Скачать презентацию Взаимосвязи арифметики и геометрии Возможности урока математики Скачать презентацию Взаимосвязи арифметики и геометрии Возможности урока математики

Shymkent_Arith_Geo_ru_150413.pptx

  • Количество слайдов: 146

Взаимосвязи арифметики и геометрии – Возможности урока математики, ориентированного на ребенка Взаимосвязи арифметики и геометрии – Возможности урока математики, ориентированного на ребенка

Факты Воображение поддерживает мышление Доказана взаимосвязь между способностью умственно визуализировать объект и вычислительными способностями Факты Воображение поддерживает мышление Доказана взаимосвязь между способностью умственно визуализировать объект и вычислительными способностями (Lorenz 1992) Около 80% детей, испытывающих трудности при обучении математике, испытывают эти трудности из-за недостатка воображения Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 2

Факты В процессе обучения постоянно возникает потребность к визуальному представлению • Объектов • Отношений Факты В процессе обучения постоянно возникает потребность к визуальному представлению • Объектов • Отношений • Процессов Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 3

Следствия Содействуют восприятию • Объекты • Отношения • Операции Дают толчок к визуальным представлениям: Следствия Содействуют восприятию • Объекты • Отношения • Операции Дают толчок к визуальным представлениям: • Объекты • Отношения • Операции Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 4

Закрепление базисных визуализаций • Визуализация чисел • Визуализация операций • Визуализация величин • Геометрические Закрепление базисных визуализаций • Визуализация чисел • Визуализация операций • Визуализация величин • Геометрические визуальные представления. . . Что конкретно это означает? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 5

Пример: Узоры на десятичном круге Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 6 Пример: Узоры на десятичном круге Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 6

Узор на десятичном круге - продолжение • Узор на часах (деление круга на 12 Узор на десятичном круге - продолжение • Узор на часах (деление круга на 12 частей!) • Узор на таблице чисел до 100, на календаре. . . • Как выглядит узор, если не складывать, а умножать? . . . Повод к обнаружению структур, к арифметическим наблюдениям Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 7

Узор на десятичном круге - продолжение • Какие звезды касаются каждого числа на 10 Узор на десятичном круге - продолжение • Какие звезды касаются каждого числа на 10 тичном круге? • Какие на 12 -тичном круге? • Существует ли круг, в котором все звезды касаются каждого числа? из: MATHEMATIKUS Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 8

Современный урок математики. . . соединяет арифметику и геометрию • Арифметические факты поясняются с Современный урок математики. . . соединяет арифметику и геометрию • Арифметические факты поясняются с помощью геометрии (например: сумма двух четных чисел всегда четная) • Геометрические факты (например показанные на кругах узоры-звезды) являются поводами для арифметических постановок задач. Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 9

Преподавание математики: Дж. Брунер активный уровень (уровень действий) уровень образов вербально-символический уровень невербально-символический уровень Преподавание математики: Дж. Брунер активный уровень (уровень действий) уровень образов вербально-символический уровень невербально-символический уровень Важно: • Разбор вербально-символически и невербальносимволически • невербально-символически: Сначала только формула! • активный уровень – это не только промежуточная стадия (ступень, фаза) Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 10

Наглядность в преподавании математики Преподавание будет не тогда наглядным, когда именно те вещи, о Наглядность в преподавании математики Преподавание будет не тогда наглядным, когда именно те вещи, о которых говорится, имеются в наличии Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 11

Наглядность в преподавании математики Преподавание будет тогда наглядным, когда дети • имеют базовый опыт, Наглядность в преподавании математики Преподавание будет тогда наглядным, когда дети • имеют базовый опыт, • владеют принципиальными методами и средствами наглядности и • активно используют их и свою фантазию (сравни: розовый слон). Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 12

Продуктивная фантазия. . . Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 13 Продуктивная фантазия. . . Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 13

Наглядность в преподавании математики 1. Представление объектов В качестве представителей для чисел 4 8 Наглядность в преподавании математики 1. Представление объектов В качестве представителей для чисел 4 8 В качестве представителей для числовых операций (статически) 9 4 + 6 6 + 3 2. Представление процессов В качестве представителей для числовых операций (динамически) 7 + 2 Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 14

Числа, выражения, уравнения, операции Взгляд на логику вещей: - Числа есть понятия (со всеми Числа, выражения, уравнения, операции Взгляд на логику вещей: - Числа есть понятия (со всеми аспектами) - Закрепить понятие числа означает - идентифицировать числа (Задачи? ) - реализовывать числа (Задачи? ) - систематизировать числа и классифицировать их в системе понятий (Задачи? ) - Выводы для проведения уроков - Три вида кодирования (арабское, вербальное, аналого-сравнительное) Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 15

Подсчет количества Сколько всего? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 16 Подсчет количества Сколько всего? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 16

Подсчет количества Сколько всего? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 17 Подсчет количества Сколько всего? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 17

Подсчет количества Сколько всего? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 18 Подсчет количества Сколько всего? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 18

Подсчет количества Сколько всего? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 19 Подсчет количества Сколько всего? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 19

Подсчет количества Сколько всего? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 20 Подсчет количества Сколько всего? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 20

Наглядность в преподавании математики 0 0 4 4 8 8 Независимость от единицы измерения: Наглядность в преподавании математики 0 0 4 4 8 8 Независимость от единицы измерения: 4 всегда в середине между 0 и 8 из: MATHEMATIKUS (Kл. 1 – и позднее – спирали!!!) Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 21

Сравнение количества – мысленное перемещение Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 22 Сравнение количества – мысленное перемещение Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 22

Сравнение количества – мысленное перемещение Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 23 Сравнение количества – мысленное перемещение Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 23

Сравнение количества – мысленное перемещение Абстракция: количество Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. Сравнение количества – мысленное перемещение Абстракция: количество Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 24

Арифметические выражения и визуализация Дано: нераскрашенное 2 D – представление Пауль только что подошел Арифметические выражения и визуализация Дано: нераскрашенное 2 D – представление Пауль только что подошел и говорит, что этот рисунок подходит к задаче 4 + 3. Можешь ли ты так разукрасить рисунок, чтобы было понятно, что он имеет в виду? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 25

Арифметические выражения и визуализация Представление объектов: Горизонтальное и вертикальное деление Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler Арифметические выражения и визуализация Представление объектов: Горизонтальное и вертикальное деление Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 26

Арифметические выражения и визуализация Представление объектов: „хорошее оформление“ поощрять Деление параллельно к плоскости лица Арифметические выражения и визуализация Представление объектов: „хорошее оформление“ поощрять Деление параллельно к плоскости лица (сагиттальное) Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 27

Арифметические выражения и визуализация Наглядное представление операций Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. Арифметические выражения и визуализация Наглядное представление операций Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 28

Развитие понимания числовых операций – числовые выражения Раскрась подходящим к задаче образом 4 + Развитие понимания числовых операций – числовые выражения Раскрась подходящим к задаче образом 4 + 4 8 + 2 9 + 1 4 + 3 6 + 2 6 + 4 5 + 3 Числовые выражения, а не сразу же уравнения Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 29

Развитие понимания числовых операций – числовые выражения Раскрась подходящим к задаче образом 8 + Развитие понимания числовых операций – числовые выражения Раскрась подходящим к задаче образом 8 + 5 6 + 3 7 + 2 Взгляд на логику вещей: - Числовые выражения есть понятия - Закрепить понятие «числовые выражения» означает - идентифицировать числовые выражения - их реализовывать - систематизировать и классифицировать их в системе понятий Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 30

Числа, числовые выражения, уравнения, операции Взгляд на логику вещей: - выражения без переменных есть Числа, числовые выражения, уравнения, операции Взгляд на логику вещей: - выражения без переменных есть понятия - Закрепить понятие «выражения» означает - идентифицировать выражения (задачи? ) - их реализовывать (задачи? ) - систематизировать и классифицировать их в системе понятий (задачи? ) - учитывать при этом интермодальный трансфер (во всех направлениях) Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 31

Учение математики: Bruner активный уровень образов (икон) вербально-символический уровень невербально-символический уровень Важно: • Деление Учение математики: Bruner активный уровень образов (икон) вербально-символический уровень невербально-символический уровень Важно: • Деление в вербально-символическом и невербальносимволическом уровнях • Невербально-символический: Сначала только термы! • Активный уровень – это не только промежуточная стадия (ступень, фаза) 32 Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler www. mathematikus. de

Числа, числовые выражения, уравнения, операции Взгляд на логику вещей: - Уравнения – это взаимосвязи Числа, числовые выражения, уравнения, операции Взгляд на логику вещей: - Уравнения – это взаимосвязи между числами, между двумя числовыми выражениями - Закрепить понятие «уравнения» означает - идентифицировать уравнения - их реализовывать, находить связи между ними - упорядочивать числовым выражениям их значения (вычислять значения выражений) Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 33

Подсчет количества (quasisimultan) 4 + 2 или 3 + 3 Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler Подсчет количества (quasisimultan) 4 + 2 или 3 + 3 Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 6 + 2 или 4 + 4 34

Подсчет количества (структурирование) Сколько кубиков? Как ты это увидел? 6 + 4 2 • Подсчет количества (структурирование) Сколько кубиков? Как ты это увидел? 6 + 4 2 • 5 4 + 2 Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 5 + 5 12 - 2 35

Числовая прямая и „вычислительный штрих“ + 30 + 8 27 + 38 27 47 Числовая прямая и „вычислительный штрих“ + 30 + 8 27 + 38 27 47 + 30 55 + 8 27 + 38 27 Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 57 55 36

Числовая прямая и „вычислительный штрих“ + 30 + 8 27 + 38 27 57 Числовая прямая и „вычислительный штрих“ + 30 + 8 27 + 38 27 57 65 27 + _ = 65 27 65 20 – _ = 50 20 Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 37

Наглядность в преподавании математики Мощность числовой прямой для визуализации - дробные числа - целые Наглядность в преподавании математики Мощность числовой прямой для визуализации - дробные числа - целые числа - пропорции Выводы и следствия для преемственности между начальной и средней школой Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 38

Вычисления – «увидеть» коммутативность Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 39 Вычисления – «увидеть» коммутативность Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 39

Вычисления – «увидеть» дистрибутивность Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 40 Вычисления – «увидеть» дистрибутивность Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 40

Вычисления – «увидеть» перенос в другой разряд Какой закон лежит в основе этого? Prof. Вычисления – «увидеть» перенос в другой разряд Какой закон лежит в основе этого? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 41

Наглядность в преподавании математики Выложи из кубиков прямоугольник. У каких чисел существует для этого Наглядность в преподавании математики Выложи из кубиков прямоугольник. У каких чисел существует для этого много возможностей? У каких чисел можно выложить квадраты? У каких чисел будут только «змейки» ? из: MATHEMATIKUS (Kl. 1 – и позже - спирали!!!) Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 42

Визуализация: закономерности и рисунки Существуют четные и нечетные числа. Какие числа четные? из: MATHEMATIKUS Визуализация: закономерности и рисунки Существуют четные и нечетные числа. Какие числа четные? из: MATHEMATIKUS (Kл. 1! – и позднее - спирали!!!) Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 43

Визуализация: закономерности и рисунки Сумма двух нечетных чисел всегда четная. Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler Визуализация: закономерности и рисунки Сумма двух нечетных чисел всегда четная. Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 44

Визуализация: закономерности и рисунки Сумма трех последовательных чисел всегда делится на три. Prof. Dr. Визуализация: закономерности и рисунки Сумма трех последовательных чисел всегда делится на три. Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 45

Визуализация: закономерности и рисунки Сумма пяти последовательных чисел. . . Сумма четырех последовательных чисел. Визуализация: закономерности и рисунки Сумма пяти последовательных чисел. . . Сумма четырех последовательных чисел. . . Исходя из действий дети могут сами установить, какие закономерности действуют. Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 46

Закономерности – исходя из арифметики Спочи ; -) С по умма следовательных чи Prof. Закономерности – исходя из арифметики Спочи ; -) С по умма следовательных чи Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de сел 47

Закономерности – исходя из арифметики Какие числа не образуют Спочи? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler Закономерности – исходя из арифметики Какие числа не образуют Спочи? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 48

Визуализация: закономерности и рисунки Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 49 Визуализация: закономерности и рисунки Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 49

Пример: лестницы из кубиков Введение в «лестничные» числа: строительные планы Вариации и обобщения через Пример: лестницы из кубиков Введение в «лестничные» числа: строительные планы Вариации и обобщения через следующие параметры - стартовая высота - высота ступенек - количество ступенек Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 50

Арифметические примеры на лестнице из кубиков Числовые последовательности План тренировок Ahörnchen und Bhörnchen Prof. Арифметические примеры на лестнице из кубиков Числовые последовательности План тренировок Ahörnchen und Bhörnchen Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 51

Визуализация: закономерности и рисунки Почему при произведении нескольких сомножителей множители можно перемножать в любом Визуализация: закономерности и рисунки Почему при произведении нескольких сомножителей множители можно перемножать в любом порядке? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 52

Визуализация: закономерности и рисунки Сколько прямоугольников можно увидеть в соответствующем ряду? Сколько их будет, Визуализация: закономерности и рисунки Сколько прямоугольников можно увидеть в соответствующем ряду? Сколько их будет, если квадратов 100? 1 + 2 + 3 Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 53

Визуализация: закономерности и рисунки Сколько квадратов можно увидеть в соответствующей фигуре? Сколько их будет Визуализация: закономерности и рисунки Сколько квадратов можно увидеть в соответствующей фигуре? Сколько их будет в квадрате со стороной 10? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 54

Визуализация: закономерности и рисунки Какое максимальное количество точек пересечения может возникнуть при наличии: 2 Визуализация: закономерности и рисунки Какое максимальное количество точек пересечения может возникнуть при наличии: 2 прямых 3 прямых 4 прямых 5 прямых 100 прямых Кто может описать общую закономерность? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 55

Визуализация: «увидеть» в арифметике Какое отношение представлено здесь? - бином - (a+b)3 - сравнить Визуализация: «увидеть» в арифметике Какое отношение представлено здесь? - бином - (a+b)3 - сравнить (a+b)2 и 4 ab Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 56

Визуализация: закономерности и рисунки Какое отношение представлено здесь? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. Визуализация: закономерности и рисунки Какое отношение представлено здесь? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 57

Визуализация: закономерности и рисунки Какое отношение представлено здесь? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. Визуализация: закономерности и рисунки Какое отношение представлено здесь? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 58

Арифметика: 42 = 1 + 3 + 5 + 7 42 = 1 + Арифметика: 42 = 1 + 3 + 5 + 7 42 = 1 + 2 + 3 + 4 + 3 + 2 + 1

Визуализация: закономерности и рисунки Какое отношение представлено здесь? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. Визуализация: закономерности и рисунки Какое отношение представлено здесь? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 60

Визуализация: закономерности и рисунки Какое отношение представлено здесь? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. Визуализация: закономерности и рисунки Какое отношение представлено здесь? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 61

Визуализация: закономерности и рисунки Какое отношение представлено здесь? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. Визуализация: закономерности и рисунки Какое отношение представлено здесь? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 62

Визуализация: закономерности и рисунки Какое отношение представлено здесь? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. Визуализация: закономерности и рисунки Какое отношение представлено здесь? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 63

Визуализация: закономерности и рисунки Какое отношение представлено здесь? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. Визуализация: закономерности и рисунки Какое отношение представлено здесь? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 64

Визуализация: закономерности и рисунки Какое отношение представлено здесь? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. Визуализация: закономерности и рисунки Какое отношение представлено здесь? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 65

Визуализация: закономерности и рисунки Какое отношение представлено здесь? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. Визуализация: закономерности и рисунки Какое отношение представлено здесь? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 66

Визуализация: закономерности и рисунки Какое отношение представлено здесь? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. Визуализация: закономерности и рисунки Какое отношение представлено здесь? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 67

Визуализация: закономерности и рисунки Какое отношение представлено здесь? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. Визуализация: закономерности и рисунки Какое отношение представлено здесь? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 68

Арифметика и геометрия - паркеты Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 69 Арифметика и геометрия - паркеты Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 69

II Паркеты Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 70 II Паркеты Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 70

Паркеты – узоры на нашем пути Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de Паркеты – узоры на нашем пути Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 71

Паркеты – узоры на нашем пути Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de Паркеты – узоры на нашем пути Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 72

Паркет – понятия вокруг и около • Понятие «паркет» • Простой паркет – только Паркет – понятия вокруг и около • Понятие «паркет» • Простой паркет – только один вид плитки • Платонов паркет – простой паркет, плитки которого являются правильными n-угольниками • Какие платоновы паркеты существуют? • Из каких плиток просто сделать паркет? • Архимедов паркет – паркет их одного или из нескольких видов правильных n-угольников Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 73

Простой паркет – только один вид плитки Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. Простой паркет – только один вид плитки Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 74

Простой паркет – только один вид плитки Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. Простой паркет – только один вид плитки Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 75

Простой паркет – только один вид плитки Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. Простой паркет – только один вид плитки Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 76

Простой паркет – только один вид плитки Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. Простой паркет – только один вид плитки Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 77

Голумбийский сфинкс – не является паркетом Хотя это мощение одним видом плитки! Prof. Dr. Голумбийский сфинкс – не является паркетом Хотя это мощение одним видом плитки! Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 78

Мощение Хееша: не является простым паркетом Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de Мощение Хееша: не является простым паркетом Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 79

Мощение Хееша: не является простым паркетом Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de Мощение Хееша: не является простым паркетом Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 80

Паркетирование треугольниками Равносторонние треугольники образуют паркет Верно ли это для всех треугольников? Prof. Dr. Паркетирование треугольниками Равносторонние треугольники образуют паркет Верно ли это для всех треугольников? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 81

Паркетирование треугольниками Паркетирующая плитка (треугольник) и транслативная клетка (параллелограмм) Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | Паркетирование треугольниками Паркетирующая плитка (треугольник) и транслативная клетка (параллелограмм) Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 82

Паркетирование четырехугольниками Прямоугольники образуют паркет Верно ли это для всех четырехугольников? Prof. Dr. Klaus-Peter Паркетирование четырехугольниками Прямоугольники образуют паркет Верно ли это для всех четырехугольников? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 83

Паркетирование четырехугольниками Что происходит, если четырехугольник не является выпуклым? Поэкспериментируйте! Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler Паркетирование четырехугольниками Что происходит, если четырехугольник не является выпуклым? Поэкспериментируйте! Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 84

Паркетирование Учебная деятельность в начальной школе: Изготовить плитки для паркетирования, работая в парах Prof. Паркетирование Учебная деятельность в начальной школе: Изготовить плитки для паркетирования, работая в парах Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 85

Паркетирование – различные «облицовки» a) Выложи из маленьких треугольников большие двухцветные квадраты. Придумай разные Паркетирование – различные «облицовки» a) Выложи из маленьких треугольников большие двухцветные квадраты. Придумай разные узоры. Приклей. б) Выложи теперь из нескольких квадратов с одинаковым узором один большой общий узор. Попробуйте! Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 86

Паркетирование – примеры работ Какие свойства симметрии здесь встречаются? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | Паркетирование – примеры работ Какие свойства симметрии здесь встречаются? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de

Паркетирование – примеры работ Какие свойства симметрии здесь встречаются? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | Паркетирование – примеры работ Какие свойства симметрии здесь встречаются? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de

Паркеты, паркетные плитки и транслативные клетки Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de Паркеты, паркетные плитки и транслативные клетки Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 89

Паркеты и симметрия Замечание. Дидактический подход: Факт - математизация - факт Prof. Dr. Klaus-Peter Паркеты и симметрия Замечание. Дидактический подход: Факт - математизация - факт Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 90

Паркеты и симметрия Различные формы Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 91 Паркеты и симметрия Различные формы Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 91

Паркеты и симметрия Свойства симметрии? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 92 Паркеты и симметрия Свойства симметрии? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 92

Паркеты и симметрия Свойства симметрии? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 93 Паркеты и симметрия Свойства симметрии? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 93

Определение: Платонов паркет Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 94 Определение: Платонов паркет Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 94

Паркеты Являются ли эти паркеты платоновыми паркетами? Паркеты из квадратов, которые не являются платоновыми Паркеты Являются ли эти паркеты платоновыми паркетами? Паркеты из квадратов, которые не являются платоновыми паркетами. Кстати: Справа иллюзия кофейхаус. Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 95

Это все возможные? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 96 Это все возможные? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 96

Определение: Архимедов паркет Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 97 Определение: Архимедов паркет Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 97

Архимедовы паркеты Есть ли еще другие? Как найти все возможные? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler Архимедовы паркеты Есть ли еще другие? Как найти все возможные? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 98

Геошаблон Изготавливается фирмой H. Bitsch (Odenwald) Распространяется фирмой Westermann Рекомендован www. mathematikus. de Prof. Геошаблон Изготавливается фирмой H. Bitsch (Odenwald) Распространяется фирмой Westermann Рекомендован www. mathematikus. de Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 99

Архимедовы паркеты Как найти все возможные? 1 способ (для средняя школа) Систематический перебор с Архимедовы паркеты Как найти все возможные? 1 способ (для средняя школа) Систематический перебор с помощью таблицы 2 способ (для средняя школа) вычислительный Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 100

Архимедовы паркеты Какие архимедовы паркеты существуют? Сколько различных сортов плиток могут соединиться в вершине Архимедовы паркеты Какие архимедовы паркеты существуют? Сколько различных сортов плиток могут соединиться в вершине паркета? Если бы это были 4 разных сорта, тогда: 3 + 4 + 5 + 6 = 60 º + 90 º + 108 º + 120 º = 378 º > 360º Итак: максимально три различных сорта Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 101

Архимедовы паркеты Рассмотрение вершины паркета В случае если - в каждой вершине соединяются всегда Архимедовы паркеты Рассмотрение вершины паркета В случае если - в каждой вершине соединяются всегда три плитки - все вершины имеют одинаковый „вид“ тогда вокруг n-угольника с нечетным количеством углов x = y Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 102

Архимедовы паркеты Классификация вершин (4, 4, 3, 3, 3) (4, 3, 3) Prof. Dr. Архимедовы паркеты Классификация вершин (4, 4, 3, 3, 3) (4, 3, 3) Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 103

Архимедовы паркеты Классификация вершин (3, 4, 6, 4) Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. Архимедовы паркеты Классификация вершин (3, 4, 6, 4) Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 104

Архимедовы паркеты Классификация вершин (3, 6, 3, 6) Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. Архимедовы паркеты Классификация вершин (3, 6, 3, 6) Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 105

Архимедовы паркеты В каждой вершине встречаются постоянно три плитки: один k-угольник, один l-угольник и Архимедовы паркеты В каждой вершине встречаются постоянно три плитки: один k-угольник, один l-угольник и один m-угольник. Тогда для суммы углов выполняется условие: Классно, не правда ли? ; -) Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 106

Архимедовы паркеты Решение уравнения с помощью систематического перебора: (немного дробных вычислений. . . ) Архимедовы паркеты Решение уравнения с помощью систематического перебора: (немного дробных вычислений. . . ) (3, 7, 42) (3, 8, 34) (3, 10, 15) (3, 12) (4, 5, 20) (4, 6, 12) (4, 8, 8) (5, 5, 10) (6, 6, 6) Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 107

Архимедовы паркеты В каждой вершине соединяются постоянно четыре плитки: один k-угольник, один l-угольник, один Архимедовы паркеты В каждой вершине соединяются постоянно четыре плитки: один k-угольник, один l-угольник, один m-угольник и один n-угольник. Тогда для суммы углов выполняется условие: Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 108

Архимедовы паркеты В каждой вершине соединяются постоянно ПЯТЬ плиток: один k-угольник, один l-угольник, один Архимедовы паркеты В каждой вершине соединяются постоянно ПЯТЬ плиток: один k-угольник, один l-угольник, один m-угольник, один n-угольник и один р-угольник. Тогда для суммы углов выполняется условие: Если плиток 6, то уже все понятно. . . Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 109

Архимедовы паркеты Как в таком случае выглядят решения (паркеты)? (4, 4, 3, 3, 3) Архимедовы паркеты Как в таком случае выглядят решения (паркеты)? (4, 4, 3, 3, 3) (4, 3, 3, 4, 3) две интерпретации Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 110

Архимедовы паркеты Как в таком случае выглядят решения (паркеты)? Найди и нарисуй все решения! Архимедовы паркеты Как в таком случае выглядят решения (паркеты)? Найди и нарисуй все решения! Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 111

Паркеты Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 112 Паркеты Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 112

Паркеты – узоры на наших дорогах Оси симметрии? Как сконструировать такой паркет? Prof. Dr. Паркеты – узоры на наших дорогах Оси симметрии? Как сконструировать такой паркет? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 113

Создадим такой паркет Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 114 Создадим такой паркет Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 114

Паркет … Паркет …

Паркет … Паркет …

Паркет … Паркет …

Паркет … Паркет …

Анализировать паркеты 119 Анализировать паркеты 119

Анализировать паркеты Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 120 Анализировать паркеты Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 120

„Зазеркалить“ паркет Взгляд в треугольное зеркало – бесконечный паркет Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | „Зазеркалить“ паркет Взгляд в треугольное зеркало – бесконечный паркет Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 121

Треугольное зеркало - объяснение Последовательность отражений относительно прямых: результирующее движение является 122 поворотом на Треугольное зеркало - объяснение Последовательность отражений относительно прямых: результирующее движение является 122 поворотом на …? … с …? …

Отражение относительно пересекающихся прямых Взгляд в треугольное зеркало – бесконечный паркет Prof. Dr. Klaus-Peter Отражение относительно пересекающихся прямых Взгляд в треугольное зеркало – бесконечный паркет Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 123

«Зеркалить» паркеты Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 124 «Зеркалить» паркеты Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 124

«Зеркалить» паркеты Квадратное зеркало – в каждом углу лежат другие вещи Prof. Dr. «Зеркалить» паркеты Квадратное зеркало – в каждом углу лежат другие вещи Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 125

Квадратное зеркало – последовательность отражений относительно прямых 126 Квадратное зеркало – последовательность отражений относительно прямых 126

a) оси параллельны другу b) оси перпендикулярны другу Результирующее движение a). . . и a) оси параллельны другу b) оси перпендикулярны другу Результирующее движение a). . . и b). . . 127

Симметрия? Соотношения длины сторон и площади? Кусочки войлока на липучей стене - преимущества: Материалы Симметрия? Соотношения длины сторон и площади? Кусочки войлока на липучей стене - преимущества: Материалы от издательства Frank Rittel, Hamburg (www. rittel-verlag. de)

Симметрия? Соотношения длины сторон и площади? www. rittel-verlag. de Симметрия? Соотношения длины сторон и площади? www. rittel-verlag. de

Симметрия? Symmetrien? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de www. rittel-verlag. de Симметрия? Symmetrien? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de www. rittel-verlag. de

«Зазеркалить» фигуры Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 131 «Зазеркалить» фигуры Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 131

Систематизация паркетов Анализ свойств симметрии Представление Конвея-Тёрстона Вопросы: - Симметрия вращения? (1, 2, 3, Систематизация паркетов Анализ свойств симметрии Представление Конвея-Тёрстона Вопросы: - Симметрия вращения? (1, 2, 3, 4 или 6 - кратная) - Оси симметрий? * - Лежат ли центры 2, 3, 4 или 6 -кратной симметрии вращения на осях симметрии? - Существует ли скользящая симметрия, которая не может быть заменена через другие отображения паркета на себя? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 132

Систематизация паркетов - примеры 2222 - Симметрия вращения? Да, 2 -кратная на 2 -х Систематизация паркетов - примеры 2222 - Симметрия вращения? Да, 2 -кратная на 2 -х существенно различных точках: 2222 - Осевые симметрия? нет - Существует ли скользящая симметрия, которая не может быть заменена через другие отображения паркета на себя? нет Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 133

Систематизация паркетов - примеры 442 - Симметрия вращения? Да, 2 -кратная и 4 -кратная Систематизация паркетов - примеры 442 - Симметрия вращения? Да, 2 -кратная и 4 -кратная на 2 -х существенно различных точках: 442 - Осевые симметрия? нет - Существует ли скользящая симметрия, которая не может быть заменена через другие отображения паркета на себя? нет Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 134

Систематизация паркетов - примеры *632 - Симметрия вращения? Да, 2 -, 3 - и Систематизация паркетов - примеры *632 - Симметрия вращения? Да, 2 -, 3 - и 6 -кратная 632 - Осевые симметрия? Да - все центры симметрий лежат на осях симметрий: *632 - Существует ли скользящая симметрия, которая не может быть заменена через другие отображения паркета на себя? нет Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 135

Систематизация паркетов - примеры 4*2 - Симметрия вращения? Да, 4 -кратная и 2 -кратная Систематизация паркетов - примеры 4*2 - Симметрия вращения? Да, 4 -кратная и 2 -кратная - Осевые симметрия? Да - 2 центра симметрии центральной симметрии лежат на осях: *2 - Существует ли скользящая симметрия, которая не может быть заменена через другие отображения паркета на себя? нет Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 136

Систематизация паркетов - примеры *2222 - Симметрия вращения? Да, 2 -кратная на четырех различных Систематизация паркетов - примеры *2222 - Симметрия вращения? Да, 2 -кратная на четырех различных местах - Осевые симметрия? Да - все центры симметрии лежат на осях: *2222 - Существует ли скользящая симметрия, которая не может быть заменена через другие отображения паркета на себя? нет Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 137

Систематизация паркетов - примеры *442 - Симметрия вращения? Да, 2 -кратный, и 4 -кратный Систематизация паркетов - примеры *442 - Симметрия вращения? Да, 2 -кратный, и 4 -кратный на 2 различных в типе местах. - Осевые симметрия? Да - Все центры симметрии лежат на осях: *442 - Существует ли скользящая симметрия, которая не может быть заменена через другие отображения паркета на себя? нет Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 138

Систематизация паркетов - примеры *o - Симметрия вращения? нет - Осевые симметрия? да* - Систематизация паркетов - примеры *o - Симметрия вращения? нет - Осевые симметрия? да* - Существует ли скользящая симметрия, которая не может быть заменена через другие отображения паркета на себя? да Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 139

Систематизация паркетов - примеры 0 - Симметрия вращения? нет - Осевые симметрия? нет - Систематизация паркетов - примеры 0 - Симметрия вращения? нет - Осевые симметрия? нет - Существует ли скользящая симметрия, которая не может быть заменена через другие отображения паркета на себя? нет Только трансляция Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 140

Систематизация паркетов - примеры Как может выглядеть паркет с **, то есть С двумя Систематизация паркетов - примеры Как может выглядеть паркет с **, то есть С двумя существенно различными осями симметрии? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 141

Систематизация паркетов - примеры Нарисуйте паркет - с 22* - с 22 o - Систематизация паркетов - примеры Нарисуйте паркет - с 22* - с 22 o - с 2*22 - С только трехчисленными симметриями, то есть 333, или *333 или 3*3 - Есть ли паркеты 33*3 или 3*33? Почему это так? Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 142

III Зеркальные отображения и симметрии Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 143 III Зеркальные отображения и симметрии Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 143

Aufgabenbeispiele Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 144 Aufgabenbeispiele Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 144

Заключение При этом я желаю каждому Мужества для его усилий, Времени для того, чтобы Заключение При этом я желаю каждому Мужества для его усилий, Времени для того, чтобы самому поразмышлять над решением математических задач, Радости и успеха в работе с детьми! Большое спасибо за Ваше внимание! Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 145

Решение задач при геометрических построениях Построения треугольника с помощью циркуля и линейки Построй отрезок Решение задач при геометрических построениях Построения треугольника с помощью циркуля и линейки Построй отрезок AB. Затем построй окружность с центром в точке A, которая проходит через точку B, и окружность с центром в точке B, которая проходит через точку А. Точку пересечения окружностей обозначим С. Исследуй треугольник ABC. Сделай описание. Prof. Dr. Klaus-Peter Eichler | www. mathematikus. de 146