Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4 Задача 5 Задача 6 Задача 7 Задача 8 Теоретическое введение
Правила Кирхгофа Для разветвленных цепей имеют место два закона Кирхгофа: первый закон Кирхгофа - алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю: второй закон Кирхгофа - в любом замкнутом контуре алгебраическая сумма падений потенциала на отдельных участках цепи равна алгебраической сумме э. д. с. , встречающихся в этом контуре: При применении законов Кирхгофа надо руководствоваться следующими правилами: на схеме произвольно указываются стрелками направления токов у соответствующих сопротивлений. Обходя контур в произвольном направлении, будем считать положительными те токи, направления которых совпадают с направлением обхода, и отрицательными те направления которых противоположны направлению обхода. Положительными э. д. с. будем считать те э. д. с. , которые повышают потенциал в направлении обхода, т. е. э. д. с. будет положительной, если при обходе придется идти от минуса к плюсу внутри генератора.
Напомним В результате решения составленных уравнений определяемые величины могут получиться отрицательными. Отрицательное значение тока указывает на то, что фактическое направление тока на данном участке цепи обратно принятому. + -
Задача № 1 Условие задачи Найти токи Ii в отдельных ветвях мостика Уинстона при условии, что через гальванометр идет ток Ir=0. Э. д. с. элемента Е=2, 2 В. Сопротивления резисторов Ri=30 0 м, R 2=45 0 м и R 3=200 0 м.
Решение: Дано: Е=2, 2 В R 1=30 0 м R 2=45 0 м R 3=200 0 м Ir=0 I 1 , I 2 , I 3 , I 4 – ? узел В: I 1 - I 2 = 0 I 1 = I 2 (1) узел D: I 3 – I 4 = 0 I 3 = I 4 (1) По второму правилу Кирхгофа составим уравнения для контуров BСDВ и АВDА. Контур BСDВ: I 2 R 2 – I 4 R 4 = 0 (2) Данное выражение получилось таким из условия, что r = 0 (3) Контур АВDА: I 1 R 1 - I 3 R 3=0 (4) Контур АВСEFА: (5) Преобразуем выражение (4) и подставим формулу (5), получаем I 1 R 1 = I 3 R 3 = Ответ: токи в ветвях с сопротивлениями R 1 и R 2 равны I 1=I 2=26, 7·l 0 -3 А, токи в ветвях с сопротивлениями R 3 и R 4 равны I 3=I 4=4·l 0 -3 А.
Задача № 2 Условие задачи Э. д. с. элементов E 1=2, l В и E 2=l, 9 В, сопротивления R 1=45 0 м, R 2=10 0 м и R 3=10 0 м. Найти токи Ii во всех участках цепи.
Дано: E 1 A E 1=2, l В Е 2=1, 9 В R 1=45 0 м R 2=10 0 м R 3=10 0 м E 2 I 1 , I 2 , I 3 – ? D Решение: R 1 I 2 R 2 B I 1 R 3 По первому правилу Кирхгофа составим уравнение для узла С: -I 1 + I 3 + I 2 = 0 I 1 = I 2 + I 3 По второму правилу Кирхгофа составим уравнения для контуров АВСА и ACDA: C контур АВСА: I 3 R 3+I 1 R 1 = E 1, контур ACDA: I 1 R 1+I 2 R 2 = E 2. Подставим полученное выражение в (1), получаем: Ток, текущий в ветви с сопротивлением R 3, найдем из формулы (2), как I 3 = I 1 - I 2.
Ответ: токи в участках цепи с сопротивлениями R 1, R 2, R 3 соответственно равны I 1=0, 04 А, I 2=0, 01 А, I 3=0, 03 А.
Задача № 3 Условие задачи Два элемента с одинаковыми э. д. с. E 1=E 2=2 В и внутренними сопротивлениями r 1=l 0 м и r 2=2 0 м замкнуты на внешнее сопротивление R. Через элемент с э. д. с. E 1 течет ток I 1=l А. Найти сопротивление R и ток I 2, текущий через элемент с э. д. с. E 2. Какой ток I течет через сопротивление R?
Дано: E 1=E 2=2 В r 1=l 0 м r 2=2 0 м I 1=l А R, I 2, I – ? B A C I E 1 F Контур ABEFA: R E I 2 Решение: E 2 D По первому правилу Кирхгофа составим уравнение для узла B. По второму правилу Кирхгофа составим уравнения для контуров ABEFA и BCDEB. I 1 r 1+IR=E 1 (2) Контур BCDEB: I 2 r 2+IR=E 2 (3) (4) Ответ: внешнее сопротивление R равно R=0, 66 0 м, сила тока, текущего через элемент с э. д. с. Е 2 равна I 2=0, 5 А, сила тока, идущего через внешнее сопротивление R равна I=1, 5 А. Подставим выражение (3) в (1), получаем Подставим выражение (4) в (2), получаем
Задача № 4 Условие задачи Батареи имеют э. д. с. E 1=110 В и Е 2=220 В, сопротивления R 1=R 2=100 0 м, R 3=500 0 м. Найти показания амперметра.
Дано: A Е=1, 1 В r=1 Ом R=9 Ом A B Решение: C E 2 I 1 R 1 I, Ur, U, – ? R 3 I 3 E 1 F E I 2 R 2 D По первому правилу Кирхгофа составим уравнение для узла E: По второму правилу Кирхгофа составим уравнения для контуров ABEFA и BCDEB: контур ABEFA: I 1 R 1+I 3 R 3=E 1, контур BCDEB: I 2 R 2+I 3 R 3=E 2, (E 1 - I 1 R 3)R 2 + R 3 E 1 - I 1 R 1 R 3 = E 2 R 3 Отрицательный знак у тока I 1 указывает на то, что направление тока нами было взято неправильно, направление тока будет от F к А. Ответ: амперметр покажет силу тока, равную I 1 =0, 4 А.
Задача № 5 Условие задачи Батареи имеют э. д. с. E 1=2 В и E 2=1 В, сопротивления R 1=l к. Ом, R 2=0, 5 к. Ом и R 3=0, 2 к. Ом, сопротивление амперметра RA=0, 2 к. Ом. Найти показания амперметра.
Решение: Дано: E 1=2 В Е 2=1 В R 1 = 103 Ом R 2=500 Ом R 3=200 Ом RA=200 Ом IА – ? A B I 2 R 2 C A I 1 R 1 E 1 F R 3 I 3 По первому правилу Кирхгофа составим уравнение для узла Е: I 2+I 3 -I 1=0. E 2 D По второму правилу Кирхгофа составим уравнения для контуров АВЕFA и BCDEB, E Контур ABEFA: I 2 R 2+I 1 R 1=E 1 Контур BCDEB: I 3 R 3+IR 1+I 3 RA=E 2 Составим матрицу из данной системы: Подставим числовые значения и решим данную матрицу методом, используя метод Гаусса.
Отсюда 1, 1 I 3 = -0, 0005 Отрицательный знак у тока I 3 указывает на то, что направление тока нами было выполнено неправильно и ток I 3 течет в обратном направлении. Ответ: амперметр показывает величину силы тока, равную I=3, 3· 10 -4 A.
Задача № 6 Условие задачи Батареи имеют э. д. с. E 1=E 2. Сопротивление R 1=R 2=100 Ом. Сопротивление вольтметра RV=150 Ом. Показания вольтметра U=150 В. Найти э. д. с. батарей.
Решение: Дано: Зная, что показание вольтметра есть произведение силы тока в этой цепи на его собственное сопротивление получаем, что E 1= Е 2 R 1= R 2=100 Ом RV=150 Ом U=l 50 В По первому правилу Кирхгофа составим уравнение для узла Е: E 1 = Е 2 – ? Используя выражение (1), преобразуем (2), получаем, что По второму правилу Кирхгофа составим уравнения для контуров. ABEA: I 1 R 1+IRV=E 1, BCEB: I 2 R 2+IRV=E 2, Используя формулу (1), получаем, что Подставим полученные формулы в (3), получаем Ответ: батареи, включенные в цепь, будут иметь э. д. с. равную E 1=E 2=200 B.
Задача № 7 Условие задачи Элементы имеют э. д. с. E 1=E 2=l, 5 В и внутренние сопротивления r 1=r 2=0, 5 Oм. Сопротивления R 1=R 2=2 Oм и R 3=1 0 м. Сопротивление амперметра RA=3 Oм. Найти показание амперметра.
Решение: Дано: E 1= Е 2 = 1, 5 B r 1=r 2=0, 5 Oм R 1= R 2=100 Ом R 3=1 Ом RA=3 Ом IA – ? E 1 E 2 R 1 I A I 3 R 3 I 2 R 2 IA A F E I 1 E 2 Rэкв B C I 2 D где I 3 - сила тока на резисторе R 3, IA - сила тока на амперметре. По первому правилу Кирхгофа напишем уравнения для узла С: I 1+I 2 -I=0 I=I 1+I 2. (2) По второму правилу Кирхгофа напишем уравнения для контуров ABDEA и FCDEF. ABDEA: I 1 r 1+IR=E 1, FCDEF: I 2 r 2+IR=E 2. Отсюда выразим I 1 и I 2 и подставим их выражения в (2), получаем: Подставим (4) в (1), получаем: 1) из параллельности соединения R 3 и RA их 2) из последовательности соединения R 1, R 2 и Rобщ их
Подставляя (6), (3) в (5), получаем Ответ: показание амперметра в данной ветви цепи будет IA=75· 10 -3 А.
Задача № 8 Условие задачи Элемент имеет э. д. с. Е=200 В. Сопротивление R 1=2 к. Ом и R 2=3 к. Ом. Сопротивление вольтметров RV 1=3 к. Ом и RV 2=2 к. Ом. Найти показания вольтметров V 1 и V 2, если ключ К: а) разомкнут, б) замкнут. Задачу решить, применяя правила Кирхгофа.
Решение: E Дано: R 1=2000 Oм R 2=3000 Oм RV 1=3000 Oм RV 2=2000 Oм Е=200 В V 1 A B I 1 V 2 K R 1 E F Rэкв. V R 2 C I 2 E Rэкв D а) Рассмотрим случай, когда ключ К разомкнут. По первому правилу Кирхгофа напишем уравнение для узла С: U 1, U 2 -? По второму правилу Кирхгофа напишем уравнение для контура ABCFА. ABCFA: I 1 Rэкв. V=E. Или, с использованием (1), получаем: б) Рассмотрим второй случай, когда ключ К замкнут. E A B I D Rэкв 1 Rэкв 2 C Применяя второе правило Кирхгофа напишем уравнение для контура ABCDA: IRэкв 1 + IRэкв 2 = Е (5)
Подставим (3), (4) в (5), получаем Из ранее предложенного рассуждения показания вольтметров будут определяться по формуле, как U 1 = IRэкв 1 U 1 = IRэкв 2 Используя формулы (3) и (4), получаем Ответ: при разомкнутом ключе вольтметры показывают напряжения U 1=120 В и U 2=80 В. При замкнутом ключе — U 1= U 2=100 В.