www themegallery com Степенные ряды Определение Функциональный ряд

www. themegallery. com Степенные ряды Определение. Функциональный ряд вида (3) где x 0, a 1, a 2, …, an, … – действительные числа, называется степенным рядом по степеням (x - x 0), а числа ai , i = 1, 2, … – коэффициентами степенного ряда. При x 0 = 0 получаем степенной ряд по степеням x (4) Теорема. (Абеля) Если степенной ряд (4) сходится в точке x 1 0, то он сходится абсолютно в интервале - |x 1|< x < |x 1|, если степенной ряд расходится в точке x 2, то он расходится в любой точке , такой, что |x| > |x 2|. 1 Бер Л. М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17. 06. 10

www. themegallery. com Свойства степенные рядов 1. Степенной ряд равномерно сходится на любом отрезке [a, b], лежащем внутри его интервала сходимости. 2. Сумма степенного ряда является непрерывной функцией в интервале сходимости. 3. Степенные ряды и имеют один и тот же радиус сходимости. 4. Степенной ряд можно почленно дифференцировать в интервале сходимости любое число раз и для его суммы S(x) справедливо равенство. 5. Степенной ряд можно почленно интегрировать по любому промежутку, принадлежащему интервалу сходимости ряда. 2 Бер Л. М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17. 06. 10

www. themegallery. com Ряд Тейлора Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируема в точке x = a. Определение. Степенной ряд вида (7) называется рядом Тейлора функции f (x) по степеням (x - a). В частности, при a = 0 ряд принимает вид и называется рядом Маклорена функции f (x). Теорема 1. Ряд Тейлора (7) сходиться к функции f(x) в некоторой окрестности точки a тогда и только тогда, когда его остаточный член стремиться к нулю при n . 3 Бер Л. М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17. 06. 10

www. themegallery. com Ряд Тейлора Теорема 2. Если функция f(x) в некоторой окрестности точки a бесконечно дифференцируема, причем все ее производные ограничены в совокупности (т. е. существует такое число M > 0, что для любого n и любого x из рассматриваемой окрестности точки a), то функция f(x) разлагается в этой окрестности в ряд Тейлора по степеням (x – a). 4 Бер Л. М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17. 06. 10

www. themegallery. com Разложение в ряд Маклорена 1. 2. 3. 4. 5. 5 Бер Л. М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17. 06. 10

www. themegallery. com Разложение в ряд Маклорена 6. 7. 8. 9. 10. 6 Бер Л. М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17. 06. 10

www. themegallery. com Ряд Тейлора Методы разложения функций в ряд Тейлора 1. Метод, использующий формулу суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. 2. Метод подстановки. 3. Метод интегрирования. 4. Метод дифференцирования и др. Применения степенных рядов 1. Приближенное вычисление значений функций. 2. Приближенное вычисление определенных интегралов. 3. Интегрирование дифференциальных уравнений. 4. Вычисление пределов. 5. Вычисление сумм числовых рядов и др. 7 Бер Л. М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17. 06. 10

Спасибо за внимание Бер Л. М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17. 06. 10 8