www themegallery com Кратные интегралы Определение Пусть функция

www. themegallery. com Кратные интегралы Определение. Пусть функция U=f(x 1, x 2, …, xn) определена в области G∈R n. 1) Разобьем G на n элементарных областей G i. Объем каждой области обозначим Gi т. е. разбиение T={ G 1, G 2, …, Gn}. 2) В каждом G i выберем произвольно точку Mi (Mi ∈ Gi). 3) Вычислим f (Mi) в каждой точке Mi. 4) Назовем элементарным диаметром di максимальное расстояние между двумя любыми точками элементарной области. 5) Запишем интегральную сумму Римана Если предел интегральной суммы существует при max di → 0 и не зависит от выбора точки Mi ∈ Gi , то он называется n - кратным интегралом Римана по области G и обозначается 1 Бер Л. М. Интегральное исчисление ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 191 от 17. 06. 10

www. themegallery. com Кратные интегралы Теорема 1. (Необходимый признак интегрируемости) Если функция U=f(M) интегрируема в области G то она ограниченна в G. Достаточные условия интегрируемости (классы интегрируемых функций) Теорема 2. Если функция U=f(M) определена и непрерывна в G, то она интегрируема в G. Теорема 3. Если функция U=f(M) монотонна и ограничена в G, то она интегрируема в G. Теорема 4. Если функция U=f(M) имеет конечное число точек разрыва первого рода в G, то она интегрируема в G. 2 Бер Л. М. Интегральное исчисление ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 191 от 17. 06. 10

www. themegallery. com Двойной интеграл Пусть на плоскости Oxy задана область D и функция f(x, y), определенная в области D. v 1. Разобьем область D кривыми на n частей (Di), имеющих площадь si. v Величину , назовем диаметром i-го кусочка. v Обозначим длину наибольшего диаметра . v 2. На каждом кусочке произвольным образом выберем некоторую точку Mi( i, i), и составим интегральную сумму , где si – площадь Di. v 3. Сделаем предельный переход при 0. Если существует и этот предел не зависит от способа разбиения области D на части и от выбора точки Mi, то он называется двойным интегралом от функции f (x, y) по области D и обозначается 3 Бер Л. М. Интегральное исчисление ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 191 от 17. 06. 10

www. themegallery. com Геометрический смысл двойного интеграла z = f(x, y) z D x Mk i y Si 4 Рассмотрим цилиндрическое тело T с основанием D, лежащим в плоскости Oxy, ограниченное сверху поверхностью z = f(x, y) и боковой цилиндрической поверхностью (образующая параллельна оси Oz). Такое тело называется цилиндрическим брусом или криволинейным цилиндром с основанием D. Геометрический смысл двойного интеграла – объем цилиндрического тела: Бер Л. М. Интегральное исчисление ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 191 от 17. 06. 10

www. themegallery. com Вычисление двойных интегралов Определение. Стандартной областью (правильной) в направлении данной оси называется область, для которой любая прямая, параллельная этой оси и имеющая общие точки с областью, пересекает границу области только в двух точках. Определение. Элементарной называется стандартная область, если она в направлении данной оси имеет непрерывные границы. Элементарная область относительно оси Oy 5 Бер Л. М. Интегральное исчисление ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 191 от 17. 06. 10

www. themegallery. com Вычисление двойных интегралов Теорема. Если существует и для всех x [a, b] существует , то существует определенный интеграл (он называется повторным) и имеет место равенство v Аналогично если область элементарная относительно оси Ox: 6 Бер Л. М. Интегральное исчисление ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 191 от 17. 06. 10

www. themegallery. com Двойной интеграл в прямоугольных координатах z z f(x, y) f(x 0 , y) D(x) c b x 0 d y a c d y x 7 Бер Л. М. Интегральное исчисление ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 191 от 17. 06. 10

www. themegallery. com Вычисление двойного интеграла Если область D – прямоугольник: a x b, c y d, то Повторный интеграл Двойной интеграл Результат интегрирования не зависит от порядка интегрирования 8 Бер Л. М. Интегральное исчисление ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 191 от 17. 06. 10

www. themegallery. com Правило изменения порядка интегрирования • Записать уравнения границ области D. • Построить область интегрирования. • Записать пределы изменения каждой переменной в виде неравенств a x b, y 1(x) y y 2(x) (или c y d, x 1(y) x x 2 (y)). • Изменить порядок интегрирования на основании формулы 9 Бер Л. М. Интегральное исчисление ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 191 от 17. 06. 10

www. themegallery. com Правила вычисления двойного интеграла 1. Записать уравнения границ области. 2. Построить область интегрирования. 3. Выбрать порядок интегрирования и определить пределы изменения переменных x и y. 4. Представить двойной интеграл в виде двукратного. 5. Интеграл, стоящий в повторном на первом месте, называется внешним, а интеграл, стоящий после внешнего – внутренним. Сначала вычисляется внутренний интеграл. 6. После выполнения внутреннего интегрирования по формуле Ньютона-Лейбница внешний интеграл вычисляется как обычный определенный интеграл. 10 Бер Л. М. Интегральное исчисление ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 191 от 17. 06. 10

www. themegallery. com Двойной интеграл в ПСК Если область интегрирования представляет круг или круговой сектор, а подынтегральная функция зависит от (х2 + у2) или от arctg(y/x), то при вычислении двойного интеграла удобно переходить к полярным координатам по формуле где = 1, = 2, = 1( ), = 2( ) – границы области D в полярных координатах. 11 Бер Л. М. Интегральное исчисление ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 191 от 17. 06. 10

LOGO Спасибо за внимание Бер Л. М. Интегральное исчисление ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 191 от 17. 06. 10 12