Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ Кратко Z-преобразование это дискретный

Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЕ

Кратко • Z-преобразование – это дискретный аналог преобразования Лапласа. • Преобразование Лапласа оперирует с непрерывными сигналами; применять его к дискретным сигналам нельзя.

Определение Преобразование Лапласа для непрерывной функции имеет вид: Дискретизируем это выражение:

Определение Если в формуле для ДПЛ положить z=exp(p ), f(k )=xk , то мы приходим к Z-преобразованию: Таким образом, последовательности чисел xk ставится в соответствие функция комплексного переменного.

У нас и у них • В российской и европейской математической традиции принято использовать букву z. • В американской – букву s. • Как следствие, в последние годы в разнообразных русскоязычных источниках (в том числе в интернете) стала появляться буква s.

Значение Z-преобразования С помощью Z-преобразования удобно описывать свойства дискретных последовательностей и их преобразований, выполняемых цифровыми фильтрами, поскольку методы, базирующиеся на Z – преобразовании, имеют много общего с операторными методами, используемыми в теории аналоговых сигналов.

Примеры Z-преобразований • Единичный импульс {xk}=1, 0, 0, 0. . . F(z)=1 • Единичный скачок • Прямоугольный импульс

Примеры Z-преобразований • Геометрическая прогрессия

Примеры Z-преобразований • Сигнал с экспоненциальной огибающей x(t)=exp(-ak ) может рассматриваться как частный случай геометрической прогрессии при q=exp(-a )

Примеры Z-преобразований • Экспоненциально затухающая синусоида: Чтобы вычислить Z-преобразование такого сигнала, достаточно представить косинус как сумму двух комплексных экспонент (формула Эйлера), а затем воспользоваться результатом предыдущего примера.

Сходимость Z-преобразования Функция F(z), являющаяся аналитической функцией комплексного переменного, определена только для области Z, в которой степенной ряд сходится. Таким образом, вычисляя Z-преобразование некоторого сигнала, необходимо знать область (радиус) сходимости Z-преобразования.

Сходимость Z-преобразования Конечные последовательности сходятся. Если {xk} является последовательностью конечной длины N, т. е. ее члены отличны от нуля только для 0 k N-1 , то при условии, что F(z) сходится в Z-плоскости везде, за исключением точек z=0 и z=.

Сходимость Z-преобразования В примере с прямоугольным импульсом F(z) сходится при всех z за исключением точки z=0.

Сходимость Z-преобразования В примерах единичного скачка и геометрической прогрессии область сходимости определяется соответственно неравенствами

Сходимость Z-преобразования Если F(z) содержит бесконечное число слагаемых, то ряд сходится в области при условии где M>0, R 0>0 - вещественные константы. В области Z > R 0 F(z) – аналитическая функция, не имеющая полюсов и существенно особых точек.

Обратное Z-преобразование Пусть F(z) - функция комплексного переменного, аналитическая в области z > R 0. Тогда в этой области она может быть представлена рядом по степеням z -k: F(z)=x 0+x 1 z-1+x 2 z-2+. . . ; k=0, 1, 2. . . с некоторыми xk, образующими бесконечную последовательность (x 0, x 1, x 2. . . xk). Умножим левую и правую часть ряда на zm-1: zm-1 F(z)=x 0 zm-1+x 1 zm-2+. . . +xmz-1

Обратное Z-преобразование Интегрируя обе части равенства по замкнутому контуру, лежащему в области аналитичности (R>R 0) и охватывающему все полюсы F(z), получим

Обратное Z-преобразование Согласно теореме Коши Следовательно,

Обратное Z-преобразование Следовательно, Или

Обратное Z-преобразование Пример Пусть задано Z-преобразование Найдем соответствующую ему исходную последовательность {xk}.

Таким образом, {xk}=1, 1, 0, 0, 0. Проверка:

Обратное Z-преобразование На практике обратное Z -преобразование часто находят путем представления функции F(z) в виде произведения на простых сомножители, а затем – в виде суммы простых дробей. =

Например = Сравнивая это выражение с рассмотренными выше примерами, легко видеть, что первое слагаемое есть Z –преобразование скачка с амплитудой, равной 2, а второе слагаемое соответствует Z –преобразованию геометрической прогрессии с показателем q=1/2. Следовательно, исходная последовательность имеет вид: x(k)= 2 -2 k , k>=0.

Связь Z-преобразования с другими преобразованиями Если принять j =P, то вернемся к преобразованию Лапласа. При этом связь между координатами некоторой точки в плоскости p= +j и соответствующей точкой в плоскости Z=x+jy определяется соотношением Z=x+jy=exp( +j ) ; или x=exp( )Cos( ) , y=exp( )Sin( ).

• При движении точки P-плоскости вдоль оси j (т. е. при =0) соответствующая точка Z плоскости описывает окружность единичного радиуса. Один полный оборот радиус-вектора соответствует изменению частоты в интервале 1 1+2 / .

При движении точки вдоль оси P в пределах от -j до j точка z описывает бесконечно большое число окружностей. Таким образом, взаимно -однозначное отображение P на Z существует только для полосы P плоскости между /. Внутри этой полосы левая полуплоскость отображается внутрь единого круга, все параллельные полосы ширины / отображаются в этот же круг.

Свойства Z-преобразования • Линейность. Если F 1(z) и F 2(z) являются Zпреобразованиями последовательностей {x 1(k)} и {x 2(k)}, то Z-преобразование суммарной последовательности y(k)=ax 1(k)+bx 2(k), где a, b -действительные числа, Fy(z)=a. F 1(z)+b. F 2(z)

Свойства Z-преобразования • Теорема сдвига (запаздывания). Если последовательность x 1(k) имеет Zпреобразование, то Z-преобразование сдвинутой последовательности x 2(k)=x 1(k-k 0) при любом k>k 0 имеет вид

(при k < k 0 xk = 0) Отсюда следует, что оператор z-1 соответствует задержке на один такт (оператор единичной задержки).

Свойства Z-преобразования • Z-преобразование свертки. Пусть Тогда т. е. Z-преобразование дискретной свертки равно произведению Z-преобразований свертываемых последовательностей.

Билинейное преобразование

Билинейное преобразование Особенности метода: • Позволяет для получения H(z) подставлять в H(p) просто некоторую функцию от z. Это устраняет необходимость в Z-преобразовании, а также в разложении на простые дроби. • Отображает всю P-плоскость на Z-плоскость, устраняя эффекты наложения. • Вносит нелинейные искажения частотной оси H(z) относительно H(p), что делает переходную полосу ФНЧ более крутой.

Билинейное преобразование • Требуется найти такую дробно-рациональную функцию P(Z), которая обладала бы основным свойством Z-преобразования; а именно, переводила бы точки прямой j на плоскости P в точки единичной окружности на плоскости Z. В общем виде такая функция может быть представлена в виде ряда

Билинейное преобразование • Чаще всего ограничиваются первым членом ряда. При этом

Билинейное преобразование • Если имеется передаточная функция фильтра-прототипа H(p), то ее можно преобразовать в H(z) путем подстановки вместо p выражения

Билинейное преобразование • При билинейном преобразовании любой полюс, расположенный в левой pполуплоскости, отображается внутрь единичной окружности. • То есть, устойчивые полюса отображаются в устойчивые полюса.

Билинейное преобразование • При использовании билинейного преобразования ось частот jω p-плоскости отображается на единичную окружность, но это преобразование нелинейно:

Билинейное преобразование • Или, наоборот,

Билинейное преобразование • Таким образом, билинейное преобразование однозначно отображает всю ось частот p-плоскости на единичную окружность:

Билинейное преобразование • При проектировании фильтра следует учитывать искажение частот. Для этого перед расчетами следует преобразовать заданные частоты согласно приведенным выше формулам.

• Если не учесть искажения частот, то фильтр работать будет, но: – частоты среза и подавления будут другими; – это изменение приведет к большей крутизне АЧХ; – Большая крутизна АЧХ приведет к увеличению порядка фильтра и, как следствие, к увеличению требований к производительности системы.

Теорема Парсеваля дискретных сигналов • Энергия непрерывного сигнала может быть вычислена путем интегрирования в бесконечных пределах: или квадрата временной реализации x 2(t), или квадрата ее спектра

Теорема Парсеваля дискретных сигналов • Энергия дискретного сигнала также может быть выражена через квадраты отсчетов во временной и частотной области, однако наряду с такими представлениями возможно выражение энергии сигнала через его Z-преобразование:

Теорема Парсеваля дискретных сигналов • Здесь замкнутый контур L располагается в области сходимости F(z) и F(1/z). Если последовательность x(k) - убывающая, все полюсы ее z-преобразования находятся внутри единичной окружности на плоскости z. В этом случае за контур интегрирования может быть принята окружность |Z|=1.