), получим оптимальное решение (нецелочисленное): На дробные части этого решения приходится следующая часть вектора требований на заготовки: Разбивая её на два раскроя, получим целочисленное решение, содержащее четыре способа раскроя по которым разрезается 6 штук сырья (суммарный отход равен 14) : Сыктывкарский государственный университет Кафедра прикладной математики
Целочисленность раскроя В то же время, если взять способы раскроя 2 -й и 6 -й, можно получить оптимальное решение (нецелочисленное): На дробные части этого решения приходится следующая часть вектора требований на заготовки: которая сама по себе является способом раскроя. Добавляя её к используемым, получим целочисленное решение, содержащее три способа раскроя по которым разрезается 6 штук сырья (суммарный отход равен 14) : Сыктывкарский государственный университет Кафедра прикладной математики
РАСКРОЙ БУМАЖНОГО ПОЛОТНА Бумажное полотно с бумагоделательной машины БДМ ПРС поступает на продольно-резательный станок, где раскраивается на рулоны задаваемых форматов После чего упаковывается и идёт на склад, либо в дальнейшую переработку (например, на производство листовой бумаги) Сыктывкарский государственный университет склад упаковка На производство Кафедра прикладной математики
Сыктывкарский государственный университет Кафедра прикладной математики упаковка склад Кромка попутчик рулон ПРС накат тамбур БДМ Зона брака На производство съём Кромка Схема раскроя тамбура на рулоны
ОСОБЕННОСТИ ФОРМАТНОГО РАСКРОЯ 1. с края тамбура нужно резать обязательную кромку, которая находится в диапазоне 2. минимальный вырезаемый рулон должен быть не меньше минимального расстояния между ножами либо минимального заданного формата, не входящего в заявку ( «попутчика» ) в зависимости от того какая, из двух величин будет больше Кромка рулон попутчик 3. рулоны меньше определенного формата должны вырезаться парами и располагаться в способе раскроя рядом 4. некоторые форматы имеют дополнительные требования: б) нужно обязательно с краю а) нельзя ставить на край Сыктывкарский государственный университет Кафедра прикладной математики съём
ОСОБЕННОСТИ ФОРМАТНОГО РАСКРОЯ 5. количество заготовок в раскрое ограничено количеством ножей на ПРС 6. возможно несколько зон постоянного брака 7. 8. 1 1 рулоны 2 2 3 ножи Сыктывкарский государственный университет 12 брак 13 14 13 брак если бракованная зона меньше минимального рулона, то ее нужно рассматривать как плавающую зону брака, содержащую в себе реальный бракованный промежуток иногда есть рулоны, которые не требуются в заказах, но их можно выпускать неограниченно ( «попутчики» ). При этом количество таких выпущенных рулонов нежно свести к минимуму 12 брак «попутчики» 1 рулоны 12 13 отход Кафедра прикладной математики
ОСОБЕННОСТИ ФОРМАТНОГО РАСКРОЯ 9. Имеется допустимая погрешность намотки рулонов. ПРС в состоянии намотать рулон с точностью до миллиметра, при этом допустима погрешность до 5 мм 10. Имеется погрешность выполнения заказа Сыктывкарский государственный университет 1 -5 мм тонны рулоны Кафедра прикладной математики
ОСОБЕННОСТИ ФОРМАТНОГО РАСКРОЯ 11. в подавляющем большинстве случаем вектор требований размыт частично или полностью в определенном диапазоне (люфт в векторе требований) 12. Возможен люфт в ширине сырья (тамбура) 13. Отход любого способа раскроя не должен превышать максимальной кромки Сыктывкарский государственный университет Max Edge Min Edge отход Кафедра прикладной математики
ОСОБЕННОСТИ ФОРМАТНОГО РАСКРОЯ В процессе нарезания возможны 15. корректировки требований на 16. форматы и число рулонов по 17. следующим причинам: 14. а)Технологический брак при изготовлении бумаги и ее разрезании. б р а к б)Ввод дополнительного формата в текущую заявку (административное решение) Форматы + Требования на форматы ……………. . ………. Сыктывкарский государственный университет + ………. Кафедра прикладной математики
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО РАСКРОЯ Модифицированный симплекс-метод Сыктывкарский государственный университет Кафедра прикладной математики
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО РАСКРОЯ Модифицированный симплекс-метод Сыктывкарский государственный университет Кафедра прикладной математики
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО РАСКРОЯ r –(нахождение наилучшего раскроя) – классическая задача о рюкзаке: Объём рюкзака L объём вещи l [i] ? ценность v [i] Сыктывкарский государственный университет Кафедра прикладной математики
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО РАСКРОЯ r –задача (нахождение наилучшего раскроя) – классическая задача о рюкзаке: Для решения r –задачи применяются: - метод ветвей и границ - динамическое программирование (рекуррентные соотношения Беллмана) Сыктывкарский государственный университет Кафедра прикладной математики
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО РАСКРОЯ метод ветвей и границ Сыктывкарский государственный университет Кафедра прикладной математики
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО РАСКРОЯ динамическое программирование (рекуррентные соотношения Беллмана) Сыктывкарский государственный университет Кафедра прикладной математики
Перенастройка и последовательность перестановки ножей ПРС 32 кг Сыктывкарский государственный университет Кафедра прикладной математики
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО РАСКРОЯ Минимальное количество перенастроек ПРС Четыре перенастройки ПРС Сыктывкарский государственный университет Две перенастройки ПРС Кафедра прикладной математики
Последовательность перестановки ножей при перенастройке ПРС Х 2 2 4 Сыктывкарский государственный университет 2 Х 3 3 2 3 Х 4 4 3 4 Х Кафедра прикладной математики
Последовательность перестановки ножей при перенастройке ПРС 2 2 2 1 3 4 7 1 3 3 9 1 3 3 3 2 1 3 3 2 2 3 3 3 7 2 4 4 9 2 3 4 4 7 3 5 5 9 3 4 4 4 5 5 5 2 2 2 3 A 3 2 4 3 4 2 7 4 3 4 4 3 3 B 1 4 1 2 4 3 4 4 3 3 7 5 2 5 D 3 3 4 4 7 6 C 1 1 2 3 A B m n D Сыктывкарский государственный университет C q p Кафедра прикладной математики
Рациональная загрузка ПРС (задача о загрузке оборудования) две сковородки три блина поджарить за минимальное время (одна сторона блина поджаривается за 1 мин. ) 1 1 2 2 3 3 4 Сыктывкарский государственный университет Кафедра прикладной математики
Рациональная загрузка ПРС (задача о загрузке оборудования) Сыктывкарский государственный университет Кафедра прикладной математики
Рациональная загрузка ПРС (задача о загрузке оборудования) 1 Сыктывкарский государственный университет 2 Кафедра прикладной математики
ЗАКЛЮЧЕНИЕ Привлекательность проблемы раскроя-упаковки (Cutting&Pfcking, G&P): - принадлежность G&P к NP – трудным задачам - широкой применимости к их решению математического программирования и комбинаторных методов - в сложности многих задач реального мира, которые можно реализовать только как NP – трудные - в большинстве производств остается актуальной задача экономии материала на стадии раскроя Сыктывкарский государственный университет Кафедра прикладной математики
Скачать презентацию Задачи C&P Особенности форматного раскроя бумажного полотна в
ЛИНЕЙНЫЙ РАСКРОЙ.ppt