ЗАДАЧА ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ВЫБОРА. ФУНКЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ. КРИВЫЕ БЕЗРАЗЛИЧИЯ. ЛЕКЦИЯ

ЗАДАЧА ПОТРЕБИТЕЛЬСКОГО ВЫБОРА. ФУНКЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ. КРИВЫЕ БЕЗРАЗЛИЧИЯ. ЛЕКЦИЯ 4

Рассмотрим некоторые модели поведения потребителей, называемые моделями потребительского выбора. В их основе лежит гипотеза о том, что каждый потребитель, осуществляя выбор наборов благ (продуктов) при заданных ценах на блага (продукты) и имеющемся у потребителя доходе, стремится максимизировать уровень удовлетворения своих И потребностей.

Постановка задачи. . Пусть индивидуальному потребителю предлагается два вида различных благ. Обозначим: – количество единиц первого блага, – количество единиц второго блага. Очевидно, и Потребительский набор благ можно математически описать двумерным вектором О п р е д е л е н и е 1. Вектор называется вектором благ. Обозначим рыночные цены блага и соответственно . Очевидно,

Тогда стоимость набора благ определяется вектором цен благ и вычисляется по формуле: (1) скалярное произведение векторов и . Стоимость любого блага, которое приобретает потребитель, не превосходит его дохода . Следовательно, должно выполняться линейное неравенство: (2)

О п р е д е л е н и е 3. Неравенство (2) называется бюджетным ограничением потребителя. Прямая называется бюджетной линией. О п р е д е л е н и е 4. Множеством доступных для потребителя наборовблаг на рынке товаров и услуг называется множество на плоскости обозначаемое К, решений неравенства (2), удовлетворяющих ограничениям (1). В зависимости от расположения на плоскости прямой возможны следующие три варианта.

Множество К доступных наборов благ пусто. Множество К доступных наборов благ является частью прямоугольника G. Множество К доступных наборов благ совпадает со множеством благ G.

ФУНКЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ О п р е д е л е н и е 5. Полезностью блага называется способность блага удовлетворять ту или иную потребность покупателя. Потребитель при анализе двух наборов благ и выносит одно из суждений об их полезности: v набор благ предпочтительнее (полезнее), чем набор благ . Условно обозн. . vнаборы благ и одинаково предпочтительны для потребителя. Условно обозначается .

О п р е д е л е н и е 6. Функция называется функцией полезности блага для потребителя, если ее значение на потребительском наборе благ равно потребительской оценке индивидуума для этого набора. О п р е д е л е н и е 7. Потребительская оценка набора благ называется уровнем (или степенью) удовлетворения потребностей индивидуума, если он приобретает или потребляет данный набор благ . Функция полезности представляет, по существу, систему предпочтений потребителя.

Потребитель при выборе набора благ стремится максимизировать свою функцию полезности Основные свойства функции полезности § Функция полезности дважды дифференцируема по каждому аргументу. § Имеет непрерывные частные производные. § График функции полезности вогнутый. . .

О п р е д е л е н и е 7. Линией безразличия функции называется линия на плоскости , соединяющая те потребительские наборы благ , которые имеют один и тот же уровень удовлетворения потребностей индивидуума. Другими словами линия безразличия состоит из тех точек множества доступных для потребителя благ К, которые равноценны, одинаково предпочтительны потребителю, что ему безразлично, какой из этих наборов благ выбрать.

С точки зрения математики линия безразличия является линией уровня функции полезности , как функции двух переменных: О п р е д е л е н и е 8. Картой безразличия функции называется множество всех ее линий безразличия.

ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО ВЫБОРА БЛАГ Задача оптимального выбора благ потребителем заключается в выборе такого набора благ который максимизирует его функцию полезности при заданном бюджетном ограничении где – доход потребителя, который он готов потратить на приобретение первого и второго продуктов. Величины I, , - заданы.

Математически задача оптимального выбора благ имеет вид: (1) при условиях (2) (3) Задачу (1)-(3) называют задачей потребительского выбора.

Прямая АВ соответствует бюджетному ограничению, треугольник АОВ – область доступных наборов, а точка –касания кривой безразличия со стороной АВ треугольника АОВ, которая и определяет оптимальный набор благ задачи (1)-(3).

Т е о р е м а 1. Задача (1)-(3) оптимального выбора благ потребителем имеет решение и притом только одно. Оптимальное решение задачи (1)-(3) называется точкой равновесия задачи оптимального выбора благ потребителем. В приведенной постановке задача (1)-(3) оптимального выбора благ потребителем является задачей нелинейного программирования.

Задачу (1)-(3) выбора благ потребителем можно заменить задачей на условный экстремум: (4) при условиях (5) (6) Для решения задачи (4)-(6) на условный экстремум применим метод Лагранжа. Для этого составим функцию Лагранжа по формуле:

Составим систему уравнений: ЛАГРАНЖ Жозеф Луи (Lagrange Joseph-Louis) 25. 1. 1736 -10. 4. 1813 - Родился в Турине, в италофранцузской семье

системы является критической Решение точкой функции Лагранжа. Более того, подставляя решение в первое уравнение системы, получаем: Геометрически решение можно интерпретировать как точку касания линии безразличия, построенной для функции полезности , с бюджетной линией .

и. Координаты и оптимального решения задачи (1)-(3) оптимального выбора благ потребителем представляют собой функцию параметров.

. З а д а ч а. Функция полезности задана формулой: При ценах благ а) решить задачу оптимального выбора благ, б) найти функции спроса, в) изобразить на плоскости множеством доступных для потребителя благ и кривые безразличия. Р е ш е н и е. Запишем задачу потребительского выбора в следующем виде:

а) Бюджетная линия в данной задаче задается уравнением Задача является классической задачей на условный экстремум: Составим функцию Лагранжа:

б) Учитывая формулы значения цен благ и доход уравнение бюджетной линии находим функции спроса задачи: Итак, расходы потребителя на каждое благо составляют половину его общего дохода. в) Множество доступных для потребителя наборов благ и кривые безразличия рассматриваемой задачи изображены на сл. рис.

О т в е т: