Задача 71 Найти точку А принадлежащую плоскости

Задача № 71 Найти точку А, принадлежащую плоскости Г(а ∩ b), отстоящую от ℓ, на 15 мм и расположенную ниже прямой ℓ на 10 мм. Анализ A -искомая точка 1. {А: (A Г(а∩b), Zℓ -ZA=10)}= с – прямая; 2. {А: (A Г(а∩b), IАℓI = 15)}= Ф – цилиндр; 3. А=с ∩ Ф. Алгоритм 1. с =Г(а∩b) ∩ Σ IIℓ, Σ П 2, Zℓ -ZΣ=10 мм. Плоскость Σ пересекает Г по прямой с. 2. Ф(ℓ, R=15 мм) цилиндр. ℓ ось цилиндра, радиус 15 мм. 3. А=с ∩ Ф.

Построение множества точек, расположенных ниже прямой ℓ на 10 мм, принадлежащих плоскости Г(а∩b) Множество точек, расположенных ниже прямой ℓ на 10 мм это плоскость Σ (ΣIIℓ, Σ П 2) Zℓ -ZΣ =10 мм. Множество точек, расположенных ниже прямой ℓ на 10 мм и принадлежащих плоскости Г(а∩b) – прямая с. Плоскость Σ пересекает Г по прямой с: с =Г(а∩b) ∩ Σ

Построение множества точек, расположенных ниже прямой ℓ на 10 мм, принадлежащих плоскости Г(а∩b) прямая с =Г(а∩b) ∩ Σ

Построение множества точек, отстоящих от прямой ℓ на 15 мм – это цилиндр Ф(ℓ, R=15 мм), ℓ - ось цилиндра Множество точек пространства, равноудаленных от данной прямой, есть поверхность кругового цилиндра, осью которого является данная прямая. Вводим новую плоскость П 4 ℓ, П 4 П 1. На П 4 цилиндр Ф становится проецирующим - содержит проекции точек А и А' пересечения линии с с поверхностью цилиндра Ф.

Множество точек, равноудаленных от прямой ℓ на 15 мм, есть поверхность кругового цилиндра Ф радиуса 15 мм , осью которого является данная прямая ℓ

Построение точек А и А’, принадлежащих плоскости Г(а∩b), отстоящих от ℓ, на 15 мм и расположенных ниже прямой ℓ на 10 мм. На П 4 цилиндр Ф пересекается с линии с в точках А и А′. По линиям связи по принадлежности находим горизонтальные А 1, А ′ 1 и фронтальные А 2, А′ 2 проекции искомых точек.

Искомые точки А и А’ найдены в пересечении цилиндра Ф с прямой с

Задача № 72 На прямой b(МN) найти точки, удалённые от прямой а(АВ) на 20 мм. Анализ C, D -искомые точки 1. {C, D : (C, D b(МN))} = b – прямая; 2. {C, D : ( ICа. I=IDа. I=20)} = Ф – цилиндр; 3. C, D = b ∩ Ф. Алгоритм 1. Прямая b(МN) на чертеже есть; 2. Ф(а, R=20 мм) – цилиндр; А(АВ) ось цилиндра, радиус 20 мм. 3. C, D = b ∩ Ф.

Множество точек, принадлежащих прямой b(МN) это сама прямая b

Множество точек, удалённых от прямой а(АВ) на 20 мм, есть поверхность кругового цилиндра Ф радиуса 20 мм , осью которого является прямая а(АВ)

Преобразуем прямую а(АВ) - ось цилиндра в линию уровня Вводим новую плоскость П 4 II а(АВ), П 4 П 1. Проецируем прямые а(АВ) и b(МN) на П 4. На линиях связи, перпендикулярных x 14, отложим высоты (координаты Z) точек А, В и М, N. На П 4 ось цилиндра преобразуется в линию уровня.

Преобразуем ось цилиндра а(АВ) в проецирующую прямую Вводим новую плоскость П 5 а(АВ), П 5 П 4. Проецируем прямые а(АВ) и b(МN) на П 5. На линиях связи, перпендикулярных x 45, отложим координаты Y точек А , В и М, N. На П 5 ось цилиндра а(АВ) проецируется в точку (А 5=В 5), цилиндр в окружность R=20.

Построение точек, принадлежащих прямой b(МN) и удалённых от прямой а(АВ) на 20 мм На П 5 цилиндр Ф становится проецирующим содержит проекции точек C и D пересечения линии b(МN) с поверхностью цилиндра Ф. Обратным построением с помощью линий связи, по принадлежности прямой b(МN), находим горизонтальные и фронтальные проекции искомых точек C и D.

Построение точек C D, принадлежащих прямой b(МN) и удалённых от прямой а(АВ) на 20 мм – пересечение цилиндра Ф радиуса 20 мм , осью которого является прямая а(АВ) с прямой b (МN )

Задача № 73 Построить ромб KLMN по заданной диагонали KM и горизонтальной проекции вершины L. L, N - искомые точки 1. Множество точек, конкурирующих на П 1 - это горизонтально проецирующая прямая i. 2. Множество точек пространства, равноудаленных от двух точек M и K, есть плоскость Т, проходящая через середину отрезка [MK] и перпендикулярная к нему. A Т(h∩ f) MK, IMAI=IKAI, K 1 M 1 h 1 , K 2 M 2 f 2

Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения делятся на две равные части: IАMI=IAKI. Вершина L задана горизонтальной проекцией L 1. Вершина L равноудалена от вершин K и М.

Множество точек, конкурирующих на П 1 это горизонтально проецирующая прямая i.

Множество точек, равноудаленных от вершин K и L есть плоскость T, исходящая из середины (A) отрезка [KL] и перпендикулярная ему.

Построение плоскости Т(h ∩ f) – множества точек, равноудаленных от точек M и K Делим [KM] на две равные части: IАMI=IAKI. Из точки A проводим горизонталь h 1 К 1 M 1. Из точки А проводим фронталь f 2 К 2 М 2. Получим проекции плоскости Т(h ∩ f).

Построение фронтальной проекции (L 2) точки L Находим фронтальную проекцию L 2 точки L по принадлежности к плоскости T. Из L 1 проводим горизонтальную проекцию фронтали f′ 1. Определяем точку 1 пересечения f′ с горизонталью h. Из точки 1 проводим фронтальную проекцию фронтали f′ 2. По линии связи определим проекцию L 2 точки L. .

Построение проекций ромба Из условия равенства: IKLI=INMI, IMLI=INKI и параллельности: KLIINM, MLIINK, сторон ромба достраиваем проекции его сторон.

Задача № 74 В плоскости Г(А, h) найти точки, удалённые от горизонтали h на 10 мм, а от точки В на 15 мм. Анализ C, D -искомые точки 1. {C, D : (C, D Г(А, h) ICh. I=IDh. I=10)}= а – прямая; 2. {C, D : (C, D ICВI=IDВI=15)}= Ф – сфера; 3. C, D = а ∩ Ф. Алгоритм 1. Ψ (h, R=10 мм) – цилиндр, Ψ ∩ Г= а – прямая; 2. Ф (В, R=15 мм) – сфера. В – центр сферы, радиус R=15 мм; 3. C, D = а ∩ Ф.

Множество точек, удалённых от h на 10 мм, есть цилиндр Ψ (h, R=10 мм) радиуса 10 мм, h – ось цилиндра. Множество точек, отстоящих от h на 10 мм в плоскости Г – это прямые линии а и а', результат пересечения плоскости Г с поверхностью цилиндра Ψ.

Множество точек, отстоящих от B на 15 мм - это сфера Ф (В, R=15 мм). В - центр сферы, радиус R=15 мм.

Плоскость Г(А, h) пересекает сферу Ф по окружности с. Искомые точки С и D определим как результат пересечения линии а с поверхностью сферы Ф. Прямая а' со сферой не пересекается.

Преобразование плоскости Г(А, h) в проецирующую. Ось h(h 1 h 4) цилиндра Ψ - в проецирующую прямую. Вводим новую плоскость П 4 h(h 1 h 2), П 4 П 1. Проецируем точки А и В на П 4. На линиях связи, перпендикулярных x 14, отложим координаты Z точек А и В. На П 4 ось цилиндра h проецируется в точку (h 4), цилиндр - в окружность R=10.

Построение прямой линии а – множества точек, отстоящих от h на 10 мм в плоскости Г(А, h). Из h 4 проводим окружность R=10 – проекцию цилиндра Ψ на плоскость П 4. В пересечении проекции Ψ 4 цилиндра Ψ с плоскостью Г, фиксируем проекцию а 4 прямой линии а Проекция а 1 прямой линии а на П 1 совпадает с линией связи из а 4. Проекцию а 2 прямой линии а на П 2 проведём параллельно h 2 на высоте Za.

Построение сферы Ф – множества точек, отстоящих от В на 15 мм. Из В 4 проводим окружность R=15 – проекцию сферы Ф на плоскости П 4.

Построение точек С и D пересечения сферы Ф с прямой а Точки пересечения сферы Ф с прямой а найдём с помощью окружности с (О, Rc), которая проецируется на П 1 без искажения. Из В 1 проводим проекцию с1 окружности с радиусом Rc. В пересечении проекции с1 окружности с и проекции а 1 прямой линии а, фиксируем проекции С 1 и D 1 искомых точек. Обратным построением, по линиям связи, по принадлежности прямой а, находим фронтальные проекции C 2 и D 2 искомых точек С и D. Содержание