Южно-Казахстанская государственная фармацевтическая академия Кафедра медицинская биофизика информатика

Южно-Казахстанская государственная фармацевтическая академия Кафедра: медицинская биофизика, информатика и математика СРС Тема: определенный интеграл. Методы интегрирования Подготовила: Касымова Д. Группа: 105 «Б» Проверила: Иманбаева М. А. Шымкент, 2014 год.

План Введение 1. Понятие определенного интеграла 2. Геометрический смысл определенного интеграла 3. Свойства определенного интеграла 4. Формула Ньютона-Лейбница 5. Методы вычисления определенных интегралов Заключение Список использованной литературы

Введение Определенный интеграл ИНТЕГРАЛ от лат. Integer - целый - одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны отыскивать функции по их производным например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки , а с другой - измерять площади, объемы, длины дуг, работу сил за определенный промежуток времени и т. п. К понятию определенного интеграла приводят разнообразные задачи математики, физики, химии и других точных наук, в том числе вычисление площадей плоских фигур, длин дуг, объема произведенной работы, количества вещества, образовавшегося в результате химической реакции.

Понятие определенного интеграла Определённым интегралом от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке [a, b] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. При этом употребляется запись Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a, b] – отрезком интегрирования. Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная функция для f(x), то, согласно определению,

Основные свойства определенного интеграла: 1. Значение определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования:

Основные свойства определенного интеграла: 2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:

Основные свойства определенного интеграла: 3. Если верхний и нижний пределы интеграла поменять местами, то интеграл изменит знак:

Основные свойства определенного интеграла: 4. Интеграл от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от слагаемых:

Основные свойства определенного интеграла: 5. Постоянный множитель подынтегральной функции можно выносить за символ интеграла:

Основные свойства определенного интеграла: 6. Если интервал интегрирования [a; b] разбить на две части [a; с] и [с; b], то:

Основные свойства определенного интеграла: 7. Если подынтегральная функция в интервале интегрирования не меняет знака, то интеграл представляет собой число того же знака, что и функция. В частности, если в интервале [a; b], где a < b, то

Основные свойства определенного интеграла: 8. В случае, если f (x) на [a; b] имеет разные знаки , общая площадь будет вычисляться по формуле или

Основные свойства определенного интеграла: 9. Если в интервале [ a ; b ], где то:

Основные свойства определенного интеграла: 10. Производная интеграла по его верхнему пределу равна подынтегральной функции, вычисленной на верхнем пределе:

Формула Ньютона-Лейбница Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедлива формула Ньютона-Лейбница: формула. Формулу Ньютона-Лейбница называют основной формулой интегрального исчисления.

Методы вычисления определенных интегралов Метод замены переменной Метод интегрирования по частям

Интегрирование заменой переменной или методом подстановки. Пусть непрерывную производную , а между переменными и соответствие. Тогда справедливо равенство , где функция имеет существует взаимно однозначное Определенный интеграл зависит от переменной интегрирования, поэтому если выполнена замена переменных, то обязательно надо вернуться к первоначальной переменной интегрирования.

Интегрирование по частям Интегрированием по частям называют интегрирование по формуле

Заключение В заключении отметим, что каждый из изложенных методов приближенного вычисления интегралов содержит четкий алгоритм их нахождения, что позволяет широко применять эти методы для вычислений на ЭВМ. Таким образом, указанные методы - эффективное средство вычисления интегралов. Для интегралов, которые нельзя выразить через элементарные функции, с помощью ЭВМ и простейших приближенных методов можно составить таблицы их значений.

Список использованной литературы: 1. Баврин, И. И. Высшая математика: учебник по естественно–научным направлениям и специальностям / И. И. Баврин. – Москва: Академия, 2010. – 611 с. 2. Выгодский, М. Я. Справочник по высшей математике / М. Я. Выгодский. – Москва: АСТ: Астрель, 2010. – 703 с. 3. Высшая математика / А. И. Астровский, Е. В. Воронкова, О. П. Степанович: учебно-методический комплекс. – Минск: Издательство МИУ, 2009. – 383 с. 4. Высшая математика: учебник / К. В. Балдин, В. Н. Башлыков, А. В. Рукосуев. – Москва: Флинта: МПСИ, 2010. – 359 с. 5. Высшая математика для экономистов: курс лекций / П. С. Геворкян [и др. ]. – Москва: Эконом, 2009. – 351 с. 6. Высшая математика: курс лекций: для студентов экономических специальностей / Г. М. Булдык. – Минск: ФУАинформ, 2010. – 541 с. 7. Высшая математика: учебник для студентов высших технических учебных заведений / Г. Л. Луканкин [и др. ]. – Москва: Высшая школа, 2009. – 583 с.