X Лекция № 12 Первообразная преподаватель математики Маслова Татьяна Федоровна В начало Назад Далее
X Первообра зной Ø (примити вной функцией, антипроизводной) данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F ′ = f. В начало Назад Далее
X Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием. В начало Назад Далее
X Первообразная f = F’ f – производная функции F Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если F – первообразная функции f функция f(x) является производной функции F(x) У одной и той же функции f(x) много первообразных. Например, Если х2 – первообразная функции 2 х, то и х2+5 – тоже первообразная функции 2 х. Это легко проверить дифференцированием: (х2+5)’=2 х. Да и любая функция вида х2+С, где С – любое число, является первообразной функции 2 х. Ведь (х2+С)’=(х2)’=2 х Теорема о множестве первообразных данной функции. Теорема. Если F(x) – первообразная функции f(x), то и любая функция F(x)+C, где С – число, является первообразной той же функции. Доказательство. (F(x)+C)’=(F(x))’=F(x). Верно и обратное: если F(x) и G(x) – две первообразные одной и той же функции f(x), то G(x)=F(x)+C. И в самом деле, так как G(x)-F(x)=C или В начало G(x)=F(x)+C, что и требовалось доказать. Назад Далее
Свойства первообразной X Ø Первообразная суммы равна сумме первообразных. Ø Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции. Ø Достаточным условием существования первообразной у заданной на отрезке функции f является непрерывность f на этом отрезке. Ø Необходимыми условиями существования являются принадлежность функции f первому классу Бэра и выполнение для неё свойства Дарбу. Ø У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную. В начало Назад Далее
X Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если F — первообразная интегрируемой функции f, то: Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница. В начало Назад Далее
X Благодаря этой связи множество первообразных данной функции f называют неопределённым интегралом (общим интегралом) f и записывают в виде интеграла без указания пределов: В начало Назад Далее
X Если F — первообразная f, и функция f определена на каком-либо интервале, тогда каждая последующая первообразная G отличается от F на константу: всегда существует число C, такое что G(x) = F(x) + C для всех x. Число C называют постоянной интегрирования. В начало Назад Далее
X Каждая непрерывная функция f имеет первообразную F, одна из которых представляется в виде интеграла от f с переменным верхним пределом: В начало Назад Далее
X Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют первообразную. Например, с f(0) = 0 не непрерывна при x = 0, но имеет первообразную с F(0) = 0. В начало Назад Далее
X Некоторые первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (такие как многочлены, экспоненциальные функции, логарифмы, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их комбинации). Например: В начало Назад Далее
Скачать презентацию X Лекция 12 Первообразная преподаватель математики Маслова
Первообразная.ppt