www themegallery com Числовые и функциональные ряды Пусть

www. themegallery. com Числовые и функциональные ряды Пусть дана последовательность вещественных чисел {a 1, a 2, a 3, …, an, …}. Определение. Выражение a 1 + a 2 + a 3 + …+ an +… называется числовым рядом и обозначается При этом: числа a 1, a 2, a 3, …, an, … – называются членами ряда; an – называют общим членом ряда (или n-м членом ряда). По заданной последовательность чисел {a 1, a 2, a 3, …, an, …} построим последовательность S 1 = a 1, S 2 = a 1 + a 2, S 3 = a 1 + a 2+ a 3, …, S n = a 1 + a 2+ a 3+ …+ an, … Определение. Числа S 1 , S 2 , S 3 , …, S n , … называются частными суммами числового ряда. 1 Бер Л. М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17. 06. 10

www. themegallery. com Числовые ряды Определение. Если предел существует и конечен, то говорят, что числовой ряд сходится, а само значение предела, то есть величину S, называют суммой числового ряда. Если этот предел не существует или бесконечен, то говорят, что числовой ряд расходится. Теорема 1. (Необходимый признак сходимости ряда) Если ряд сходится, то его общий член стремится к нулю, то есть. Следствие. (Достаточный признак расходимости ряда) Если условие не выполнено, то ряд расходится. 2 Бер Л. М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17. 06. 10

www. themegallery. com Свойства числовых рядов Теорема 2. Если ряд сходится и его сумма равна S, то ряд. Если члены расходящегося ряда умножить на с, то он будет расходящимся. Теорема 3. Если ряды и сходятся, то ряд также сходится и имеет место равенство . Теорема 4. Если у сходящегося ряда отбросить конечное число первых членов, присоединить конечное число членов или произвести перестановку членов ряда, то это не повлияет на сходимость ряда. 3 Бер Л. М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17. 06. 10

www. themegallery. com Свойства числовых рядов Определение. Величина -го слагаемого для ряда. называется остатком ряда после n Если n-й остаток ряда сходится, то его сумму будем обозначать rn, т. е. Теорема 5. Если ряд сходится, то и любой его остаток сходится. Если какой-то остаток ряда сходится, то ряд сходится, причем если , , n = 1, 2, … Замечание. Если ряд , то S=Sn+rn. сходится, то его остаток 4 . Бер Л. М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17. 06. 10

www. themegallery. com Признаки сходимости знакоположительных рядов Определение. Ряд a 1+ a 2+ a 3+ …+ an+…= неотрицательные (a k все члены которого 0 k N) называется знакоположительным. Теорема 6. (Критерий сходимости знакоположительного ряда) Для сходимости знакоположительного ряда необходимо и дос- таточно, чтобы М < + , n S n М. 5 Бер Л. М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17. 06. 10

Спасибо за внимание Бер Л. М. Числовые и функциональные ряды ГОУ ВПО НИ ТПУ Рег. № 190 от 17. 06. 10 6