Взаимное расположение прямых в пространстве Скрещивающиеся прямые

Взаимное расположение прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые.

Цели урока: n n Ввести определение скрещивающихся прямых. Ввести формулировки и доказать признак и свойство скрещивающихся прямых.

Расположение прямых в пространстве: a b α a || b a b Лежат в одной плоскости! α

Дан куб АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 ? ? ? B 1 A 1 АА 1 || DD 1, как противоположны C 1 1. Являются ли параллельными стороны квадрата, АА 1 и СС 1 ? одн прямые АА 1 и DD 1; лежат в плоскости и не пересекаются. Почему? D 1 АА 1 || DD 1; DD 1 || CC 1 →AA 1 || CC 1 по теореме о трех параллельных прямых. B A D 2. Являются ли АА 1 и DC параллельными? Они пересекаются? Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости.

Определение Две прямые называются скрещивающимися, если они не лежат в одной плоскости. a b М

Наглядное представление о скрещивающихся прямых дают две дороги, одна из которых проходит по эстакаде, а другая под эстакадой. IIIIIIIIIIIIIIIIIIII IIIIIII

a b

Найдите на рисунке параллельные прямые. Назовите параллельные прямые и плоскости. Найдите скрещивающиеся прямые.

Признак скрещивающихся прямых Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся. D АВ СD a А В C b ?

Признак скрещивающихся прямых. D a Дано: АВ АВ. Доказать, что АВ Скрещивается с СD С А α, СD ∩ α = С, С В Доказательство: b Допустим, что СD и АВ лежат в одной плоскости. Пусть это будет плоскость β. α совпадает с β Плоскости совпадают, чего быть не может, т. к. прямая СD пересекает α. Плоскости, которой принадлежат АВ и СD не существует и следовательно по определению скрещивающихся прямых АВ скрещивается с СD. Ч. т. д.

Три случая взаимного расположения двух прямых в пространстве b a а b М а II b b b a a а b

Закрепление изученной теоремы: 1. Определить взаимное расположение прямых АВ 1 и DC. 2. Указать взаимное расположение прямой DC и плоскости АА 1 В 1 В B 1 A 1 3. Является ли прямая АВ 1 параллельной плоскости DD 1 С 1 С? A C 1 D 1 B C D

Теорема: n Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой плоскости, и притом только одна. Дано: АВ скрещивается с СD. Построить α: АВ α, СD || α. Доказать, что α – единственная. C В А 1. Через точку А проведем прямую АЕ, АЕ || СD. 2. Прямые АВ и АЕ пересекаются и образуют плоскость α. АВ α, СD || α. α – единственная плоскость. Е 3. Доказательство: D α – единственная по следствию из аксиом. Любая другая плоскость, которой принадлежит АВ, пересекает АЕ и, следовательно, прямую СD.

Задача. n Построить плоскость α, проходящую через точку К и параллельную скрещивающимся прямым а и b. Построение: b 1. Через точку К провести а прямую а 1 || а. 2. Через точку К провести прямую b 1 || b. а 1 К b 1 3. Через пересекающиеся прямые проведем плоскость α. α – искомая плоскость.

Задача № 34. стр. 18 Дано: D АМ = МD; ВN = ND; CP = PD D M А (АВС), К ВN. Определить взаимное расположение прямых: P N а) ND и AB б) РК и ВС в) МN и AB С К Р 1 В

Задача № 34. стр18 Дано: D АМ = МD; ВN = ND; CP = PD D M А (АВС), P N К ВN. Определить взаимное расположение прямых: а) ND и AB б) РК и ВС в) МN и AB С г) МР и AС д) КN и AС е) МD и BС

Задача № 93 стр. 32 N Дано: a || b М a MN ∩ a = M Определить взаимное расположение прямых MN u b. Скрещивающиеся. b α