www themegallery com ДУ высшего порядка Определение Дифференциальными

www. themegallery. com ДУ высшего порядка Определение. Дифференциальными уравнениями высшего порядка называют уравнения порядка выше первого. В общем случае уравнения имеют вида F (x, y, y'', …y (n)) = 0, (1) где n > 1. Определение. Если уравнение удается записать в виде y (n)) = f (x, y, y'', …y (n-1)) , 1 (2) Бер Л. М. Обыкновенные дифференциальные уравнения ГОУ ВПО НИ ТПУ Регю № 189 от

www. themegallery. com ДУ высшего порядка Теорема. (Достаточные условия существования и единственности решения задачи Коши ДУ (2)) Пусть функция f (x, y, y'', …y(n-1)) непрерывна как функция (n +1) – ой переменной в некоторой области D, D R n+1 и имеет в D ограниченные частные производные по переменным y, y'', …y (n-1). Тогда для любой фиксированной точки (x 0, y 0', y 0'', …, y 0(n-1) ) D существует единственное решение y= (x) уравнения (2), y (n)) = f (x, y, y'', …y (n-1)) , определенное в некотором интервале (a, b), содержащем точку x 0 и удовлетворяющее начальным условиям y 0 = y (x 0), y 0' = y ' (x 0), y 0 ' ' = y ' ' (x 0), …, y 0(n-1) = y (n-1) (x 0). 2 Бер Л. М. Обыкновенные дифференциальные уравнения ГОУ ВПО НИ ТПУ Регю № 189 от

www. themegallery. com ДУ высшего порядка Замечание Единственность решения задачи Коши для ДУ n-го порядка (n > 1) не означает, что через данную точку проходит одна интегральная кривая. Определение. Функция y = (x, С 1, С 2, …, Сn) называется общим решением ДУ y (n)) = f (x, y, y'', …y (n-1)) , (2) в некоторой области D существования и единственности решения задачи Коши если она удовлетворяет условиям: 3 Бер Л. М. Обыкновенные дифференциальные уравнения ГОУ ВПО НИ ТПУ Регю № 189 от

www. themegallery. com ДУ высшего порядка Определение. Уравнение Ф ( x, y, С 1, С 2, …, Сn) = 0, задающее общее решение ДУ в неявном виде называется общим интегралом ДУ. Определение. Решение (интеграл) ДУ, получаемое из общего решение (общего интеграла) при конкретных значениях постоянных С 1, С 2, …, Сn называется частным решением (частным интегралом) ДУ. С геометрической точки зрения общее решение ДУ (2) представляет семейство интегральных кривых зависящих от n параметров. Частное решение будет изображаться определенной кривой этого семейства и соответствующие ему значения будут находиться из системы уравнений: y 0 = (x 0, С 1, С 2, …, Сn) y 0' = ' (x 0, С 1, С 2, …, Сn) …. y 0 (n-1) = (n-1) (x 0, С 1, С 2, …, Сn) 4 Бер Л. М. Обыкновенные дифференциальные уравнения ГОУ ВПО НИ ТПУ Регю № 189 от

www. themegallery. com ДУ в. п. , допускающие понижение порядка № 1. Вид ДУ F (x, y(n)) = 0 Замена а) – Решение Последовательное понижение порядка ДУ (n-кратное интегрирование) б) ДУ нельзя разрешить относительно y (n) 2. Понижение порядка ДУ на (n - k) (1 k n) ( нет y, y', … , y(k-1)) 3. Если решение ДУ, то (k-кратное интегрирование) Понижение порядка ДУ на 1 (нет x) , 5 Бер Л. М. Обыкновенные дифференциальные уравнения ГОУ ВПО НИ ТПУ Регю № 189 от , …

LOGO Спасибо за внимание Бер Л. М. Обыкновенные дифференциальные уравнения ГОУ ВПО НИ ТПУ Регю № 189 от 17. 16. 10 6