Задача Коши решение обыкновенных дифференциальных уравнений 1

Задача Коши (решение обыкновенных дифференциальных уравнений) 1

Понятие о дифференциальном уравнении Уравнение, в котором неизвестная функция входит под знаком производной или дифференциала, называется дифференциальным уравнением. 2

Понятие о дифференциальном уравнении Если неизвестная функция, входящая в дифференциальное уравнение, зависит только от одной независимой переменной, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. 3

Понятие о дифференциальном уравнении Если неизвестная функция, входящая в дифференциальное уравнение, является функцией двух или большего числа независимых переменных, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных. 4

Понятие о дифференциальном уравнении Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной (или дифференциала), входящей в уравнение. Примеры уравнений первого порядка. 5

Понятие о дифференциальном уравнении Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной (или дифференциала), входящей в уравнение. Примеры уравнений второго порядка. 6

Обыкновенные дифференциальные уравнения Обыкновенное дифференциальное уравнение nго порядка в самом общем случае содержит независимую переменную, неизвестную функцию и ее производные или дифференциалы до n-го порядка включительно и имеет вид F(x, y, y’’, …, y(n)) = 0. x – независимая переменная, y – неизвестная функция, y’’, … - производные этой функции. 7

Обыкновенные дифференциальные уравнения Дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, может быть записано в виде y(n) = f(x, y, y’’, …, y(n-1)). Решением (или интегралом) данного уравнения называется всякая дифференцируемая функция y= (x), удовлетворяющая этому уравнению, т. е. такая, после подстановки которой в уравнение обращается в тождество. 8

Обыкновенные дифференциальные уравнения График решения обыкновенного дифференциального уравнения называется интегральной кривой этого уравнения. Решение дифференциального уравнения, содержащее столько независимых произвольных постоянных (параметров), каков его порядок, называется общим решением уравнения. Геометрически общее решение представляет собой семейство интегральных кривых. 9

Обыкновенные дифференциальные уравнения Частным решением обыкновенного дифференциального уравнения называется всякое решение, которое может быть получено из общего при определенных числовых значениях произвольных, входящих в общее решение. Произвольные постоянные, входящие в общее решение, определяются из так называемых начальных условий. 10

Задача с начальными условиями (задача Коши) Постановка задачи: найти решение y = (x) уравнения y(n) = f(x, y, y’’, …, y(n-1)), удовлетворяющее дополнительным условиям, состоящее в том, что решение y = (x) должно принимать вместе со своими производными до (n -1)-го порядка заданные числовые значения y 0, y’’ 0, …, y(n-1)0 при заданном числовом значении x = x 0 независимой переменной x: y=y 0, y’=y’ 0, y’’=y’’ 0, …, y(n-1) =y(n-1)0 при x=x 0. 11

Задача с начальными условиями (задача Коши) При n = 1 (уравнение первого порядка) получаем задачу Коши для уравнения y’ = f(x, y) с начальным условием x = x 0, y = y 0. Геометрически задача Коши (при n = 1) состоит в том, чтобы из всего множества интегральных кривых, представляющих собой общее решение, выделить ту интегральную кривую, которая проходит через точку М 0 с координатами x = x 0, y = y 0. 12

Задача с начальными условиями (задача Коши) Для дифференциального уравнения с начальным условием y 0 = 2 при x 0 = 1 общее решение имеет вид y = x 2 + c. Это семейство парабол. Подставим в общее решение начальные условия. Получим 2 = 1 + с, т. е. с = 1. Следовательно, частное решение, удовлетворяющее указанному начальному условию, есть y = x 2 + 1. 13

Задача с начальными условиями (задача Коши) y = x 2 + 1 Геометрически это означает, что из всего множества парабол, представляющих общее решение уравнения, выбирается одна, проходящая через точку М 0(1; 2). 14

Задача с начальными условиями (задача Коши) Методы точного интегрирования дифференциальных уравнений пригодны лишь для сравнительно небольшой части уравнений, встречающихся на практике. 15

Задача с начальными условиями (задача Коши) Методы приближенного решения дифференциальных уравнений: 1. Аналитические методы, дающие приближенное решение в виде аналитического выражения. 2. Численные методы, дающие приближенное решение в виде таблицы. 16

Численное интегрирование дифференциальных уравнений Решить дифференциальное уравнение y’=f(x, y) численным методом – это значит для заданной последовательности аргументов x 0, x 1, …, xn и числа y 0 не определяя функцию y = F(x), найти такие значения y 1, y 2, …, yn, что yi = F(xi) (i = 1, 2, …, n) и F(x 0) = y 0. 17

Численное интегрирование дифференциальных уравнений Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции y = F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h = xk - xk-1 называется шагом интегрирования. 18

Метод Эйлера Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка y’ = f(x, y) (1) с начальным условием x = x 0, y(x 0) = y 0. (2) Требуется найти решение уравнения на отрезке [a, b]. 19

Метод Эйлера Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей и получим последовательность x 0, x 1, x 2, …, xn, где xi =x 0 + i*h (i = 0; 1, 2, …, n), а h = (b-a)/n - шаг интегрирования. Выберем k-й участок [xk, xk+1] и проинтегрируем уравнение (1): 20

Метод Эйлера т. е. Если подынтегральную функцию принять на рассматриваемом интервале постоянной и равной начальному значению в точке x = xk, то получим yk+1 = yk + y’k * h = yk + yk. 21

Метод Эйлера Продолжаем процесс, при котором каждый раз принимаем подынтегральную функцию на соответствующем участке постоянной и равной ее значению в начале участка, получим таблицу решений дифференциального уравнения на заданном отрезке [a, b]. 22

Метод Эйлера Геометрический смысл – отрезок интегральной кривой заменяется на отрезок касательной к ней, проходящей через М 0(x 0, y 0). 23

Метод Эйлера Угловой коэффициент такой касательной вычисляется по формуле tg α 0 = (y 1 – y 0)/(x 1 -x 0) = f(x 0, y 0) = y’(x 0). 24

Метод Эйлера В окрестности точки x 0 функцию y(x) разложим в ряд Тейлора 25

Метод Эйлера На каждом шаге решение y(x) определяется с погрешностью за счет отбрасывания членов ряда Тейлора, пропорциональных h в степени выше первой. Это означает, что метод Эйлера имеет второй порядок локальной погрешности. 26

Метод Эйлера При постоянном шаге h для оценки погрешности применима первая формула Рунге: где yh(x) – приближенное решение дифференциального уравнения в точке x, полученное с шагом h; ykh(x) – приближенное решение уравнения с шагом k*h; p – порядок уравнения. 27

Метод Эйлера Пример 1. Проинтегрировать на отрезке [0; 1, 5] дифференциальное уравнение y’ = y - x, удовлетворяющее начальному условию x 0 = 0, y 0 = 1, 5 шаг h = 0, 25. Вычисления вести с точность до 4 -х знаков. 28

Метод Эйлера i 0 1 2 3 4 5 6 xi 0 0, 25 0, 75 1, 00 1, 25 1, 50 yi 1, 5000 1, 8750 2, 2812 2, 7265 3, 2206 3, 7758 4, 4072 yi’=yi-xi Δyi=h*yi’ 1, 5000 0, 3750 1, 6250 0, 4062 1, 7812 0, 4453 1, 9765 0, 4941 2, 2206 05552 2, 5258 0, 6314 29

Метод Эйлера 30

Метод Рунге - Кутта Для уменьшения погрешности метода интегрирования, использующего разложение искомого решения в ряд Тейлора, необходимо учитывать большее количество членов ряда. Основная идея методов Рунге-Кутта заключается в том, что производные аппроксимируются через значения функций f(x, y) в точках на интервале [x 0, x 0+h]. 31

Метод Эйлера Геометрический смысл – отрезок интегральной кривой заменяется на отрезок касательной к ней, проходящей через М 0(x 0, y 0). 32

Метод Рунге – Кутта 2 -го порядка Вар. 1 Вар. 2 y(x 0+h) = y 0 + h*[f 0(x 0, y 0) + f(x 0+h, y 0+h*f 0)]/2, (1) y(x 0+h) = y 0 + h*f 0(x 0, y 0) + f(x 0+h/2, y 0+h*f 0/2) (2) 33

Метод Рунге – Кутта 4 -го порядка Пусть на отрезке [а, в] требуется найти численное решение уравнения y’ = f(x, y) (1) с начальным условием x = x 0, y(x 0) = y 0. (2) Как и в методе Эйлера последовательные значения yi определяются по формуле yi+1 = yi+y’i*h = yi+ yi. 34

Метод Рунге – Кутта 4 -го порядка Разложим функцию в ряд Тейлора и ограничиться членами до 4 -го включительно; тогда приращение можно представить в виде: yi = (ki 1 + 2*ki 2 + 2*ki 3 + ki 4) / 6 (старая запись) yi = (k 1 i + 2*k 2 i + 2*k 3 i + k 4 i) / 6 (новая запись) 35

Метод Рунге – Кутта 4 -го порядка где k 1 = h*f(x, y), k 2 = h*f(x+h/2, y+k 1/2), k 3 = h*f(x+h/2, y+k 2/2), k 4 = h*f(x+h, y+k 3). 36

Метод Рунге – Кутта 4 -го порядка Геометрическая интерпретация k 1 = h*f(x, y), k 2 = h*f(x+h/2, y+k 1/2), k 3 = h*f(x+h/2, y+k 2/2), k 4 = h*f(x+h, y+k 3). 37

Метод Рунге – Кутта 4 -го порядка yi+1 = yi + y’i*h = yi + yi; yi = (k 1 i + 2*k 2 i + 2*k 3 i + k 4 i) / 6; k 1 = h*f(x, y), k 2 = h*f(x+h/2, y+k 1/2), k 3 = h*f(x+h/2, y+k 2/2), k 4 = h*f(x+h, y+k 3). 38

Задание 39