www. themegallery. com Обыкновенные дифференциальные уравнения Определение. Уравнение вида F (x, y, y'', …y (n)) = 0, (1) связывающее независимую переменную x, искомую функцию y = y (x) и ее производные y'(x), y''(x), …y(n)(x), называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Определение. Порядок старшей производной, входящей в ДУ называется порядком дифференциального уравнения. Определение. Функция y = (x) называется решением ДУ (1) на интервале (a, b), если при ее подстановке в это уравнение получается тождество, справедливое для всех x (a, b). Определение. Решение ДУ в неявном виде Ф ( x, y) = 0, называется интегралом ДУ. График решения ДУ называется интегральной кривой. Процесс нахождения решения ДУ называется интегрированием ДУ. 1 Бер Л. М. Обыкновенные дифференциальные уравнения ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 189 от
www. themegallery. com ДУ первого порядка Общий вид ДУ первого порядка: F ( x, y, y' ) = 0, где x – независимая переменная, y, y' – искомая функция и ее производная, F – заданная функция трех переменных. Если это уравнение разрешимо относительно y' , то y' = f( x, y) (2) и уравнение (2) называется разрешенным относительно производной. ДУ (2) всегда можно записать в виде M(x, y)d x + N(x, y) dy = 0 (иногда эту форму записи называют дифференциальной формой уравнения). Теорема 1. (о существовании и единственности решения задачи Коши) Пусть в уравнении y' = f( x, y) функция f( x, y) непрерывна в некоторой области D R 2 и ее частная производная fy' ( x, y) ограничена в D. Тогда для любой точки M 0(x 0, y 0) D существует единственное решение y= (x) уравнения (2), определенное в некотором интервале (a, b), содержащем точку x 0 и удовлетворяющее условию y 0 = (x 0). 2 Бер Л. М. Обыкновенные дифференциальные уравнения ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 189 от
www. themegallery. com ДУ первого порядка Определение. Числа x 0, y 0 называются начальными значениями для решения y = (x), а условие y 0 = (x 0) – начальным условием решения. Задача нахождения решения y = (x) ДУ (2), удовлетворяющего начальному условия y 0 = (x 0) называется задачей Коши. Геометрически задание начального условия означает, что на плоскости Oxy задается точка M 0(x 0, y 0), через которую проходит интегральная кривая. 3 Бер Л. М. Обыкновенные дифференциальные уравнения ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 189 от
www. themegallery. com ДУ первого порядка Определение. Общим решением ДУ y' = f(x, y) (2) в области существовании и единственности решений задачи Коши называется функция y = (x, C) зависящая от x и одной произвольной постоянной C, которая удовлетворяет двум условиям: v 4 Бер Л. М. Обыкновенные дифференциальные уравнения ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 189 от
www. themegallery. com ДУ первого порядка Замечание Общее решение не всегда описывает все множество решений ДУ. v а) Теорема дает достаточные условия существования и единственности задачи Коши. Поэтому возможно, что в точке (x 0, y 0) условия теоремы не выполнены, а решение y = (x), удовлетворяющее н. у. y 0 = (x 0) существует и единственное. v б) Особые решения ДУ следует искать среди тех решений, которые теряются при преобразовании ДУ. Определение. Решение ДУ называется особым, если соответствующая интегральная кривая обладает тем свойством, что через любую ее точку проходит кроме нее еще и другая, касающаяся ее интегральная кривая данного уравнения. 5 Бер Л. М. Обыкновенные дифференциальные уравнения ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 189 от
www. themegallery. com Интегральные кривые ДУ: y' = y 2/3 Общее решение: y=(x - C)3/27 6 Бер Л. М. Обыкновенные дифференциальные уравнения ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 189 от
www. themegallery. com ДУ с разделяющимися переменными 1. ДУ с разделенными переменными. y' = f( x) или f (x) d x + (y) d y = 0 2. ДУ с разделяющимися переменными. М 1 (x) N 1(y) d x + М 2 (x) N 2(y) d y = 0 Разделить на N 1(y) М 2 (x) 0 Общий интеграл: 2 '. ДУ приводящееся к ДУ с разделяющимися переменными. y' = f( ax + by + c) Замена : z = ax + by + c z ' = b f (z) + a Общий интеграл: 7 Бер Л. М. Обыкновенные дифференциальные уравнения ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 189 от
www. themegallery. com Однородные ДУ Определение. Функция M (x, y) называется однородной измерения (степени) m, если при любом t справедливо равенство M (t x, t y) = t m · M (x, y). Определение. Уравнение I-го порядка y' = f (x, y) называется однородным относительно x и y, если функция f (x, y) есть однородная функция нулевого измерения. Определение. ДУ М (x, y) d x + N (x, y) d y = 0 является однородным относительно x и y, если функции M (x, y) и N (x, y) однородные функции одного и того же измерения. 8 Бер Л. М. Обыкновенные дифференциальные уравнения ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 189 от
www. themegallery. com Таблица 3. Однородные ДУ. y = t x, y' = t' x + t или y' = f (y / x ) Замена : t = y / x М (x, y) d x + N (x, y) d y = 0 Замена : 4. ДУ приводящееся к однородным. , если Замена : 5. ДУ приводящееся к ДУ с разделяющимися переменными. , если Замена : z = a 1 x + b 1 y z ' = a 1 + b 1 y ' 9 Бер Л. М. Обыкновенные дифференциальные уравнения ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 189 от
LOGO Спасибо за внимание Бер Л. М. Обыкновенные дифференциальные уравнения ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 189 от 17. 06. 10 10
Скачать презентацию www themegallery com Обыкновенные дифференциальные уравнения Определение Уравнение
обыкновенные диф.уравнения.ppt