Задача 18 Вариант 105 Окружность касается стороны

Задача 18. Вариант 105

Окружность касается стороны АВ параллелограмма АВСD, пересекает стороны AD и ВС в точках М и N соответственно и проходит через вершины С и D. а) Докажите, что DN = CM. б) Найдите DN, зная, что АМ = 9, BN = 16, ВС = 18. А 9 M P В 16 N С ВС=18 D

Окружность касается стороны АВ параллелограмма АВСD, пересекает стороны AD и ВС в точках М и N соответственно и проходит через вершины С и D. а) Докажите, что DN = CM. б) Найдите DN, зная, что АМ = 9, BN = 16, ВС = 18. Доказательство: 1. ABCD – параллелограмм, MD || NC NMDC – трапеция. 1. Точки M, D, C, N – лежат на окружности, трапеция NMDC вписана в окружность. 3. По свойству четырёхугольника, вписанного в окружность имеем, N + D = M + C = 180. N и M – внутренние односторонние при MD || NC и MN – секущей N + M = 180. Получаем, что D = M трапеция NMDC равнобедренная МС = ND. А 9 M P В 16 N С ВС=18 D

Окружность касается стороны АВ параллелограмма АВСD, пересекает стороны AD и ВС в точках М и N соответственно и проходит через вершины С и D. а) Докажите, что DN = CM. б) Найдите DN, зная, что АМ = 9, BN = 16, ВС = 18. А Решение: 1. АВ – касательная к окружности, Р – точка касания, AР 2 = АМ AD = 9 18, ВР 2 = BN BC = 16 18. 9 M P 2. NMDC равнобедренная трапеция MN = DC и AB = CD AMNB – равнобедренная трапеция. В 16 N С ВС=18 D

Окружность касается стороны АВ параллелограмма АВСD, пересекает стороны AD и ВС в точках М и N соответственно и проходит через вершины С и D. а) Докажите, что DN = CM. б) Найдите DN, зная, что АМ = 9, BN = 16, ВС = 18. Решение: 1. NMDC равнобедренная трапеция MN = DC и AB = CD AMNB – равнобедренная трапеция. 9 M 9 Н 16 3, 5 А 2. МКС – прямоугольный. В Ответ: ND = 30. 3, 5 2 К N С