Взаимное расположение плоскостей α α β β Плоскости

Взаимное расположение плоскостей α α β β Плоскости пересекаются по прямой Плоскости не имеют общих точек

Определение Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются α β α ∥ β

Теорема (признак параллельности плоскостей) Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны

Теорема Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны Дано: α, β a 1 ⊂ α, b 1 ⊂ α, a 1 ∩ b 1 = O 1 a 2 ⊂ β, b 2 ⊂ β, a 2 ∩ b 2 = O 2 a 1 ∥ a 2, b 1 ∥ b 2 Доказать: α ‖ β α O 1 b 1 a 1 O 2 a 2 β b 2

Теорема Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны Дано: α, β a 1 ⊂ α, b 1 ⊂ α, a 1 ∩ b 1 = O 1 a 2 ⊂ β, b 2 ⊂ β, a 2 ∩ b 2 = O 2 a 1 ∥ a 2, b 1 ∥ b 2 Доказать: α ‖ β Доказательство: α O 1 b 1 a 1 a ∦ b ⇒ O 2 a 2 β b 2

Теорема Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны Дано: α, β a 1 ⊂ α, b 1 ⊂ α, a 1 ∩ b 1 = O 1 a 2 ⊂ β, b 2 ⊂ β, a 2 ∩ b 2 = O 2 a 1 ∥ a 2, b 1 ∥ b 2 Доказать: α ‖ β Доказательство: a ∦ b ⇒ ∃ c: α ∩ β = c a 1 ∥ a 2, a 2 ⊂ β ⇒ a 1 ∥ β b 1 ∥ b 2, b 2 ⊂ β ⇒ b 1 ∥ β Воспользуемся свойством прямой, параллельной плоскости a 1 ∥ β, a 1 ⊂ α, α ∩ β = c ⇒ c ∥ a 1 b 1 ∥ β, b 1 ⊂ α, α ∩ β = c ⇒ c ∥ b 1 α O 1 c b 1 a 1 O 2 a 2 Через O 1 может проходить только одна прямая, параллельная с a ∦ b — противоречие ⇒ a ‖ b β b 2

Теорема Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны Дано: α, β a 1 ⊂ α, b 1 ⊂ α, a 1 ∩ b 1 = O 1 a 2 ⊂ β, b 2 ⊂ β, a 2 ∩ b 2 = O 2 a 1 ∥ a 2, b 1 ∥ b 2 Доказать: α ‖ β Доказательство: a ∦ b ⇒ ∃ c: α ∩ β = c a 1 ∥ a 2, a 2 ⊂ β ⇒ a 1 ∥ β b 1 ∥ b 2, b 2 ⊂ β ⇒ b 1 ∥ β Воспользуемся свойством прямой, параллельной плоскости a 1 ∥ β, a 1 ⊂ α, α ∩ β = c ⇒ c ∥ a 1 b 1 ∥ β, b 1 ⊂ α, α ∩ β = c ⇒ c ∥ b 1 α O 1 b 1 a 1 O 2 a 2 β b 2 Через O 1 может проходить только одна прямая, параллельная с a ∦ b — противоречие ⇒ a ‖ b Теорема доказана

Задача 1 Дано: A 1 A 2, B 1 B 2 и C 1 C 2 не лежат в одной плоскости O — общая середина C 1 A 1 B 2 O Доказать: (A 1 B 1 C 1) ∥ (A 2 B 2 C 2) Доказательство: A 1 B 1 ∩ A 1 C 1 = A 1 , A 2 B 2 ∩ A 2 C 2 = A 2 B 1 C 2 ⇒ A 1 B 1 ∥ A 2 B 2 Аналогично из A 1 C 1 A 2 C 2: A 1 C 1 ∥ A 2 C 2 (A 1 B 1 C 1) ∥ (A 2 B 2 C 2) По признаку параллельности плоскостей Что и требовалось доказать

Задача 2 B Дано: B ⊄ ADC M ∈ BA, BM = MA N ∈ BC, BN = NC P ∈ BD, BP = PD N M C A D

Задача 2 B Дано: B ⊄ ADC M ∈ BA, BM = MA N ∈ BC, BN = NC P ∈ BD, BP = PD N M а) доказать: (MNP) ∥ (ACD) P A Доказательство: MP — средняя линия ∆ABD PN — средняя линия ∆BCD MN — средняя линия ∆ABC D Решение: ⇒ k = 0, 5 ∠MNP = ∠ACD, ∠MPN = ∠ADC, ∠NMP = ∠CAD ⇒ ⇒ ∆MNP ∼ ∆ACD C