x f к а k o а с

/(x f к а )=k o а с т л е ь xo k=tgα н а я y y=f(x) 0 1 tgα=5: 5 /(x )=1 f o x

)=k o k=tgα y y=f(x) ка са те ль на я /(x f xo 0 1 tgα=6: 3 /(x )=2 f o x

к y ас y=f(x) а те л ь н а я x 0 1 xo /(x f )=-1 o

На рисунке изображен график функции у =f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной в точке х0. Подумай! -5 -1 5 Подумай! х0 Верно! 1 Проверка Геометрический смысл производной: k = tg α Угол наклона касательной с осью Ох острый, значит k >o. Из прямоугольного треугольника находим tgα = 4 : 4 =1

На рисунке изображен график функции у =f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной в точке х0. Подумай! 0, 5 -2 Подумай! Верно! Подумай! 2 Проверка х0 Геометрический смысл производной: k = tg α Угол наклона касательной с осью Ох тупой, значит k < o. Из прямоугольного треугольника находим tgα = 6 : 3 =2. Значит, k= -2

На рисунке изображен график функции у =f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной в точке х0. Решение: 1). Угол, который составляет касательная с положительным направлением оси Ох, острый. Значит, значение острый производной в точке х0 положительно у 2). Найдем тангенс этого угла. Для этого подберем треугольник с катетами-целыми числами. Этот треугольник не подходит. Можно найти несколько удобных треугольников, например, …. х0 O 3). Найдем тангенс угла – это отношение 9: 6. Ответ: 3 2 6 9 х

На рисунке изображен график функции у =f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной в точке х0. Решение: 1). Угол, который составляет касательная с положительным направлением оси Ох, тупой. Значит, значение тупой производной в точке х0 отрицательно 2). Найдем тангенс смежного угла. Для этого подберем треугольник с катетами-целыми числами. Этот треугольник не подходит. Можно найти несколько удобных треугольников. 3). Найдем тангенс угла – это отношение 3: 4. 3 Ответ: – 4 у 3 4 х0 O х

На рисунке изображен график функции у =f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой х0. Найдите значение производной в точке х0. Решение: Решать подобные задания можно другим способом. Уравнение прямой у = kx + b. b В этом уравнении угловой коэффициент k - искомая величина. f/(xo)=k k=tgα у = kх + b у Подставим координаты известных точек в уравнение прямой. – 6 = 2 k + b. х х0 O – – 4 = – 2 k + b. – 2 = 4 k : 4 1 k = – 2 1 Ответ: – 2 (-2; -4) (2; -6)

y /(x)=0 /(x) неf Точка перегиба f существует max min x 1 x 2 x x 3 ? ? x 4 x 5 x 6 x

В 8. Непрерывная функция у = f(x) задана на отрезке [a; b] В 8. На рисунке изображен ее график. В ответе укажите количество точек графика этой функции, в которых касательная параллельна оси Ох. 1 2 3 3 5 8 Подумай! y y = f(x) Верно! Подумай! b a 4 11 Подумай! Проверка x

В 8. Непрерывная функция у = f(x) задана на интервале (-7; 7) В 8. На рисунке изображен ее график. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 10. y 1 3 2 5 3 8 y = 10 Подумай! Верно! y = f(x) Подумай! -7 -7 4 11 Подумай! Проверка x

В 8. Непрерывная функция у = f(x) задана на интервале (-6; 7). На рисунке изображен ее график. Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 6. y Верно! 1 3 . Подумай! 2 5 3 8 y = f(x) Подумай! -7 -6 4 11 Подумай! Проверка В этой точке производная НЕ существует! x

В 8. На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной В 8. на интервале (-9; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна. Решение: 1). f/(x) > 0, значит, функция возрастает. Найдем эти участки графика. 2). Найдем все целые точки на этих отрезках. y 5 4 3 2 1 y = f (x) 3). Исключим точки, в которых производная равна 0 (в этих точках -9 -8 -7 -6 -5 - 4 -3 -2 -1 касательная параллельна оси Ох) -1 1 2 3 4 5 6 7 8 -2 -3 -4 Ответ: 8. x

В 8. На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной В 8. на интервале (-5; 5). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. Решение: 1). f/(x) < 0, значит, функция убывает. Найдем эти участки графика. 2). Найдем все целые точки на этих отрезках. y 5 4 3 2 1 3). Исключим точки, в y = f (x) которых производная равна 0 (в этих точках -9 -8 -7 -6 -5 - 4 -3 -2 -1 касательная параллельна оси Ох) -1 1 2 3 4 5 6 7 8 х=0 точка перегиба, в -2 -3 этой точке -4 производная равна 0! Ответ: 5. x

В 8. На рисунке изображен график функции у = f(x), определенной В 8. на интервале (-6; 8). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна. Решение: 1). f/(x) < 0, значит, функция убывает. Найдем эти участки графика. 2). Найдем все целые точки на этих отрезках. y 5 4 3 2 1 3). Исключим точки, в y = f (x) которых производная равна 0 (в этих точках -9 -8 -7 -6 -5 - 4 -3 -2 -1 касательная параллельна оси Ох) -1 1 2 3 4 5 6 7 8 В точке х=1 -2 -3 производная не -4 существует. Ответ: 8. x