Задача III Краевая задача

Задача III Краевая задача для уравнения Пуассона в ограниченном цилиндре с однородными граничными условиями на поверхности цилиндра Физическая постановка задачи Найти потенциал электростатического поля внутри заземленной цилиндрической коробки кругового сечения если в коробке распределены электрические заряды с плотностью . Математическая постановка задачи (III. 1) (III. 2) (III. 3)

Подход I Используем разложение в ряд по собственным функциям оператора Лапласа, где – положительные корни ряд Фурье-Бесселя (III. 4) (III. 5) Будем решение (III. 1) в виде (III. 6) 2

Легко проверить, что функция удовлетворяет следующему уравнению Бесселя (III. 7) Подставим (III. 6) в (III. 1), учитывая (III. 4), (III. 7) получим (III. 8) 3

Сравнивая коэффициенты в суммах при функции Бесселя в равенстве (III. 8), получаем дифференциальное уравнение для неизвестной функции (III. 9) с граничными условиями (III. 10) Пусть частное решение (III. 9) . Тогда общее решение (III. 9) имеет вид (III. 11) 4

Константы найдем из условий (III. 10): (III. 12) В результате получаем решение (III. 9) в виде (III. 13) 5

Ответ Решение задачи III, первый подход (III. 14) 6

Задача III. Подход II. В этом случае представим своим функцию рядом Фурье по синусам (III. 15) Будем искать решение задачи III в виде ряда (III. 16) В силу однородных граничных условий имеем Подставим ряды (III. 15) и (III. 16) в уравнение Пуассона (III. 1) и получаем 7

(III. 17) Приравнивая коэффициенты при одинаковых , получим уравнения для (III. 18) Пусть – частное решение (III. 18). Уравнение (III. 18) приводится заменой переменной к модифицированному уравнению Бесселя нулевого порядка. Следовательно, общее решение уравнения (III. 18) имеет вид: (III. 19) 8

Учитывая конечности решения на оси цилиндра или ограниченности в нуле, получаем Тогда общее решение (III. 18) имеет вид (III. 19) Из условия (III. 20) Тогда (III. 21) 9

Общее решение задачи III. Подход II (III. 21) Общее решение исходной задачи 10