www themegallery com Признаки сходимости знакоположительных рядов Определение

www. themegallery. com Признаки сходимости знакоположительных рядов Определение. Ряд a 1+ a 2+ a 3+ …+ an+…= все члены которого неотрицательные (a k 0 k N) называется знакоположительным. Теорема 6. (Критерий сходимости знакоположительного ряда) Для сходимости знакоположительного ряда необходимо и достаточно, чтобы М < + , n S n М. 1 Бер Л. М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17. 06. 10

www. themegallery. com Достаточные признаки сходимости Теорема 7. (Признак сравнения) Пусть даны два ряда (ряд А) и (ряд В) с положительными членами и выполнено условие n an b n. Тогда из сходимости ряда В следует сходимость ряда А, а из расходимости ряда А расходимость ряда В. Теорема 8. (Предельный признак сравнения) Пусть даны два ряда (ряд А) и (ряд В) с положительными членами. Пусть существует и 0 < K < +. Тогда ряды A и B сходятся или расходятся одновременно. 2 Бер Л. М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17. 06. 10

www. themegallery. com Достаточные признаки сходимости Теорема 9. (Признак Даламбера) Пусть для знакоположительного ряда существует предел . Тогда v если D < 1, то ряд сходится; v если D > 1, то ряд расходится; v если D = 1, то вопрос о сходимости или расходимости ряда не может быть решен на основании данного признака. Теорема 10. (Радикальный признак Коши) Пусть для знакоположительного ряда существует . Тогда v если с < 1, то ряд сходится; v если с > 1, то ряд расходится; v если с = 1, то вопрос о сходимости или расходимости ряда не может быть решен на основании данного признака. 3 Бер Л. М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17. 06. 10

www. themegallery. com Достаточные признаки сходимости Рассмотрим ряд вида , то есть слагаемые этого ряда имеют вид ak = f (k), k = 1, 2, 3. . . Теорема 11. (Интегральный признак Коши) Если функция f (x) неотрицательна и монотонно убывает на промежутке [1; ), то для того чтобы ряд сходился необходимо и достаточно, чтобы сходился несобственный интеграл . 4 Бер Л. М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17. 06. 10

www. themegallery. com Знакочередующиеся ряды Пусть имеется последовательность чисел {b 1, b 2, b 3, …, bn, …}, такая, что n bn > 0. Рассмотрим ряд b 1 - b 2 + b 3 - …(-1)n-1 bn +…= . (7) Определение. Ряд (7) называется знакочередующимся если его положительные и отрицательные члены строго чередуются. Теорема 12. (Признак Лейбница, сходимости знакочередующихся рядов) Если члены знакочередующегося ряда (7) удовлетворяют условиям: (или: 1) монотонно убывают по абсолютной величине; 2) , ) то ряд (7) сходится, причем его сумма S положительна и не превосходит первого члена ряда. 5 Бер Л. М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17. 06. 10

Спасибо за внимание Бер Л. М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17. 06. 10 6