Задача II

Скачать презентацию Задача II Скачать презентацию Задача II

5_Задача_II_курсов_13.ppt

  • Количество слайдов: 9

>     Задача II   Внутренняя задача Дирихле  для Задача II Внутренняя задача Дирихле для уравнения Лапласа в ограниченном цилиндре c однородными граничными условиями на крышках Физическая постановка задачи Найти потенциал электростатического поля внутри цилиндрической коробки кругового сечения оба основания которого заземлены, а на боковой поверхности создан потенциал Математическая постановка задачи Требуется найти решение уравнения Лапласа внутри цилиндрической коробки (II. 1) граничные условия на крышках (II. 2) граничные условия (II. 3) на боковой поверхности

>Для решения поставленной задачи будем использовать метод разделения переменных а именно, решение будем искать Для решения поставленной задачи будем использовать метод разделения переменных а именно, решение будем искать в виде (II. 4) Подставим решение (2. 4) в уравнение Лапласа (II. 1), получим (II. 5) , . Разделим уравнение (II. 5) на выражение (II. 6) 2

>Функции    зависят от разных переменных, следовательно, равенство (II. 6) возможно, если Функции зависят от разных переменных, следовательно, равенство (II. 6) возможно, если выражения, входящие в это равенство, равны некоторой константе Задача 1 Требуется решить обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка (II. 7) с граничным условием (II. 8) 3

> Задача 2 Найти решение обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка    Задача 2 Найти решение обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка (II. 9) граничные условия (II. 10) Замечание . Граничные условия (II. 10) задачи 2 вытекают из условий (II. 2) исходной задачи (потенциал на крышках цилиндра равен нулю) 4

> Будем решать сначала задачу 2 В этом случае решение (II. 9) имеет вид Будем решать сначала задачу 2 В этом случае решение (II. 9) имеет вид и условия (II. 10) выполняются, если В этом случае решение (II. 9) выражается через экспоненты и условия (II. 10) могут быть выполнены только при нулевых константах (II. 11) Чтобы обеспечить выполнение (II. 10), необходимо, чтобы частные решения (II. 9) имели вид (II. 12) 5

> Перейдем к решению задачи 1      . Сделаем замену Перейдем к решению задачи 1 . Сделаем замену переменной (II. 13) Обозначим модифицированное уравнение Бесселя . (II. 14) нулевого порядка в новых переменных общее решение (II. 14) . 6

>    – модифицированная функция Бесселя    нулевого порядка первого – модифицированная функция Бесселя нулевого порядка первого рода – модифицированная функция Бесселя нулевого порядка второго рода или функция Ганкеля Так как функция Ганкеля имеет особенность в нуле, то чтобы получить ограниченное в нуле решение, положим Решением задачи 1 является функция . Частные решения задачи II выражаются следующим образом . Общее решение задачи II (II. 15) 7

>В (II. 15) коэффициенты найдем из граничного условия (II. 3) предварительно разложив функцию в В (II. 15) коэффициенты найдем из граничного условия (II. 3) предварительно разложив функцию в ряд Фурье (II. 16) (II. 17) Подставляя в (II. 3) потенциал в виде ряда (II. 15) и в виде ряда (II. 16), получаем неизвестные коэффициенты (II. 19) 8

>Ответ Решение задачи II    (II. 20)     Ответ Решение задачи II (II. 20) 9