Задача 1. Имеется 2 ящика с деталями. В первом ящике находятся 8 исправных и 2 неисправных детали. Во втором – 7 исправных и 3 неисправных. Берем наугад деталь из случайного ящика. Вероятность взятия детали из первого ящика = 1/4. Какова вероятность, что деталь неисправная? Решение. Обозначим: Н 1 – деталь из 1 ящика А/Н 1 – неисправная деталь из 1 ящика Н 2 – деталь из 2 ящика А/Н 2 – неисправная деталь из 2 ящика А – неисправная деталь Таким образом Р(А/Н 1) = 2/10 Р(А/Н 2) = 3/10 Р(Н 1) = 1/4 Р(Н 2) = 1 – 1/4 = 3/4 По формуле полной вероятности: Р(А) = 1/4 * 2/10 + 3/4 * 3/10 = 11/40 Ответ: 11/40
Задача 2. Я решила, что завтра мне пора сходить в магазин за продуктами. Вероятность того, что я выйду, если не будет дождя = 0. 6. Если будет дождь, то вероятность 0. 2. Вероятность дождя = 0. 7. Какова вероятность, что я выйду из дома? Решение. Обозначим: Н 1 – дождь Н 2 – нет дождя А – выход Р(Н 1) = 0. 7 Р(А/Н 1) = 0. 2 Р(Н 2) = 1 – 0. 7 = 0. 3 Р(А/Н 2) = 0. 6 Подставляем в формулу полной вероятности: Р(А) = 0. 7 * 0. 2 + 0. 3 +0. 6 = 0. 32 Ответ: 0. 32
Задача 3. Три организации представили в контрольное управление счета для выборочной проверки. Первая организация представила 15 счетов, вторая — 10, третья — 25. Вероятности правильного оформления счетов у этих организаций известны и соответственно равны: 0, 9; 0, 85. Был выбран один счет и он оказался правильным. Определить вероятность того, что этот счет принадлежит второй организации. Решение. Пусть А 1, А 2, А 3 - события выбора счета у первой, второй и третьей организаций. Соответствующие вероятности будут Р(А 1) = 15/50; Р(А 2) = 10/50; Р(А 3) = 25/50 По формуле полной вероятности определяем вероятность выбора правильно оформленного счета Р(В) = 0. 9 * (15/50) + 0. 8 * (10/50) +0. 85 * (25/50) = 0. 855 По формуле Байеса находим исходную вероятность Р(А 2/В) = 0. 2 *0. 8/0. 855 = 0. 19 Ответ: 0. 19
Задача. Среди поступающих на склад деталей 30% из цеха 1, 70% − из цеха 2. Вероятность брака для цеха 1 равна 0, 02, для цеха 2 – 0, 03. Наудачу взятая деталь оказалась доброкачественной. Какова вероятность того, что она изготовлена в цехе 1? Решение. Обозначим гипотезы: H 1 – деталь поступила из цеха 1 H 2 – деталь поступила из цеха 2. Очевидно, что Р(Н 1) = 0. 3, Р(Н 2) = 0. 7. Далее обозначим A – наудачу взятая деталь оказалась доброкачественной. По условию задачи имеем: Р(А/Н 1) = 1 – 0. 02 = 0. 98 Р(А/Н 2) = 1 – 0. 03 = 0. 97 Тогда по формуле Байеса искомая вероятность равна Р(Н 1/А) = Р(Н 1)Р(А 1/Н) / Р(Н 1)Р(А/Н 1) + Р(Н 2)Р(А/Н 2) = 0. 7 * 0. 98 / 0. 7 * 0. 98 + 0. 3 * 0. 97 = 0. 686 / 0. 686 + 0. 291 = 0. 686 / 0. 977 = 0. 7021.
Задача. Трое учащихся на экзамене независимо друг от друга решают одну и ту же задачу. Вероятности ее решения этими учащимися равны 0, 8, 0, 7 и 0, 6 соответственно. Найдите вероятность того, что хотя бы один учащийся решит задачу. Решение. Введем событие X = (Хотя бы один учащийся решит задачу) и противоположное ему X‾ = (Ни один учащийся не решит задачу). Введем вспомогательные события: A 1 = (Первый учащийся решил задачу), A 2 = (Второй учащийся решил задачу), A 3 = (Третий учащийся решил задачу), вероятности P(А 1) = 0, 8 , P (А 2) = 0, 7 , P (А 3 ) = 0, 6. Выразим событие X‾ = А 1‾ * А 2‾ * А 3‾. Считаем вероятность как вероятность произведения независимых событий: Р(Х‾) = Р(А 1‾ * А 2‾ * А 3‾) = Р(А 1)‾ * Р(А 2)‾ * Р(А 3)‾ = (1 - 0. 8)(1 – 0. 7)(1 - 0. 6) = 0. 2 * 0. 3 * 0. 4 = 0. 024 Тогда вероятность искомого события Р(Х) = 1 – Р(Х)‾ = 1 – 0. 024 =0. 976 ОТВЕТ. 0, 976.