z ось аппликат Начало координат точка O ос

z ось аппликат Начало координат точка O ос ь аб сц ис с О x Оси координат - Ox, Oy, Oz ось ординат y Координатные плоскости Oxy, Oyz, Ozx Система координат Oxyz

Положительная полуось О тр иц ат ел ьн ая по лу ос ь z x Отрицательная полуось По ло жи те ль на я по лу ос ь Отрицательная полуось О Положительная полуось y Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, полуосью а другой луч – отрицательной полуосью

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются координатами точки z M 3 M О M 2 y M (x; y; z) x = OM 1 x абсцисса y = OM 2 ордината z = OM 3 аппликата

z I O (0; 0; 0) N (5; 0; 0) I D I I F (0; -2; 0) I I D(0; 0; 4) I I I I N x I R I I I О I I I F I M I I y R(0; 0; -0, 5) S(x; 0; 0) Ox M(0; 3; 0) P(0; y; 0) Oy T(0; 0; z) Oz

z I I A I I I I I M C О I I I I I R x D N I N (5; 4; 0) C (2; -1; 0) R (-3; 0) F F(0; 4; 3) A(0; -3; 4) M(7; 0; 2) y D(6; 0; -3) I I S(x; y; 0) Oxy P(0; y; z) Oyz T(x; 0; z) Oxz

Точка лежит На оси Ox (x; 0; 0) Oy (0; y; 0) Oz (0; 0; z) В координатной плоскости Oxy (x; y; 0) Oyz (0; y; z) Oxz (x; 0; z)

z I N I I О I I I I I y R(-2; -3; 4) M(7; 0; -1) I I I M I C I I I x I I D (5; 4; -3) F(-3; 3; -7) N(0; 0; 4) I II I I I I I I I I R A (4; -2, 5; 7) S (5; 4; 8) S I A D F C(7; 4; -1)

z I I i =1; j =1; k =1 i , j и k – координатные векторы p I I i O I j I I I причем I коэффициенты разложения определяются единственным образом. y I p{ x; y; z} координаты вектора I I I I p = x i + y j + zk I I I F Координатные векторы не компланарны. Поэтому любой вектор можно разложение вектора по разложить по координатным векторам, т. е. представить в виде I x F(x; y; z)

z Вектор, начало которого совпадает с началом координат – радиус-вектор. I I I S i I I O j I I x I I y S(4; 5; 8) p {4; 5; 8} I I I I k I I p Координаты радиус-вектора совпадают с координатами конца вектора. p =4 i +5 j +8 k

z I R OT {4; 5; 0} I D I OF {-1; 3; -6} I I I OD {-1; 3; 3} I I j I I y OE {6; 0; 3} ON {0; -3; 0} OR {-2; -3; 4} I T I x I I M I I I I E I I i O I I k NI OM {5; 0; 0} F

z I I O (0; 0; 0) 0 {0; 0; 0} 0 =0 i + 0 j + 0 k I I i {1; 0; 0} I r I i O I f I I x I I I I j {0; 1; 0} I I k e I j I I y e {-1; 0; 0} r {0; -1; 0} f {0; 0; -1} k {0; 0; 1} e=–i r=–j f=–k

AB a AB A B a Перпендикуляр на прямую A B Перпендикуляр на плоскость

Oyz z M 3 О M y y M M 1 x M(x; y; z) M 2 x Ox z z Найти проекции точки М на координатные плоскости. Oxy M 1 (x; y; 0) M Oyz M 2 (0; y; z) M Oxz M 3 (x; 0; z)

Oyz z Найти проекции точки М на оси координат. M 3 Ox z z О M y M 2 y x Oxy M Ox M 1 (x; 0; 0) M M 1 x M(x; y; z) Oy M 2 (0; y; 0) M Oz M 3 (0; 0; z)

z Координаты равных векторов равны. c=p I I I S I p {4; 5; 8} i I O j I I x I I I I k I c I I p I I y c {4; 5; 8}

z I 1) Какой из данных векторов равен вектору E 3 i – 2 k ОM = D 2) Напишите разложение вектора ОЕ = по координатным векторам I I I I j I y I i, j и k 3) Найдите координаты вектора ОR {-2; -3; 3} T 4) Какой вектор имеет координаты ОT {2; 3; 0} M I I x I I I I i O I I I k NI -2 i +3 k I I R 5) Отложите от т. О вектор с координатами {-2; 3; 2} ОD

№ 405 АСВОА 1 С 1 В 1 О 1 прямоугольный параллелепипед. Найти координаты векторов z B 1 O 1 2 A x О O А 1 {2; 0; 2} C 1 3 C B O В 1 {0; 3; 2} y O О 1 {0; 0; 2} OС {2; 3; 0} O С 1 {2; 3; 2} ВС 1 АС 1 О 1 С {2; 3; -2}

Координаты вектора Разложение вектора по координатным векторам a {-6; 9; 5} n {-8; 0; 1} c {0; -7; 0} m{4; 0; 0} r {-5; -8; 3} s {-7; 1; 0} e {0; 3; 21} q {0; 0; 2} ? a = – 6 i+9 j+5 k ? n = – 8 i+k ? c = – 7 j ? m =4 i r = – 5 i – 8 j +3 k s = – 7 i + j e = 3 j +21 k q =2 k ? ?

Координаты вектора a {-6; 9; 5} n {-8; 0; 1} c {0; -7; 0} m{4; 0; 0} r {-5; -8; 3} s {-7; 1; 0} e {0; 3; 21} q {0; 0; 2} Разложение вектора по координатным векторам a = – 6 i+9 j+5 k n = – 8 i+k c = – 7 j m =4 i r = – 5 i – 8 j +3 k s = – 7 i + j e = 3 j +21 k q =2 k

10 Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. Рассмотрим векторы a {x 1; y 1; z 1} b {x 2; y 2; z 2} a+b = a = x 1 i +y 1 j +z 1 k b = x 2 i +y 2 j +z 2 k + = = (x 1+ x 2)i + (y 1 + y 2 ) j + (z 1 + z 2 )k a +b {x 1+x 2; y 1+y 2; z 1+z 2}

Даны векторы № 407 Найдите a {3; -5; 2}, b {0; 7; -1}, 2 c { 3 ; 0; 0}, d {-2, 7; 3, 1; 0, 5} 2 3 c +b { a {3; -5; 2} ; 7; -1} + c { ; 0; 0} + a {3; -5; b {0; 7; -1}{-2, 7; 10, 1; -0, 5} 2} d +b 2 c +a { 3 a +b {3; 2; 1} {0, 3; -1, 9; 2, 5} 3; -5; 2} a +d 2 3 a +b +c {3 ; 2; 1} a +b +d {0, 3; 5, 1; 1, 5}

20 Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов. Рассмотрим векторы a {x 1; y 1; z 1} b {x 2; y 2; z 2} a –b = a = x 1 i +y 1 j +z 1 k b = x 2 i +y 2 j +z 2 k –( )= = (x 1– x 2)i + (y 1 – y 2 ) j + (z 1 –z 2 )k a –b {x 1–x 2; y 1 –y 2; z 1– z 2}

30 Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число. Рассмотрим вектор a {x; y; z} a = xi +y j +z k k ka = kxi +ky j +kz k ka {kx; ky; kz} a {-2; 1; 0} 3 3 a {-6; 3; 0} a {-2; 0; 3} (-2) -2 a {4; 0; -6} a {-2; 5; -3} (-1) -a {2; -5; 3}

a-b b {-8; 12; -3} Найдите координаты вектора a {-6; 9; 1} 2 способ 1 способ (-1) a - b {2; -3; 4} + -b{8; -12; 3} a - b {2; -3; 4}

a - b, если 1) a {5; -1; 1}; b {-2; 1; 0} № 409 Найдите координаты вектора 1 способ a {5; -1; 1} b {-2; 1; 0} a - b {7; -2; 1} 2 способ b {-2; 1; 0} (-1) a {5; -1; 1} + -b {2; -1; 0} a - b {7; -2; 1}

№ 410 Даны векторы b {0; -5; -2} c {2; 1; -3} Найдите координаты вектора p = 3 b – 2 a + c a {-1; 2; 0} 1) 3 3) 3 b {0; -15; -6} 2) (-2) -2 a {2; -4; 0} + 3 b – 2 a + c {4; -18; -9}

№ 410 Даны векторы b {0; -5; -2} c {2; 1; -3} Найдите координаты вектора q = 3 c – 2 b + a a {-1; 2; 0} 1) c {2; 1; -3} 3 3 c {6; 3; -9} 2) b {0; -5; -2} (-2) 2 b {0; 10; 4} 3) 3 c {6; 3; -9} + 2 b {0; 10; 4} a {-1; 2; 0} 3 c – 2 b + a {5; 15; -5}

z Найдите координаты остальных вершин куба. D 1 A 1 C 1 B 1 D О A x C B(3; 3; 0) y

z Найдите координаты остальных вершин куба. D 1 A 1 D О A x C 1 B 1 C B(4; 8; 0) y

№ 408 OA=4 OB=9 OC=2 Найдите координаты векторов AC, CB, AB, MN, NP, BM, OP. M, N P – середины отрезков АС, ОС и ВС z С Р N М А x Из k i y j O В АОС, AC = AО + ОС = –ОA + ОС = – 4 i + 2 k AC {-4; 0 ; 2}